2023年高考数学(理科)一轮复习——用样本估计总体
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第十章 算法初步、统计与统计案例
索引
考试要求
1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、 频率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据 标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样 本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本的基本数字特征估计 总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽 样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
图②
索引
解 作出频率分布直方图如图：
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度 评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比 较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
索引
(2)根据用户满意度评分，将用户和满意度分为三个等级：
∴这 100 名参赛者得分的中位数为 60＋0.50－.30.4×10≈63.3，故 C 错误.
索引
考点二 统计图表及应用 角度1 扇形图
例2 (2022·郑州模拟)某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同 学参加课外知识测试，测试共5题道，每答对一题得20分，答错得0分.已知每 名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
解 A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”； CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
a1＋a2＋…＋an (3)平均数：把_________n_________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为－x，则这组数据 的标准差和方差分别是
s＝ n1[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－－x）2]， s2＝n1[(x1－－x)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2].
索引
6.(易错题)若数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数－x＝5，方差 s2＝2，则数据 3x1
＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1 的平均数和方差分别为_1_6_，___1_8_.
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5， ∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数是3×5＋1＝16， ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2， ∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
A.91.5和91.5
B.91.5和92
C.91和91.5
D.92和92
解析 这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96， ∴中位数是91＋2 92＝91.5， 平均数－x＝87＋89＋90＋91＋8 92＋93＋94＋96＝91.5.
索引
4.(易错题)已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是____6_5___，平均数 是____6_7___.
A.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C.从该关键词的搜索指数来看，2019年10月的方差小于11月的方差 D.从该关键词的搜索指数来看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值
解析 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显 著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋 势不显著，排除B；由统计图可知，2019年10月该关键词的搜索指数波动较 大，11月的波动较小，所以2019年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统 计图可知，2019年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大 于10 000，2020年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于 10 000，选D.
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( √ ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( × )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率
越大.( √ )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，
解析 因为最高小长方形中点的横坐标为65，所以众数为65； 平 均 数－x＝ (55×0.030 ＋ 65×0.040 ＋ 75×0.015 ＋ 85×0.010 ＋ 95×0.005)×10 ＝67.
索引
5.(2021·新高考全国Ⅱ卷改编)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散 程度的所有正确编号有__①___③___.
索引
感悟提升
1.频率分布直方图的性质. 频率
(1)小长方形的面积＝组距×组距＝频率； (2)各小长方形的面积之和等于 1；
频率 (3)小长方形的高＝组矩. 2.要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系.
索引
训练1 (2021·江西省重点中学联考)江西省重点中学协作体于2021年进行了一次 校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在
索引
角度3 茎叶图
例4 (2022·西安模拟)中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别 最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹 克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，
则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为( B )
A.85，75 C.74，76
得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是
(D )
A.20
B.40
C.64
D.80
解析 由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量为 400×0.05×4＝80.
索引
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中
位数和平均数分别是( A)
[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是( C )
A.得分在[40，60)之间的共有40人 B.从这100名参赛者中随机选取1人，其 得分在[60，80)的概率为0.5 C.这100名参赛者得分的中位数为65 D.可求得a＝0.005
索引
解析 对于A，得分在[40，60)之间的有100×[1－(0.030＋0.020＋0.010)×10] ＝40(人)，故A正确； 对于B，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为(0.030 ＋0.020)×10＝0.5，故B正确； 对于D，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，故D正确； 对于C，得分在[40，60)的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4， 得分在[60，70)的频率为0.030×10＝0.3，
①样本x1，x2，…，xn的标准差 ②样本x1，x2，…，xn的中位数 ③样本x1，x2，…，xn的极差 ④样本x1，x2，…，xn的平均数 解析 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.故①③正确.
索引
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
频率 横轴表示样本数据，纵轴表示__组__距__，每个小矩形的面积表示样本落在该组 内的__频__率__.
索引
2.茎叶图 统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从 茎的旁边生长出来的数.
索引
3.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中__出__现__次___数__最__多__的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于___最__中__间__位置的一个数据(或最 中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 频率分布直方图
例1 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个 用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分 布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表. A地区用户满意度评分的频率分布直方图
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法： 极差
第一步：求_极__差___，决定组数和组距，组距＝__组__数__； 第二步：__分__组__，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭 区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是( C )
A.该次课外知识测试及格率为90% B.该次课外知识测试得满分的同学有30名 C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D.若该校共有3 000名学生，则课外知识测试成绩能 得优秀的同学大约有1 440名
索引
解析 由题图可知及格率为1－8%＝92%，故A错误. 该次课外知识测试得满分同学占的百分比为1－8%－32%－48%＝12%，则 得满分的同学有12%×200＝24(名)，故B错误. 中位数为80分，平均数为40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分， 故C正确. 3 000×(48%＋12%)＝1 800(名)，故D错误.
相同的数据可Байду номын сангаас只记一次.( × )
解析 (2)错误.方差越大，这组数据越离散. (4)错误.在茎叶图中，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.
索引
2.(2021·天津卷)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，
将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理
索引
角度2 折线图
例3 (2021·昆明诊断)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的 次数为基础所得到的统计指标.搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数 越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这 半年来某个关键词的搜索指数变化的统计图.
索引
根据该统计图判断，下列结论正确的是( D )
索引
常用结论
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方 形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
索引
2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为x－，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…， mxn＋a 的平均数是 mx－＋a. (2)数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. ①数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2； ②数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
B.85，76
D.75，77
索引
解析 由茎叶图知，出现的数据最多的是85，故众数为85； 由于数据总数为 14 个，故中位数为排序后第七个和第八个数据的平均数，即 75＋2 77＝76，故选 B.
图①
索引
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较
两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
索引
考试要求
1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、 频率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据 标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样 本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本的基本数字特征估计 总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽 样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
图②
索引
解 作出频率分布直方图如图：
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度 评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比 较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
索引
(2)根据用户满意度评分，将用户和满意度分为三个等级：
∴这 100 名参赛者得分的中位数为 60＋0.50－.30.4×10≈63.3，故 C 错误.
索引
考点二 统计图表及应用 角度1 扇形图
例2 (2022·郑州模拟)某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同 学参加课外知识测试，测试共5题道，每答对一题得20分，答错得0分.已知每 名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
解 A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”； CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
a1＋a2＋…＋an (3)平均数：把_________n_________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为－x，则这组数据 的标准差和方差分别是
s＝ n1[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－－x）2]， s2＝n1[(x1－－x)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2].
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6.(易错题)若数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数－x＝5，方差 s2＝2，则数据 3x1
＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1 的平均数和方差分别为_1_6_，___1_8_.
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5， ∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数是3×5＋1＝16， ∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2， ∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
A.91.5和91.5
B.91.5和92
C.91和91.5
D.92和92
解析 这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96， ∴中位数是91＋2 92＝91.5， 平均数－x＝87＋89＋90＋91＋8 92＋93＋94＋96＝91.5.
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4.(易错题)已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是____6_5___，平均数 是____6_7___.
A.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B.这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C.从该关键词的搜索指数来看，2019年10月的方差小于11月的方差 D.从该关键词的搜索指数来看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值
解析 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显 著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋 势不显著，排除B；由统计图可知，2019年10月该关键词的搜索指数波动较 大，11月的波动较小，所以2019年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统 计图可知，2019年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大 于10 000，2020年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于 10 000，选D.
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( √ ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( × )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率
越大.( √ )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，
解析 因为最高小长方形中点的横坐标为65，所以众数为65； 平 均 数－x＝ (55×0.030 ＋ 65×0.040 ＋ 75×0.015 ＋ 85×0.010 ＋ 95×0.005)×10 ＝67.
索引
5.(2021·新高考全国Ⅱ卷改编)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散 程度的所有正确编号有__①___③___.
索引
感悟提升
1.频率分布直方图的性质. 频率
(1)小长方形的面积＝组距×组距＝频率； (2)各小长方形的面积之和等于 1；
频率 (3)小长方形的高＝组矩. 2.要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系.
索引
训练1 (2021·江西省重点中学联考)江西省重点中学协作体于2021年进行了一次 校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在
索引
角度3 茎叶图
例4 (2022·西安模拟)中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别 最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹 克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，
则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为( B )
A.85，75 C.74，76
得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是
(D )
A.20
B.40
C.64
D.80
解析 由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量为 400×0.05×4＝80.
索引
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中
位数和平均数分别是( A)
[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是( C )
A.得分在[40，60)之间的共有40人 B.从这100名参赛者中随机选取1人，其 得分在[60，80)的概率为0.5 C.这100名参赛者得分的中位数为65 D.可求得a＝0.005
索引
解析 对于A，得分在[40，60)之间的有100×[1－(0.030＋0.020＋0.010)×10] ＝40(人)，故A正确； 对于B，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为(0.030 ＋0.020)×10＝0.5，故B正确； 对于D，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，故D正确； 对于C，得分在[40，60)的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4， 得分在[60，70)的频率为0.030×10＝0.3，
①样本x1，x2，…，xn的标准差 ②样本x1，x2，…，xn的中位数 ③样本x1，x2，…，xn的极差 ④样本x1，x2，…，xn的平均数 解析 由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.故①③正确.
索引
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
频率 横轴表示样本数据，纵轴表示__组__距__，每个小矩形的面积表示样本落在该组 内的__频__率__.
索引
2.茎叶图 统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从 茎的旁边生长出来的数.
索引
3.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中__出__现__次___数__最__多__的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于___最__中__间__位置的一个数据(或最 中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 频率分布直方图
例1 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个 用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分 布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表. A地区用户满意度评分的频率分布直方图
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法： 极差
第一步：求_极__差___，决定组数和组距，组距＝__组__数__； 第二步：__分__组__，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭 区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是( C )
A.该次课外知识测试及格率为90% B.该次课外知识测试得满分的同学有30名 C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D.若该校共有3 000名学生，则课外知识测试成绩能 得优秀的同学大约有1 440名
索引
解析 由题图可知及格率为1－8%＝92%，故A错误. 该次课外知识测试得满分同学占的百分比为1－8%－32%－48%＝12%，则 得满分的同学有12%×200＝24(名)，故B错误. 中位数为80分，平均数为40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分， 故C正确. 3 000×(48%＋12%)＝1 800(名)，故D错误.
相同的数据可Байду номын сангаас只记一次.( × )
解析 (2)错误.方差越大，这组数据越离散. (4)错误.在茎叶图中，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.
索引
2.(2021·天津卷)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，
将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理
索引
角度2 折线图
例3 (2021·昆明诊断)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的 次数为基础所得到的统计指标.搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数 越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2019年9月到2020年2月这 半年来某个关键词的搜索指数变化的统计图.
索引
根据该统计图判断，下列结论正确的是( D )
索引
常用结论
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方 形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
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2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为x－，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…， mxn＋a 的平均数是 mx－＋a. (2)数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. ①数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2； ②数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
B.85，76
D.75，77
索引
解析 由茎叶图知，出现的数据最多的是85，故众数为85； 由于数据总数为 14 个，故中位数为排序后第七个和第八个数据的平均数，即 75＋2 77＝76，故选 B.
图①
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B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较
两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；