河北省献县宏志中学高三数学理科仿真模拟卷 33

河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟卷33
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设全集U =R ，集合A={|02},{|13},x x B y y ≤=≤≤则(C U A )∪B=（ ） A.（2，3］ B.（-∞，1］∪(2, +∞) C.［1,2］D. （-∞,0］∪［1, +∞）
2.复数z=1i
i +在复平面内对应点位于 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）
A.定
B.有
C.收
D.获 4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举 办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分 和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时， 发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计 算无误，则数字x 应该是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 5. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π
0,||2
A ϕ><
）的图 象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin 2g x x = 的图象（ ）
A. 向右平移
π12个单位长度 B. 向右平移π
6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π
6
个单位长度
6.设O 为坐标原点，A （1，1），若点B （x ，y ）满足221
0101x y x y ⎧+≥⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则OA ·OB 取得最小值时，
点B 的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.无数个 7.不等式|x-1|-| x +1|≤a 恒成立，则a 的范围是 （ ） A.（-∞，-2］ B.（-∞，2］ C.［-2，+∞） D. ［2，+∞） 8.下列四个命题中，真命题为 （ ） ①命题“2,0x x ∀∈≥R ”的否定是“2,0x R x ∃∈”；
②若,,∥n m n α⊂则∥m α；
③线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越强；
④数列{a n }为等比数列的充要条件是2
11.n
n n a a a -+=⋅
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
9.设双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=的离心率为,右焦点为F （c,0），方程ax 2
-bx-c=0的
两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1+x 2） （ ）
A.在圆x 2+y 2=8外
B.在圆x 2+y 2
=8上
C.在圆x 2+y 2=8内
D.不在圆x 2+y 2
=8内
10.已知函数f(x)在（-1，3］上的解析式为f(x)=(](]
2
11,11|2|1,3x x x x ⎧-∈-⎪⎨--∈⎪⎩，则函数y=f(x)-log 3 x 在
（-1，3］上的零点的个数为 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 11.已知两点A （1，0），B （1），O 为坐标原点，点C 在第三象限，且23
π
AOC ∠=，设OC =2OA OB λ+，则λ等于 （ ）
A.-2
B.2
C.-3
D.3
12.已知函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上
的减函数，则函数()y f x =的图象可能是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸的相应位置.
13．按右图所示的程序框图运算，则输出S 的值是 . 14.若1
0(21)a x dx =+⎰，则二项式（1ax x
+
）6
的展开式中的常数项为 15.已知,||1,||1m n R m n ∈⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
则在方程22210x mx n +-+=
有实数根的条件下，又满足m≥n 的概率为
16.在实数集R 中定义一种运算“△”，且对任意,a b ∈R ，具有性质：
①a b b a ∆=∆； ②0a a ∆=；
③()()()()a b c c a b a c b c c ∆∆=∆⋅+∆+∆+，
则函数1
()||||
f x x x =∆
的最小值为 . 三、解答题：本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.
17. （本题满分12分）已知函数2()22cos 1f x x x =
++
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC 的内角,,A B C 对边分别为m ,,,()3,(sin ,1)a b c c f C A ===-且若与
(2,sin )n B =垂直，求,a b 的值.
18. （本题满分12分）
如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =.
（Ⅰ）求证：;PO ABCE ⊥面 （Ⅱ）求二面角E-AP-B 的余弦值.
19. （本题满分12分）
为迎接建党91周年，某班开展了一次“党史知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：
（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；
（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.
某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.
20.（本题满分12分）
汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘，按下列规则，把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.
①每次只能移动1个碟片；②大盘不能叠在小盘上面.
如图所示，将A 杆上所有碟片移到C 杆上，B 杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次，记将A 杆子上的n 个碟片移动到C 杆上最少需要移动a n 次.
（Ⅰ）写出a 1，a 2，a 3，a 4的值； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅲ）设1n n n
b a =+，求数列{b n }的前n 项和Sn.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =的焦点F 和椭圆22
143
x y +
=的右焦点重合，直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点，点A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为点D 、E.
（Ⅰ）求抛物线C 的过程；
（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且,MA mAF MB nBF ==，对任意的直线l ，m+n 是否为定值？若是，求出m+n 的值，否则，说明理由.
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，∠BAC = 90°，AB = AC. 直线 l 与以AB 为直径的圆相切于点B. 点E 是圆上异于A 、B 的任意一点，直线AE 与 l 相交于点D.
（Ⅰ）如果AD = 10，BD = 6，求DE 的长; （Ⅱ）连接CE ，过E 作CE 的垂线交线段AB 于点F. 求证：BD = BF.
（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数 f (x) = | x + 2 |－| x －1 | . （Ⅰ）试求 f (x) 的值域； （Ⅱ）设g(x) =
ax 2－3x + 3
x
(a>0)，若对s ∈(0,
+∞)， t ∈(－∞, +∞)，恒有 g (s) ≥ f (t) 成立，试求实数 a 的取值范围.
参 考 答 案
13.
56 14. 160 15.1
2
16.3 三、解答题 17.解：（Ⅰ）()2cos 222sin(2)26
π
f x x x x =++=+
+……………………2分 令222,262πππππk x k -
+≤+≤+得36
ππ
ππk x k -+≤≤+， ∴函数f(x)的单调递增区间为[,],,36
ππ
ππk k k z -
++∈………………………………4分 （Ⅱ）由题意可知，1
()2sin(2)23,sin(2),662
ππf C C C =++=∴+= 0
,266πππC
C ∴+
=或5266ππC +=
，即C=0（舍）或3
π
C =………………6分 (sin ,1)m A =-与(2,sin )n B =垂直，2sin sin 0,A B ∴-=即2a=b ① ………………8分 222222cos
33
π
c a b ab a b ab =+-=+-= ②……………………10分 由①②解得，a=1，b=2. ……………………………………12分 18.解析：（1）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥……1分
取BC 的中点F ，连OF ，PF ，∴OF∥AB，∴OF⊥BC 因为 PB=PC ∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF ……3分 从而BC⊥PO …………5分，
又BC 与PO 相交，可得PO⊥面ABCE………6分 （2）作OG∥BC 交AB 于G ，∴OG⊥OF 如图，建立直角坐标系[;,,],O OG OF OP
A （1，-1，0），
B （1，3，0），
C （-1，3，0）， P （0，0
）
(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)AC AP AB =-=-=…7分
设平面PAB 的法向量为1(,,),
n x y z = 0
40
n AP x y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅==⎪⎩1(2,0,1)n ⇒= 同理平面PAE 的法向量为2(1,1,0),
n =……………………10分
1212cos ||||
n n E AP B n n ⋅--=
=⋅二面角E-AP-B 分 19.(Ⅰ)15
500.15,0.3,10,0.250
a b c d =⨯===== …………………4分
(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4，
1
2(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=
1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=
()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯= ………………………………12分 20.解：（Ⅰ）12341,3,7,15a a a a ====. ……………………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）推测数列{}n a 的通项公式为2 1.
n n a =- ……………………5分 下面用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，从A 杆移到C 杆上只有一种方法，即a 1=1，这时1121n a ==-成立； ②假设当(1)n k k =≥时，21k k a =-成立.
则当n=k+1时，将A 杆上的k+1个碟片看做由k 个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将A 杆上的k 个碟片移到B 杆上有21k k a =-种方法，再将最底层1张碟片移到C 杆上有1种移法，最后将B 杆上的k 个碟片移到C 杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有21k k a =-种移动方法，故从A 杆上的k+1个碟片移到C 杆上共有111212(21)121k k k k k k a a a a ++=++=+=-+=-种移动方法.
所以当n=k+1时, 21n n a =-成立.
由①②可知数列{a n }的通项公式是21n n a =-.…………………………8分
（也可由递推式111,21(*,1),n n a a a n -==+∈N N 构造等比数列112(1)n n a a -+=+求解） (Ⅲ)由（Ⅱ）可知，21n n a =-，所以1()22
n
n n n b n ==⋅ 211
1
12()()22
2
n n S n =⋅
+⋅++⋅
231111
11
1()2()(1)()()222
22
n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅
231111111
(1)()()()()2222
22
n n n S n +-=+++
+-⋅ 111
[1()]
112
2()12212
n n n S n +-=-⋅- 1
2(2)()2
n n S n ∴=-+⋅……………………………………………………………………12分
21.解：（Ⅰ）∵椭圆的右焦点(1,0),1,2,2
p
F p ∴
== ∴抛物线C 的方程为24y x =……………………………………………………………3分 （Ⅱ）由已知得直线l 的斜率一定存在，所以设l ：(1),y k x l =-与y 轴交于(0,)M k -，设直线l 交抛物线于1122(,),(,),A x y B x y 由22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x
=-⎧⇒-++=⎨=⎩ ∴22424(2)416(1)0k k k ∆=+-=+
∴21212224
,1k x x x x k ++=
⋅= …………………………………………………7分 又由111111,(,)(1,),(1),MA mAF x y k m x y x m x =∴+=--∴=-
即m=
111x x -,同理22
1x
n x =-， …………………………………………………9分 ∴121212
121212
21111()x x x x x x m n x x x x x x +-⋅+=
+==----++⋅ 所以，对任意的直线l ，m+ n 为定值-1 …………………………………………12分
（23）（Ⅰ）解：∵| | x +2 |－| x －1| | ≤ | (x+2)－(x －1)| = 3 ∴－3≤| x+2|－|x －1| ≤3
∴f (x) 的值域为[－3, 3] …………………………………………4分 （Ⅱ）解：由题意得：(g(x))min ≥ (f(x))max
又g(x) = ax + 3
x
－3 且 a>0 ∴g(x)≥23a －3 ……………6分
∴(g(x))
min
= 23a －3 此时 x =
3
a
又(f(x))max
= 3 ……8分
∴23a －3≥3 ∴a≥3
∴实数 a 的取值范围是[3, +∞) …………………………………10分。