八年级数学上册第5章二元一次方程组专题突破四一次函数与几何问题综合全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特
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数学 八年级 上册 • B
秋季
第五章 二元一次方程组
专题突破四 一次函数与几何问题综合
1/7
1．如图，过点(0，－2)的直线l1：y1＝kx＋b(k≠0)与直 线l2：y2＝x＋1交于点P(2，m)． (1)写出使得y1＜y2的x的取值范围； (2)求点P的坐标和直线l1的解析式． 解：(1)由图象可得：当x＜2时，y1＜y2；
6/7
解：(1)令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，故点A的坐标为(4,0)，点B的坐 标为(0,3)；
(2)设OC＝x，则AC＝CB＝4－x，∵∠BOA＝90°，∴OB2 ＋OC2 ＝
CB2 ,32 ＋x2 ＝(4－x)2 ，解得 x＝78，∴OC＝78； (3)设P点坐标为(x,0)，当PA＝PB时， x－4 2 ＝ x2 ＋9 ，解得x＝
(2)∵点P(2，m)在直线y2＝x＋1上，∴m＝2＋1＝3，点P的坐标为(2,3)，把
P(2,3)、(0，－2)分别代入y1＝kx＋b，得2b＝k＋－b＝ 2 3
，解得k＝52 b＝－2
.∴直
线l1的表达式为y1＝25x－2.
2/7
2．如图所示，已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2：y＝－ x＋5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于
PQOB＝S△PAB－S△AOQ，∴21×2×34－12n2＝56，∴n2＝1，又n＞0，∴n＝1，∴
m＝2，∴P(13，43)．
5/7
5．如图，一次函数y＝－
3 4
x＋3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，再
将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与
AB交于点D.
(1)求A、B两点的坐标； (2)求OC的长； (3)设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标．
7 8
；当PA＝AB时，
x－4 2 ＝
42 ＋ 32 ，
解得x＝9或x＝－1；当PB
＝AB时， x2 ＋ 32 ＝ 42 ＋ 32 ，解得x＝－4(x＝4，舍去)．∴P点坐
标为(87，0)、(－1,0)或(9,0)、(－4,0)．
7/7
3．在平面直角坐标系中，直线y＝－
1 2
x＋b分别交x轴于点A，交y轴于点
B，且S△ABO＝4，求直线AB的表达式．
解：由题意知A(2b,0)、B(0，b)，又S△ABO＝21OA·OB＝4，∴21|2b|·|b|＝4，∴|b|2＝4，ຫໍສະໝຸດ b＝±2，∴yAB＝－12x±2.
4/7
4．如图，直线y＝x＋n(n＞0)交x轴于点A，交y轴于点Q，直线y＝－2x＋
点A.
(1)求A、B、C三点坐标；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)令y＝2x＋3中的y＝0，得x＝－
3 2
，令y＝－x＋5中的y＝0，得x＝5，
所以点B(－
3 2
，0)、点C(5,0)．由
y＝2x＋3 y＝－x＋5
x＝23 ，解得 y＝133
.所以A点的
坐标为(23，133)；
(2)由(1)可得BC＝123，BC边上的高为133，所以S△ABC＝12×123×133＝11629. 3/7
m(m＞n)交x轴于点B，交AQ于点P.
(1)用m、n表示A、B、P的坐标；
(2)若AB＝2，四边形PQOB面积为
6 5
，求点P的坐
标．
解：(1)A(－n,0)、B(m2 ，0)、P(m－3 n，m＋3 2n)；
(2)当AB＝2时，即
m 2
＋n＝2，∴m＋2n＝4，此时，点P纵坐标为
4 3
，S四边形
秋季
第五章 二元一次方程组
专题突破四 一次函数与几何问题综合
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1．如图，过点(0，－2)的直线l1：y1＝kx＋b(k≠0)与直 线l2：y2＝x＋1交于点P(2，m)． (1)写出使得y1＜y2的x的取值范围； (2)求点P的坐标和直线l1的解析式． 解：(1)由图象可得：当x＜2时，y1＜y2；
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解：(1)令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，故点A的坐标为(4,0)，点B的坐 标为(0,3)；
(2)设OC＝x，则AC＝CB＝4－x，∵∠BOA＝90°，∴OB2 ＋OC2 ＝
CB2 ,32 ＋x2 ＝(4－x)2 ，解得 x＝78，∴OC＝78； (3)设P点坐标为(x,0)，当PA＝PB时， x－4 2 ＝ x2 ＋9 ，解得x＝
(2)∵点P(2，m)在直线y2＝x＋1上，∴m＝2＋1＝3，点P的坐标为(2,3)，把
P(2,3)、(0，－2)分别代入y1＝kx＋b，得2b＝k＋－b＝ 2 3
，解得k＝52 b＝－2
.∴直
线l1的表达式为y1＝25x－2.
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2．如图所示，已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2：y＝－ x＋5，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于
PQOB＝S△PAB－S△AOQ，∴21×2×34－12n2＝56，∴n2＝1，又n＞0，∴n＝1，∴
m＝2，∴P(13，43)．
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5．如图，一次函数y＝－
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x＋3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，再
将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与
AB交于点D.
(1)求A、B两点的坐标； (2)求OC的长； (3)设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标．
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；当PA＝AB时，
x－4 2 ＝
42 ＋ 32 ，
解得x＝9或x＝－1；当PB
＝AB时， x2 ＋ 32 ＝ 42 ＋ 32 ，解得x＝－4(x＝4，舍去)．∴P点坐
标为(87，0)、(－1,0)或(9,0)、(－4,0)．
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3．在平面直角坐标系中，直线y＝－
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x＋b分别交x轴于点A，交y轴于点
B，且S△ABO＝4，求直线AB的表达式．
解：由题意知A(2b,0)、B(0，b)，又S△ABO＝21OA·OB＝4，∴21|2b|·|b|＝4，∴|b|2＝4，ຫໍສະໝຸດ b＝±2，∴yAB＝－12x±2.
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4．如图，直线y＝x＋n(n＞0)交x轴于点A，交y轴于点Q，直线y＝－2x＋
点A.
(1)求A、B、C三点坐标；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)令y＝2x＋3中的y＝0，得x＝－
3 2
，令y＝－x＋5中的y＝0，得x＝5，
所以点B(－
3 2
，0)、点C(5,0)．由
y＝2x＋3 y＝－x＋5
x＝23 ，解得 y＝133
.所以A点的
坐标为(23，133)；
(2)由(1)可得BC＝123，BC边上的高为133，所以S△ABC＝12×123×133＝11629. 3/7
m(m＞n)交x轴于点B，交AQ于点P.
(1)用m、n表示A、B、P的坐标；
(2)若AB＝2，四边形PQOB面积为
6 5
，求点P的坐
标．
解：(1)A(－n,0)、B(m2 ，0)、P(m－3 n，m＋3 2n)；
(2)当AB＝2时，即
m 2
＋n＝2，∴m＋2n＝4，此时，点P纵坐标为
4 3
，S四边形