九年级数学上册复习专题17二次函数中平行四边形与等腰三角形存在性问题(1)

专题17二次函数中平行四边形与等腰三角形存在性问题
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为
1 两个结论，解题的切入点
数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点
坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1 线段中点坐标公式
平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐
标为(
2
2
1
x
x+
,
2
2
1
y
y+
).
证明
如图1，设AB中点P的坐标为(x P,y P).由x P-x1=x2-x P，得x P=
2
2
1
x
x+
，同
理y P=
2
2
1
y
y+
，所以线段AB的中点坐标为(
2
2
1
x
x+
,
2
2
1
y
y+
).
1.2 平行四边形顶点坐标公式
□ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，
则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.
证明：
如图2，连接AC、BD，相交于点E．
∵点E为AC的中点，
∴E点坐标为(
2
C
A
x
x+
,
2
C
A
y
y+
).
又∵点E为BD的中点，
∴E点坐标为(
2
D
B
x
x+
,
2
D
B
y
y+
).
∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.
总结即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
图4
2.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题
题目
例1 已知抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=
2
1
x -a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N .
(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M ( ), N ( )； (2)如图4，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；
(3)在抛物线y=x 2-2x+a (a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.
解答
解：(1)M (1,a -1)，N (a 3
4,-a 3
1)；(2)a=-49；S 四边形ADCN =16189；
(3)由已知条件易得A (0,a )、C (0,-a )、N (a 3
4
,-a 3
1).设P (m ,m 2-2m +a ). ①当以AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-+-=-+=+a
m m a a a m a 23134002,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==8152
5a m . ∴P 1(
25,-8
5
)； ②当以AN 为对角线时，得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-+-=-+=+a
m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==8152
5a m (不合题意，舍去). ③当以CN 为对角线时，得:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-+=--+=+a
m m a a a m a 23103402,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=-=832
1a m . ∴P 2(-
21,8
7
). ∴在抛物线上存在点P 1(25,-8
5
)和P 2(-21,87)，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边
形.
反思 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.
解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=13
2
3
1
2--
x x ； (2)由题意知点Q 在y 轴上，设点Q 坐标为(0,t )；点P 在抛物线上， 设点P 坐标为(m,132
312--m m ).
尽管点Q 在y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．
①当以AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m ， ∴m=-4，∴P 1(-4,7)；
②当以BQ 为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P 2(4,3
5)； ③当以AB 为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P 3(2,-1). 综上，满足条件的点P 为P 1(-4,7)、P 2(4,3
5)、P 3(2,-1).
这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x 轴（y 轴）或对称轴或某一定直线上．设
图6
题目
例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (2,0)三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =-x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
解答
解：（1）易求抛物线的解析式为y=
2
1x 2
+x -4； （2）s=-m 2-4m (-4<m <0)；s 最大=4（过程略）；
（3）尽管是直接写出点Q 的坐标，这里也写出过程．由题意知O (0,0)、B (0,-4). 由于点Q 是直线y=-x 上的动点，设Q (s ,-s )，把Q 看做定点；设P (m ,2
1m 2
+m -4). ①当以OQ 为对角线时， ⎪⎩
⎪
⎨
⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s=-252±.
∴Q 1(-2+52,2-52)，Q 2(-2-52,2+52)；
②当以BQ 为对角线时， ⎪⎩
⎪
⎨
⎧--=-+++=+s m m s m 44210002 ∴s 1=-4，s 2=0(舍). ∴Q 3(-4,4)；
③当以OB 为对角线时， ⎪⎩
⎪
⎨
⎧-++-=-+=+42140002m m s m s ∴s 1=4，s 2=0(舍). ∴Q 4(4,-4).
综上，满足条件的点Q 为Q 1(-2+52,2-52)、Q 2(-2-52,2+52)、Q 3(-4,4)、Q 4(4,-4).
反思
该题中的点Q 是直线y =-x 上的动点，设动点Q 的坐标为(s ,-s )，把Q 看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.
4 问题总结
这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），
则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】
（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
1
2
x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB 解析式为y=kx+b ， 将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
6
60b k b =⎧⎨
+=⎩
， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩
，
则直线AB 解析式为y=﹣x+6， 设P （t ，﹣
12
t 2
+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN
=
12PN•AG+1
2PN•BM =1
2PN•（AG+BM ） =1
2PN•OB =12×（﹣1
2t 2+3t ）×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32（t ﹣3）2+272
，
∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）△PDE 为等腰直角三角形， 则PE=PD ， 点P （m ，-
12
m 2
+2m+6）， 函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ， 则PE=|2m -4|， 即-
12
m 2
+2m+6+m -6=|2m -4|，
解得：m=4或-2或5-2和
故点P的坐标为：（4，6）或（5-5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1（0）和点B与y轴交于点C（0（3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M（N同时停止运动，问点M（N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2（4x+3（（2（点P的坐标为：（）或（）或（0（-3）或（0（0（（（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当（PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：（CP=CB；（PB=PC；（BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S（MNB=1
2
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据
二次函数的性质即可得（MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
10
3
b c c ++=⎧⎨
=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，
（二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， （B （3，0），
，
点P 在y 轴上，当（PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
（当CP=CB 时，或OP=PC ﹣﹣3
（P 1（0，），P 2（0，3﹣； （当PB=PC 时，OP=OB=3， （P 3（0，-3）； （当BP=BC 时， （OC=OB=3 （此时P 与O 重合， （P 4（0，0）；
综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ， （S（MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1， 当点M 出发1秒到达D 点时，（MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A（（1（0（（B（3（0）两点，与y 轴相交于点C（0（（3（（ （1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ①求线段PM 的最大值；
②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2（2x（3（（2（①PM 最大=9
4
（②P （2，﹣3）或（3
，2﹣
）（ 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2（①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】
（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，
得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得1
23a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得
303k b b +=⎧⎨
=-⎩，解得1
3k b =⎧⎨=-⎩
， BC 的解析式为y=x ﹣3，
设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+9
4
， 当n=
32时，PM 最大=9
4
； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；
当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，
解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=（不符合题意，舍），n 3=3，
n 2﹣2n ﹣3=2-，
P （3，）；
综上所述：P （2，﹣3）或（3，2﹣）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，
解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.
4．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．
(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．
(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
(1)y=-23x 2-43x+2；(2)S 的最大值为174；(3)存在，点N 的坐标为：(74-，34-+)或(14
--，
)或)或)．
【解析】
【分析】
(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；
(2)S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；
(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】
解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，
即-3a=2，解得：a=-2
3
，
故抛物线的表达式为：y=-2
3
x2-
4
3
x+2，
则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1；
(2)连接OP，设点P(x，-2
3
x2-
4
3
x+2)，
则S=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=1
2
×AO×y P+
1
2
×OC×|x P|-
1
2
×CO×OD
=1
3
2
⨯⨯(-
2
3
x2-
4
3
x+2)
1
2
+×2×(-x)-
1
21
2
⨯⨯=-x2-3x+2，
∵-1＜0，故S有最大值，当x=-3
2
时，S的最大值为
17
4
；
(3)存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N 在x 轴上方时，点N 的位置为N 1、N 2，
N 1的情况(△M 1N 1O)：
设点N 1的坐标为(x ，-23x 2-43
x+2)，则M 1E=x+1， 过点N 1作x 轴的垂线交x 轴于点F ，过点M 1作x 轴的平行线交N 1F 于点E ，
∵∠FN 1O+∠M 1N 1E=90°，∠M 1N 1E+∠EM 1N 1=90°，∴∠EM 1N 1=∠FN 1O ，
∠M 1N 1E=∠N 1OF=90°，ON 1=M 1N 1，
∴△M 1N 1E ≌△N 1OF(AAS)，∴M 1E=N 1F ，
即：x+1=-23x 2-43x+2，解得：(舍去负值)，
则点N 1)； N 2的情况(△M 2N 2O)：
同理可得：点N 2(14--，34
-)； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为N 3、N 4，
同理可得：点N 3、N 4的坐标分别为：)、)；
综上，点N )或)或)或，
)． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
5．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积最大？
（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣
32，154） （3）存在，P （﹣2，3）或P （52
-，52-+） 【解析】
【分析】 （1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3
＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2
E P
x x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t
【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）
∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3
（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F
∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3
∴A （0，3）
∴直线AB 解析式为y ＝x +3
∵点P 在线段AB 上方抛物线上
∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）
∴F （t ，t +3）
∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278
∴点P 运动到坐标为（﹣
32，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形
设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3）
∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4
∴对称轴为直线x ＝﹣1
∵PE ∥x 轴交抛物线于点E
∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称 ∴2
E P x x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t
∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |
∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°
∴PD ＝PE
①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t
∴﹣t 2
﹣3t ＝﹣2﹣2t
解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2
∴P （﹣2，3）
②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t
∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t
解得：t 1，t 2（舍去）
∴P ）
综上所述，点P 坐标为（﹣2，3）或（
52
-+，52-+）时使△PDE 为等腰直角三角形．
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.
6．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使（POB 与（POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且（ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．
【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P ）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.
【解析】
【分析】
（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解.
（2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在（POB 和（POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：（POC=（POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，
∴y ＝2x ﹣6，
令y ＝0，解得：x ＝3，
∴B 的坐标是（3，0）．
∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0，
解得a ＝1，
∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3．
（2）存在．
∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，
∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，
此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．
设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m （m 0，舍），
∴P （2，2
）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ，
∴1DQ AD
OD DB =DQ 1＝52， ∴OQ 1＝
72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴
2OQ OB OD OB =，即2363
OQ =， ∴OQ 2＝32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，
则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴33OQ OB Q E AE =，即33341
OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3，
即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）．
综上，Q 点坐标为（0，-72）或（0，32
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）． 7．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A（（4（0（（B（1（0）两点，过点B 的直线y=kx+
23分别与y 轴及抛物线交于点C（D（
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；
（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E（F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M（N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为49
、233．（3）N 点坐标为（﹣2（（2（（M 点坐标为（﹣
32（（54
（（ 【解析】
分析：（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C（P 2D ⊥DC（P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；
（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．
详解：（1）把A（（4（0（（B（1（0）代入y=ax 2+2x+c（
得168020
a c a c -+=⎧⎨++=⎩（ 解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（ ∴抛物线解析式为：y=
228233
x x +-（ ∵过点B 的直线y=kx+23
（ ∴代入（1（0），得：k=（23
（ ∴BD 解析式为y=（2233x +（ （2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
得交点坐标为D（（5（4（（ 如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F（
当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形，
则△DEP 1∽△P 1OC（ ∴DE PO =PE OC ，即4t =523
t -（ 解得
（ 当P 2D ⊥DC 于点D 时，△P 2DC 为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得DB
EB
=2
P B
DB
（
=
6
（
解得：t=
23
3
（
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3（
∴
DF
OC
=
3
CF
P O，即
5
2
3
=
10
3
t
（
解得：t=
4
9
（
∴t的值为
4
9
（
23
3
（
（3）由已知直线EF解析式为：y=（
2
3
x（
10
3
（
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a（（
210
33
a-（（
∴
OE
NH
=
OF
HD'
，即
5
210
4()
33
a
---
=
10
3
2a
-
（
解得：a=（2（
则N点坐标为（﹣2（（2（（
求得直线ND′的解析式为y=
3
2
x+1（
当x=（
3
2
时，y=（
5
4
（
∴M点坐标为（﹣
3
2
（（
5
4
（（
此时，DM+MN
点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意
数形结合．
8．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．
（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；
（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得（CDE 的周长最小，求点E 的坐标；
（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得（AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37
-
，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】 试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时（CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；
（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分（PAF=90°、（AFP=90°和（APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论． 试题解析：（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，（A 在B 的左侧，（A （﹣3，0），B （1，0）．
当223y x x =--+中x=0时，则y=3，（C （0，3）．
（223y x x =--+=2(1)4x -++，（顶点D （﹣1，4）．
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时（CDE 的周长最小，如图1所示．
（C （0，3），（C′（0，﹣3）．
设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3
k b =-=-，（直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，（当（CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37
-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3
a c ==，（直线AC 的解析式为y=x+3． 假设存在，设点F （m ，m+3），（AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
（当（PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），（点P 在抛物线223y x x =--+上，（2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；
（当（AFP=90°时，P （2m+3，0）
（点P 在抛物线223y x x =--+上，（20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；
（当（APF=90°时，P （m ，0），（点P 在抛物线223y x x =--+上，（2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），
m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）．
综上可知：在抛物线上存在点P ，使得（AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．
考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．
9．如图，已知抛物线y=（14x 2（12
x+2与x 轴交于A（B 两点，与y 轴交于点C （1）求点A（B（C 的坐标；
（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A（B（E（F 为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得（ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），点C坐标（0，2）；（2）；（3）M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．
【解析】
（1（分别令y=0（x=0，即可解决问题（（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7（（27
4
）
或（5（（27
4
），由此不难解决问题（（3）分A（C（M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．
解：（1）令y=0得﹣1
4
x2（
1
2
x+2=0（∴x2+2x（8=0（
x=（4或2（∴点A坐标（2（0），点B坐标（﹣4（0（（令x=0，得y=2（∴点C坐标（0（2（（
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，
∵AB=EF=6，对称轴x=（1（
∴点E的横坐标为﹣7或5（∴点E坐标（﹣7（（27
4
）或（5（（
27
4
），此时点F（（1（（
27
4
（
∴以A（B（E（F为顶点的平行四边形的面积=6×27
4
=
27
4
（
（3）如图所示，
①当C为顶点时，CM1=CA（CM2=CA，作M1N⊥OC于N（
在RT△CM1N中，（
∴点M1坐标（﹣，点M2坐标（﹣
②当M3为顶点时，
∵直线AC解析式为y=（x+2，线段AC的垂直平分线为y=x（∴点M3坐标为（﹣1（（1（（
③当点A 为顶点的等腰三角形不存在．
综上所述点M 坐标为（﹣1（（1）或（﹣
（（
“点睛”本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A （（1（0（（B （4（0（（C （0（（4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．
【答案】（1（y =x 2（3x （4（（2）存在，P
（3172
+（（2（（（3）当P 点坐标为（2（（6）时，△PBC 的最大面积为8（
【解析】
【分析】
【详解】 试题分析：（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P 在线段OC 的垂直平分线上，则可求得P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标；（3）过P 作PE（x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出（PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得（PBC 面积的最大值及P 点的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，
把A 、B 、C 三点坐标代入可得016404a b c a b c c -+=⎧⎪=+=⎨⎪=-⎩
，解得134a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，
（抛物线解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；
（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，
（PO=PD ，此时P 点即为满足条件的点，（C （0，﹣4），（D （0，﹣2），（P 点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x 2﹣3x ﹣4=﹣2，解得（小于0，舍去）或
（存在满足条件的P 2）； （3）（点P 在抛物线上，（可设P （t ，t 2﹣3t ﹣4），
过P 作PE（x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，
（B （4，0），C （0，﹣4），（直线BC 解析式为y=x ﹣4，（F （t ，t ﹣4），
（PF=（t ﹣4）﹣（t 2﹣3t ﹣4）=﹣t 2+4t ，
（S △PBC =S △PFC +S △PFB =12PF•OE+12PF•BE=12PF•（OE+BE ）=12PF•OB=12
（﹣t 2+4t ）×4=﹣2（t ﹣2）2+8，（当t=2时，S △PBC 最大值为8，此时t 2﹣3t ﹣4=﹣6，
（当P 点坐标为（2，﹣6）时，（PBC 的最大面积为8．
考点：二次函数综合题．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设（MBN 的面积为S ，
点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；
（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使（MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）233384y x x =-++；（2）S=299105t t -+，运动1秒使（PBQ 的面积最大，最大面积是910
；（3）t=2417或t=3019
． 【解析】
【分析】
（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 、c 的解析式，通过解方程组求得它们的值； （2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案．
【详解】
（1）（点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，
（A （﹣2，0），把点A （﹣2，0）、B （4，0）、点C （0，3），
分别代入2y ax bx c =++（a≠0），得：423016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：38343a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：233384
y x x =-++； （2）设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，（MB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，3）．在Rt（BOC 中，
．
如图1，过点N 作NH（AB 于点H ，
（NH（CO ，
（（BHN（（BOC ， （
HN BN OC BC =，即35
HN t =， （HN=35t ，
（S △MBN =
12MB•HN=12（6﹣3t ）•35
t ， 即S=229999(1)1051010t t t -+=--+， 当（PBQ 存在时，0＜t ＜2，
（当t=1时，S △PBQ 最大=910
． 答：运动1秒使（PBQ 的面积最大，最大面积是
910； （3）如图2，在Rt（OBC 中，cos（B=45
OB BC =． 设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，（MB=6﹣3t ．
（当（MNB=90°时，cos（B=
45BN MB =，即4635t t =-，化简，得17t=24，解得t=2417
； （当（BMN=90°时，cos（B=6345t t -=，化简，得19t=30，解得t=3019
． 综上所述：t=2417或t=3019时，（MBN 为直角三角形．
考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．
12．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；
（3）点M 也是直线l 上的动点，且（MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．
【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）M （1）（1，（1，﹣1）（1，0）．
【解析】
【分析】
（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；
（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；
（3）由于（MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：（MA=AC 、（MA=MC 、（AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示（MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【详解】
解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c =++中，
得：0
{9303
a b c a b c c -+=++==-，
解得：1
{23
a b c ==-=-，
故抛物线的解析式：223y x x =--．
（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，
点P 到点A 、点B 的距离之和最短，
此时x=2b
a -=1，
故P （1，0）；
（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b
a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣
3），则：
2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；
（若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，
解得：m=﹣1；
（若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，
得：
m=；
（若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，
得：10m =，26m =-；
当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1
）（1
，（1，﹣1）（1，0）．
考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．
1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣3
5
，﹣
6
5
）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P
的坐标为（13）或（1，3）或（2，﹣3）．
【解析】
【分析】
（1）把A（B（C的坐标代入抛物线解析式求出a（b（c的值即可；
（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；
（3）存在以点B（C（Q（P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．
【详解】
（1）把A（3（0（（B（（1（0（（C（0（（3）代入抛物线解析式得：
930
3
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪=-
⎩
（
解得：
1
2
3 a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=-
⎩
（
则该抛物线解析式为y=x2（2x（3（
（2）设直线BC解析式为y=kx（3（
把B（（1（0）代入得：﹣k（3=0，即k=（3（∴直线BC解析式为y=（3x（3（
∴直线AM解析式为y=1
3
x+m（
把A（3（0）代入得：1+m=0，即m=（1（
∴直线AM解析式为y=1
3
x（1（
联立得：
33
1
1
3
y x
y x
=--
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
（
解得：
3
5
6
5 x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
（
则M（（3
5
（（
6
5
（（
（3）存在以点B（C（Q（P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x（0（（P（m（m2（2m（3（（
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（（1（0（（C（0（（3（（根据平移规律得：﹣1+x=0+m（0+0=（3+m2（2m（3（
解得：
当
m2
（3=3，即
（3（（
当
时，m2
（3=3，即
（3（（
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（（1（0（（C（0（（3（（根据平移规律得：﹣1+m=0+x（0+m2（2m（3=（3+0（
解得：m=0或2（。