江苏省常州高级中学2023-2024学年第二学期阶段考试高二年级数学答案

高二数学第二学期第一次月考参考答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题正确的有（ ） A ．()sin cos ππ'=
B ．已知函数()()ln 21f x x =+，若()01f x '=，则00x =
C ．已知函数()f x 在R 上可导，若()12f '=，则()()
12Δ1lim
2Δx f x f x
∆→+−=
D ．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2
32ln f x x xf x '=++，则()924
f '=−
2．函数()1
e x
f x x
−=的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
0f
x
，得x >(0,1)单调递减，在图象符合. 3．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()f x x '<，且(2)1f =，则不等式2
1()12
f x x <
−的解集为（ ） A ．(2,)−+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞
4．若()3211
2132
f x x x x =−+++是区间()1,4m m −+上的单调函数，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．5m ≤− B ．3m ≥ C ．5m ≤−或3m ≥ D ．53m −≤≤
【答案】C
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式
0f x
，解得所以()f x 在1,2上单调递减，在若函数()31132
f x x =−+5．已知函数()1ln f x x x
=−在点1,1处的切线与曲线()2
12y ax a x =+−−只有一个公
共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1,9 B ．{}0,1,9 C ．{}1,9−− D ．{}0,1,9−−
6．已知函数()1ln 2x x f x a
=++
，()2
4x bx g x =−−−，52x =是函数()g x 的极值点，若
对任意的1
1e ,1x −⎡⎤∈⎣⎦，总存在唯一的()2,3x ∈−∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的
取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．[)4,+∞
C ．2,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．(],1−∞−
【答案】A
0f
x
，得x >1
11(e )2e a −=
−+112,2⎤
−++⎥ 7．已知0.1sin0.1,ln1.1,e 1a b c ===−，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<
【答案】A
【分析】分别构造函数()()()()=e 1,sin ,ln 1sin x
f x x
g x x x
h x x x −−=−=+−，利用导数
判断函数的单调性即可求解.
【详解】依题意，令()=e 1x f x x −−，则()e 1x
f x '=−，
当()0,x ∈+∞时，0f
x ，
8．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若函数(1)y f x x =+−与(2)y g x =+均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A ．(1)1g =
B ．函数(1)
f x y x
+=
的图象关于点(0,1)对称
C ．函数()g x 的周期为2
D ．()()2024
1
[(1)(11)]0k g k g k =−++=∑
【答案】C
()()()()()()2214120241g g g ⎡⎤=⨯−+−+⋅⋅⋅+−⎣⎦ ()()()()10122141g g ⎡⎤=⨯−+−⎣⎦
()()()()10122421012000g g =⨯+−=⨯−=
选项D 正确. 故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题CD 的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出()(2)2g x g x ++=，结合其周期进行求和从而判断D 选项.
二、多选题
9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x xf x ='的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A ．()f x 有两个极值点
B ．()0f 为函数的极大值
C ．()f x 有两个极小值
D ．()1f −为()f x 的极小值
【答案】BC
【分析】根据()()g x xf x '=的图象，得到()f x 的单调性和极值情况，得出结论.
【详解】根据()()g x xf x '=的图象，可得当<2x −时，()()0g x xf x '=>，可得()0f x '<，
即()f x 单调递减，
当20x −<<时，()()0g x xf x '=<，可得0f
x
，即()f x 单调递增，
当01x <<时，()()0g x xf x '=<，可得()0f x '<，即()f x 单调递减， 当1x >时，()()0g x xf x '=>，可得0f
x
，即()f x 单调递增，
因此()f x 在2x =−和1x =处取得极小值，在0x =处取得极大值，共3个极值点，可得A 错误，C 正确；
选项B ，()0f 为函数的极大值，即B 正确；()1f −不为函数的极小值，D 错误.
故选：BC
10．函数()()32
0ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）
A ．若()()120f x f x ⋅<，则()f x 有3个零点
B ．过()f x 上任一点至少可作两条直线与()f x 相切
C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点
D ．()()1223b f x f x f a ⎛⎫
+=− ⎪⎝⎭
0f
x
；(x ∈上单调递增，在()12,x x 上单调递减；x 趋近于+∞时， 此时由图象可知()f x 有同理当a<0时，易知f 且当x 趋近于−∞时，利用三次函数性质可知，当
此时由图象可知()f x 有3个零点；
所以若()()120f x f x ⋅<，则()f x 有3个零点，即A 正确；
所以B 错误；（即，过三次函数的对称中心，有且仅有一条切线） 若12x x <，结论成立，理由见下。

但是若反之，则下述结论都不成立
当0a >时，由选项A 易知()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且
()()21f x f x <；
若()10af x <，则()10<f x ，即()()210f x f x <<； 此时其图象如下图所示：
由图可知，()f x 只有一个零点；综上可知，若()1af x <由三次函数性质可知，函数11．已知函数ln (),e x
f x x
=
是自然对数的底数，则（ ） A ．()f x 的最大值为1
e
B ．(2)(3)f f >
C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=
D ．若关于x 的不等式119x x λ
⎛⎫≤
⎪⎝⎭
有正整数解，则6λ≥ 【答案】AD
【分析】根据已知，利用特值法、导数与函数的单调性以及结合函数图象进行计算求解.
又因为ln 2ln8ln 3ln 92636
=<=，所以当0λ<时，由ln ln 90x x
λ
≥>可知，必有故选：AD.
三、填空题
12．若函数321
()3
f x x ax x =−+存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为是 .
【答案】(,1)(1,)−∞−+∞
13．若函数()y f x =的解析式()e 2e x x
x f x −=−−，则使得()()21f x f x >−成立的x 的
取值范围是 . 【答案】{|1}x x <
14．已知函数()()1e ,0ln ,0x x x f x x x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩，函数()()()()()2g x f x f x a =−−，若函数()g x 恰
有三个零点，则a 的取值范围是 ．
10,e ⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎭⎝⎭
利用导数法，作出函数()2x =没有解，得到解的个数相等求解.0f
x
，函数)21
2e
=−
，(f )0x <，当1−<0f
x
，函数()'0f x <，函数)10=，
令()()()()20f x f x a −−=，
得()f x a =或()2f x =，由图象可得f 所以方程()()()()20f x f x a −−=的解的个数与方程而方程()f x a =的解的个数与函数y =
四、解答题
15．已知函数()32
212f x x ax x b =−++在2x =处取得极小值5．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的值域． 【答案】(1)9a =，1b =；(2)[1,10]
【分析】（1）由题意得到()20f '=，()245f b =+=，求出9a =，1b =，检验后得到答案；
（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【详解】（1）()26212f x x ax '=−+，
因为()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a '=−+=，得9a =，
此时()()()2
61812612f x x x x x x '=−+=−−
所以()f x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意
所以9a =，()32
2912f x x x x b =−++．
故[]0,3x ∈时，()f x 的值域为[1,10]． 16．已知函数()()2
122ln ,2
f x x a x a x a R =
+−−∈. （1）求函数()f x 的单调区间；
（１）
()f x '=(2,)+∞，减区间为)+∞，无减区间；(0,2),(,a −+∞(0,),(2,a −）
()12
f x =
则对任意的1,x ()(221
f x f x x −−)ax f −>
考点：导数的几何意义；构造函数．
17．已知函数()e sin 1x
f x a x =++在区间π0,2
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
内恰有一个极值点，其中,e a ∈R 为自然
对数的底数.
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：()f x 在区间3π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭内有唯一零点.
0f
x ，（或用表格代替，说明
18．已知函数()2
12ln 2
x f x ax x =+
−（a 为常数）. （1）若()f x 不存在极值点，求实数a 的取值范围;
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且121x x −≤，求()()12f x f x −的取值范围.
0f
x
在定义域上恒成立，即0,
上恒成立又二次函数图象的对称轴为0a
⎧>⎪
19．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐
标系，悬链线可为双曲余弦函数()e e ch 2
x x
x −+=的图象，类比三角函数的三种性质：①
平方关系：①22sin cos 1x x +=，②和角公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=−，③导
数：()()sin cos ,
cos sin ,
x x x x ⎧'=⎪⎨'⎪=−⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x x
x −−=．
(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)若当0x >时，()sh x ax >恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)求()()2
ch cos f x x x x =−−的最小值．。