2019届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考试题 数学理试题

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题
理科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )
A.[1，4]
B.[1，2]
C.[－1，0]
D.[0，2]
2.设i 是虚数单位，复数a ＋i
1＋i
为纯虚数，则实数a 的值为( )
A.－1
B.1
C.－2
D.2
3.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( )
4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2
()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前项和等于（ ） A ． B ． C ． D ． 错误！未找到引用源。

5．下列命题错误的是（ ）
A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”;
B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题
C. 双曲线22
123
x y -
=
的焦距为D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α
6．已知3sin 45x π⎛⎫-
= ⎪
⎝
⎭，则cos 4x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ） A ．
4
5
B ．
35
C ．45-
D ．35
- 7．已知函数()[
](],,0, 0,1,
sinx x f x x π∈-=∈则
()1
f x dx π-
=⎰（ ）
A. 2π+
B.
2
π C. 22π-+ D.
24π
- 8.若()1
,1x e -∈，ln a x =，ln 12x
b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，ln x c e =，则（ ）
A ． b c a >>
B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ ） A. 12
x π
=
B. 6x π=
C. 3x π=
D. 23
x π= 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 1
2
AE ED =
,则AE EB ⋅等于 （ ）
A. 14-
B. 9-
C. 9
D.14
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF
的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A.
316π B. 318π C. 48164π
D. 48
12．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[
)0,2x ∈时，
()()2
12,01,
22,12,
x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩
函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使
()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
D. 13,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a =，21a b -=，则b = ．
14．设实数,x y 满足约束条件220
402 x y x y y --⎧⎪
⎨+≤-≥⎪⎩
≤，则y z x =的最大值是_______.
15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。

若甲先拿，则下列说法正确的有： __________．
① 若n =4，则甲有必赢的策略； ②若n =6，则乙有必赢的策略； ③ 若n =7，则乙有必赢的策略； ④若n =9，则甲有必赢的策略。

16. ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别,,,a b c
且满足)4
b C π
=+，1a =，D 是以BC 为直径
的圆上一点，则AD 的最大值为__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题12分）如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D . （1）证明：
AB BD
AC DC
=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长．
18．（本题12分）如图，OAB 由20,8,y x y x ===围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上有一点2
(,)M t
t ，
（1）求以M 为切点2y x =的切线l 方程；
（2）若l 与0,8y x ==两直线分别交于,P Q 两点，试确定M 的位置，使PQA ∆面积最大。

19.（本题12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点. (1)求证：AF
∥平面BCE ；
(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.
20.（本题12分）若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝
a n ＋1
b n ＋1，数列{
c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋n
2
n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.
21.（本题12分）已知()ln f x x =，()()2
102
g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；
（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记12
02
x x x +=
，证明：()00h x '<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程（本题12分）
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2
cos 4sin ρθθ=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，若8AB =，求a 的值． 23.选修4-5：不等式选讲（本题12分）
已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，若存在实数x 使得f (x )<2成立. (1)求实数m 的值；
(2)若,1,()()6,f f αβαβ>+=求证：
4
1
9
4
α
β
+
≥。

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题
理科数学答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A ＝[－1，2]，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( D )
A.[1，4]
B.[1，2]
C.[－1，0]
D.[0，2]
2.设i 是虚数单位，复数
a ＋i
1＋i
为纯虚数，则实数a 的值为( A ) A.－1
B.1
C.－2
D.2
3.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是( D )
4．已知等差数列{}n a 中，27,a a 是函数2
()42f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前错误！未找到引用源。

项和等于（ C ）
A ． 错误！未找到引用源。

B ． 错误！未找到引用源。

C ． 错误！未找到引用源。

D ． 错误！未找到引用源。

5．下列命题错误的是（ B ）
A.命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2
,13x R x x ∀∈+≤”;
B.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题
C. 双曲线22
123
x y -=
的焦距为D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α
6．已知3sin 45x π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（ D ）
A ．
45
B ．
35
C ．45-
D ．35
- 7．已知函数()[
](],,0, 0,1,
sinx x f x x π∈-=∈则
()1
f x dx π-
=⎰（ D ）
A. 2π+
B.
2
π C. 22π-+ D.
24π
- 8.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12x
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，ln x
c e =，则（ A ）
A ． b c a >>
B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >> 9．将函数()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
12，再向右平移6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是直线（ C ） A. 12
x π
=
B. 6
x π
=
C. 3
x π
=
D. 23
x π
=
10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 1
2
AE ED =,则AE EB ⋅等于 （ C ）
A. 14-
B. 9-
C. 9
D.14
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为
AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）
A.
316π B. 318π C. 48164π
D.
12．若函数()y f x =， x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[
)0,2x ∈时，
()()21
2,01,{ 22,12,
x x f x f x x -≤≤=-<<函数()21
2ln 2
g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使
()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ B ）
A. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
B. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
D. 13,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a 与b 的夹角为0
30，且1a =，21a b -=，则b =
．14．设实数,x y 满足约束条件220
{40 2
x y x y y --≤+-≥≤，则y
z x
=
的最大值是_______.1 15．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲，乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢。

若甲先拿，则下列说法正确的有： ____④______．
① 若n =4，则甲有必赢的策略； ②若n =6，则乙有必赢的策略； ③ 若n =7，则乙有必赢的策略； ④若n =9，则甲有必赢的策略。

16. ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别,,,a b c
且满足)4
b C π
=
+，1a =，D 是以BC 为直径
的圆上一点，则AD 的最大值为__________
．12
+
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题12分）
如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D . （1）证明：
AB BD
AC DC
=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长．
17.解：（1）在ABD
∆中，
,sin sin BAD
BD
ADB AB ∠=∠（1）
………………2分
在ACD ∆中，
,sin sin CAD
CD
ADC AC ∠=∠（2） ………………4分
又DAC BAD ADC ADB ∠=∠∠=∠sin sin ,sin sin DC
BD
AC AB =∴
………………6分 （2）在ABC ∆中，22221221cos1207BC =+-⋅⋅⋅︒=
又37,732,2==∴==DC BD DC BD AC AB ………………8分
法一：在ABD ∆中，BAD AD AB AD AB BD ∠⋅-+=cos 2222
34
32,60cos 222)732(
222或=︒⋅⋅-+=AD AD AD
………………10分 在ACD ∆中，,60, =∠<∠∴>DAC ADC AC DC
CD AD DAC ACD >∴∠>∠∴,23
AD ∴= ………………12分
法二：
故222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅………………10分
在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2
-2AB•BDcos∠
ABD
2
=4+22-⨯⎝⎭
4
=9
所以23AD =． ………………12分
18． 如图，由20,8,y x y x ===围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上求一点M ，使得过M 所作的2y x =
PQA 面积最大。

设M 2(,)t t 得切线方程22(),(08)y t t x t t -=-<≤，2(,0),(8,16)2t P Q t t -
21(8)(16)22PQA t S t t ∆=--通过求导知：当163
t =时，面积最大，此时16256
(,)39M
19.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点.
(1)求证：AF ∥平面BCE ；
(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.
解 设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，
A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，
B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)，E (a ，3a ，2a ).
∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
a ，
3a 2，0. (1)证明 AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC
→＝(2a ，0，－a )， ∴AF
→＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，
∴AF ∥平面BCE .
(2)设平面BCE 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＋z ＝0，2x －z ＝0，不妨令x ＝1可得m ＝(1，－3，2).
设平面BDE 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BD →＝0，
即⎩⎨⎧x ＋3y ＋z ＝0，
x ＋3y －z ＝0.令x ＝3可得n ＝(3，－1，0). 于是，cos 〈m ，n 〉＝
m ·n |m |×|n |
＝6
4.
故二面角C －BE －D 的余弦值为6
4.
20.若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝
a n ＋1
b n ＋1，数列{
c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋n
2
n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.
解 (1)∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. ∴n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1. 又数列{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ∴2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，
∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. ∴b n ＝2n －1.
(2)由数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1＝2n 2n ＝n
2
n －1， 数列{c n }的前n 项和为 T n ＝1＋22＋322＋…＋n
2n －1，
∴12T n ＝12＋2
22＋…＋n －12n －1＋n 2n ，
两式作差，得
∴12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n
1－12－n
2n ＝2－n ＋22n ，∴T n
＝4－n ＋22n －1. 不等式(－1)n λ<T n ＋n 2n －1，化为(－1)n λ<4－2
2n －1，
n ＝2k (k ∈N *)时，λ<4－
22n
－1
，取n ＝2，∴λ<3. n ＝2k －1(k ∈N *
)时，－λ<4－
2
2n －1，取n ＝1，∴λ>－2.
综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).
21. 已知()ln f x x =，()()2
102
g x ax bx a =
+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；
第页
（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=
，证明：()00h x '<． 21.解：（Ⅰ）()()23ln 2,0,2
h x x x x x =--∈+∞ ()()()()2311132132,0,x x x x h x x x x x x
--+--+'∴=--==∈+∞ 令()()()3110x x h x x
--+'∴==得：13x = 当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， ()15=ln 336h x h ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭
极大值，()h x 极小值不存在． （Ⅱ）函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，
()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02
h x x x bx =--= ()()2212111222ln ln 22
a a h x h x x x bx x x bx ∴-=----- ()()22121212ln ln 02
a x x x x
b x x =-----= 即()()22121212ln ln 2
a x x x x
b x x -=-+- 又()()()()1h x f x g x ax b x '''=-=-+，1202
x x x +=， ()1201222x x h x a b x x +⎛⎫'∴=-+ ⎪+⎝⎭
， ()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+'∴-=--- ⎪+⎝⎭
()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦
()()121212
2ln ln x x x x x x -=--+
第页 121122
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+． 令()12
01x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t -=-<<+ ()()()()2
22141011t r t t t t t --'∴=-=<++ ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，
121122
21ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '∴->， 又120x x -<，()00h x '∴<．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，若8AB =，求a 的值．
22.解：（Ⅰ）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos ,sin x y ρθρθ==，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．
（Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα
=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =． 22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1212224sin 4,cos cos t t t t ααα
-∴+=
⋅=
128AB t t =-===
cos 4
παα∴=∴=或34π．
23.选修4-5：不等式选讲
已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使得f(x)<2成立.
(1)求实数m的值；
(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝6，求证：4
α
＋
1
β
≥
9
4.
(1)解因为|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，
要使|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.
∵m∈N*，∴m＝1.
(2)证明α，β>1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，∴α＋β＝4，
∴4
α
＋
1
β
≥
1
4⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
4
α
＋
1
β(α＋β)
＝1
4⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5＋
4β
α＋
α
β≥
1
4⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5＋2
4β
α·
α
β＝
9
4，
当且仅当4β
α
＝
α
β
，
即α＝8
3，β＝
4
3时“＝”成立，
故4
α
＋
1
β
≥
9
4.
第页。