必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
教案 A
第1课时
教学内容:2.1.1平面
教学目标
一、知识与技能
1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图;
2．掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.
二、过程与方法
在师生的共同讨论中,形成对平面的感性认识.
三、情感、态度与价值观
通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.
教学重点、难点
教学重点：
１.平面的概念及表示；
2. 平面的基本性质,注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
教学难点：平面基本性质的掌握与运用.
教学关键:让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用,使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.
教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解,清楚其用途.
教法与学法导航
教学方法：探究讨论,讲练结合法．
学习方法：学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标.
教学准备
教师准备:投影仪、投影片、正（长)方形模型、三角板.
学生准备：直尺、三角板．
教学过程教学内容师生互动
设计
意图
创设情境导入新课
什么是平面?
一些能看得见的平面实
例.
师：生活中常见的如黑板、
桌面等，给我们以平面的印象,
你们能举出更多例子吗？那么
平面的含义是什么呢?这就是
我们这节课所要学习的内容．
形成平
面的概
念
--
--
--
续上表
拓展
创新
应用
提高
4.教材P4３例1
通过例子，让学生掌握图形
中点、线、面的位置关系及符号
的正确使用.
教师及时评价和纠正同
学的表达方法,规范画图和
符号表示.
巩固
提高.
小结
１．平面的概念，画法及表示方
法.
2．平面的性质及其作用．
３.符号表示.
4．注意事项.
学生归纳总结、教师给
予点拨、完善并板书.
培养学
生归纳
整合知
识能
力,以
及思维
的灵活
性与严
谨性.
课堂作业
1.下列说法中,(１)铺得很平的一张白纸是一个平面；(2）一个平面的面积可以等于6ｃm2；（3）平面是矩形或平行四边形的形状．其中说法正确的个数为()．Ａ.０B. 1 C.２Ｄ. 3
2.若点A在直线b上,在平面β内，则Ａ,b，β之间的关系可以记作（).
A . A∈b∈βB．A∈b⊂βＣ. A⊂b⊂βD. A⊂b∈β
3．图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．
4．空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.
答案：１．A 2．B3.D 4. 3或４
第2课时
教学内容
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
教学目标
一、知识与技能
A B C D
--
1.了解空间中两条直线的位置关系;
2.理解异面直线的概念、画法,提高空间想象能力;
3.理解并掌握公理4和等角定理;
4．理解异面直线所成角的定义、范围及应用.
二、过程与方法
1. 经历两条直线位置关系的讨论过程,掌握异面直线所成角的基本求法．
2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法．
三、情感、态度与价值观
感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.
教学重点、难点
教学重点
1．异面直线的概念.
2．公理４及等角定理．
教学难点
异面直线所成角的计算.
教学关键
提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系,使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法．
教学突破方法
结合图形,利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系,由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.
教法与学法导航
教学方法
探究讨论法.
学习方法
学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成教学目标.
教学准备
教师准备
投影仪、投影片、长方体模型、三角板.
学生准备
三角板．
教学过程
--
探索新知
1.空间的两条直线的位置关系
相交直线：同一平面内,有且只有一
个公共点；
平行直线:同一平面内，没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有
公共点.
异面直线作图时通常用一个或两个
平面衬托,如下图:
教师给出长方体模
型,引导学生得出空间的
两条直线有如下三种关
系.
教师再次强调异面直
线不共面的特点.
多媒体
演示提
高上课
效率.
师生互
动,突
破重
点.
探索新知
２. 平行公理
思考:长方体ABＣＤ-A'B＇Ｃ'Ｄ'中，
BB＇∥AＡ',DＤ＇∥AA',那么ＢB'
与DD'平行吗？
公理4：平行于同一条直线的两条
直线互相平行．
符号表示为:设ａ、b、c是三条直线
如果a//b,b//c，那么ａ//ｃ.
例２空间四边形ABCD中，E、F、
G、Ｈ分别是AＢ、BC、CＤ、DA的中
点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
师：在同一平面内，
如果两条直线都与第三条
直线平行,那么这两条直
线互相平行.在空间中,是
否有类似的规律?
生：是．
强调：公理4实质上
是说平行具有传递性,在
平面、空间这个性质都适
用．
例2的
讲解让
学生掌
握了公
理4的
运用.
续上表
探索新知
３.思考：在平面上，我们容易证
明“如果一个角的两边与另一个角的两
边分别平行,那么这两个角相等或互
补”．空间中,结论是否仍然成立呢?
等角定理:空间中如果两个角的两
让学生观察、思考: 等角定
理为异
面直线
所成的
角的概
--
边分别对应平行,那么这两个角相等或
互补．
∠ADC与∠Ａ'D'Ｃ
'、∠ADＣ与∠A'B'C'的两
边分别对应平行,这两组
角的大小关系如何？
生：∠ADＣ＝∠ A'D＇
C＇,∠ADC ＋∠A'B'Ｃ'
＝180°
教师画出更具一般性
的图形，师生共同归纳出
如下等角定理．念作准备.
探索新知
探索新知
4.异面直线所成的角
如图,已知异面直线a、b，经过空间
中任一点O作直线ａ'∥a、b'∥b,我们把
ａ＇与b'所成的锐角(或直角）叫异面直
线ａ与b所成的角(夹角）.
例３（投影）
师：①ａ'与b'所成的角的
大小只由a、ｂ的相互位
置来确定,与O的选择无
关,为了简便，点O一般取
在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的
角θ∈(０,
π
2
);
③当两条异面直线所成
的角是直角时,我们就说
这两条异面直线互相垂
直，记作a⊥b;
④两条直线互相垂直，
有共面垂直与异面垂直两
种情形;
⑤计算中，通常把两条异
面直线所成的角转化为两
条相交直线所成的角．
以教师
讲授为
主，师
生共同
交流，
导出异
面直线
所成的
角的概
念．
例3让
学生掌
握了如
何求异
面直线
所成的
角，从
而巩固
了所学
知识.
续上表
--
拓展
创新应用提高教材Ｐ4９练习1、２．生完成练习，教师当
堂评价.
充分
调动学
生动手
的积极
性,教
师适时
给予肯
定．
小结
本节课学习了哪些知识内容？
2．计算异面直线所成的角应注意什
么？
学生归纳,然后老师补
充、完善．
小结知
识,形
成整体
思维.
1.异面直线是指（）.
Ａ.空间中两条不相交的直线
B．分别位于两不同平面内的两条直线
Ｃ.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
2.如右图所示,在三棱锥Ｐ-ABC的六条棱所在的直线中,
异面直线共有( ）.
Ａ．2对B. 3对C．4对Ｄ.6
对
3.正方体ABCD-Ａ１B1C１D1中与棱AA１平行的棱共有(）．
A. 1条Ｂ. 2条C. ３条D. 4条
4.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行，若α=60°,则β的大小为(). .
答案:1．D ２. B 3. C ４. 6０°或1２０°
--
第３课时
教学内容
2．1．3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系教学目标
一、知识与技能
1. 了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系;
2.提高空间想象能力.
二、过程与方法
1. 通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握;
2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.
三、情感、态度与价值观
感受空间中图形的基本位置关系,形成严谨的思维品质.
教学重点、难点
教学重点
空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
教学难点
用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系．
教学关键
借助图形,使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.
教学突破方法
恰当地利用图形,用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.
教法与学法导航
教学方法
借助实物,让学生观察事物、思考关系，讲练结合,较好地完成本节课的教学目标.
学习方法
探究讨论,自主学习法.
教学准备
教师准备
多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.
学生准备
三角板,直尺．
教学过程
详见下表.
--
教学过程教学内容师生互动
设计
意图
创设情境导入新课
问题１:空间中直线和直线有几
种位置关系?
问题2:一支笔所在的直线和一个
作业本所在平面有几种位置关系？
生1：平行、相交、异
面；
生2:有三种位置关系:
(1）直线在平面内;
(2)直线与平面相交;
(3）直线与平面平行．
师肯定并板书，点出主题.
复习
回顾,
激发
学习
兴趣.
主题探究合作交流
1．直线与平面的位置关系.
（1)直线在平面内——有无数个
公共点.
（2)直线与平面相交——有且仅
有一个公共点.
(３）直线在平面平行——没有公
共点.
其中直线与平面相交或平行的
情况，统称为直线在平面外,记作
aα
⊄．
直线a在面α内的符号语言是ａ
⊂α.图形语言是:
直线a与面α相交的a∩α= A.
图形语言是符号语言是:
直线a与面α平行的符号语言是
a∥α.图形语言是:
师:有谁能讲出这三种
位置有什么特点吗?
生：直线在平面内时二
者有无数个公共点.
直线与平面相交时，二
者有且仅有一个公共点.
直线与平面平行时,三
者没有公共点（师板书）.
师：我们把直线与平面
相交或直线与平面平行的
情况统称为直线在平面外.
师:直线与平面的三种
位置关系的图形语言、符号
语言各是怎样的？谁来画
图表示一个和书写一下.
学生上台画图表示.
师；好．应该注意：
画直线在平面内时，要把直
线画在表示平面的平行四
边形内;画直线在平面外时，
应把直线或它的一部分画
在表示平面的平行四边形
外.
加强
对知
识的
理解
培养，
自觉
钻研
的学
习习
惯,数
形结
合,加
深理
解.
--
主题探究合作交流
2．平面与平面的位置关系
(1）问题１：拿出两本书，看
作两个平面,上下、左右移动和翻
转，它们之间的位置关系有几种？
(２)问题2:如图所示，围成长
方体ABＣD –A′
Ｂ′Ｃ′Ｄ′的六个
面,两两之间的
位置关系有几
种？
（3)平面与平面的位置关系
平面与平面平行——没有公
共点.
平面与平面相交——有且只有一
条公共直线.
平面与平面平行的符号语言
是α∥β.图形语言是：
师：下面请同学们思考以
下两个问题（投影）.
生：平行、相交.
师：它们有什么特点?
生：两个平面平行时二者
没有公共点,两个平面相交时，
二者有且仅有一条公共直线
（师板书）.
师:下面请同学们用图形
和符号把平面和平面的位置
关系表示出来……
师:下面我们来看几个例
子(投影例１）.
通过
类比
探索，
培养
学生
知识
迁移
能
力．
加
强知
识的
系统
性.
--
续上表
拓展创新应用提高
例1 下列命题中正确的个
数是（Ｂ).
①若直线l上有无数个点不在
平面α内,则l∥α.
②若直线l与平面α平行，则ｌ
与平面α内的任意一条直线都
平行.
③如果两条平行直线中的一条
与一个平面平行,那么另一条也
与这个平面平行.
④若直线ｌ与平面α平行,则ｌ
与平面α内的任意一条直线没
有公共点.
A.0
B.1
C.２
D.
3
例 2 已知平面α∥β,直线
aα
⊂，求证a∥β．
证明:假设a不平行β，则a在
β内或a与β相交．
∴a与β有公共点.
又aα
⊂.
∴a与β有公共点，与面α∥
面β矛盾．
∴α∥β.
学生先独立完成，然后讨
论、共同研究,得出答案．教师利
用投影仪给出示范.
师：如图,我们借助长方体模
型,棱AA１所在直线有无数点在
平面
ABＣ
D外,
但棱
AA1所
在直线与平面ABCD相交,所以
命题①不正确;A1B１所在直线平
行于平面AＢＣD,Ａ1B1显然不
平行于BD，所以命题②不正确；
A1B１∥AＢ，A１B1所在直线平行
于平面ＡBCＤ,但直线AB ⊂
平面ABCD,所以命题③不正确；
l与平面α平行,则l与α无公共
点,l与平面α内所有直线都没有
公共点,所以命题④正确，应选
B.
师:投影例2,并读题，先让学
生尝试证明，发现正面证明并不
容易,然后教师给予引导，共同完
成，并归纳反证法步骤和线面平
行、面面平行的理解.
例1 通
过示范
传授学
生一个
通过模
型来研
究问题
的方
法,加
深对概
念的理
解.例2
目标训
练学生
思维的
灵活，
并加深
对面面
平行、
线面平
行的理
解．
小结
１.直线与平面、平面与平
面的位置关系.
2．“正难到反”数学思想
与反证法解题步骤.
3.“分类讨论”数学思
想.
学生归纳总结、教师给予点
拨、完善并板书.
培养学
生整合
知识能
力,以
及思维
的灵活
性与严
谨性.
--
课堂作业
１.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( ).
A.一条直线不相交Ｂ.两条直线不相交
Ｃ.任意一条直线都不相交Ｄ．无数条直线都不相交
【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交,反之亦然;故应选C．
//l”的( ).
2.“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“α
A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
【解析】如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线都平行,但直线不与平面
平行，应选B.
:
3．如图，试根据下列要求,把被遮挡的部分改为虚线
（1）AB没有被平面α遮挡;
(2）AB被平面α遮挡.
答案:略
４.已知α，β,直线a，ｂ，且α∥β,aα
⊂,则直线a与直线ｂ具有怎样的
⊂，bβ
位置关系?
【解析】平行或异面．
5.如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论．
【解析】三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条．
６.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条
直线在这个平面内．
已知:l∥α,点P∈α，P∈ｍ,m∥l,
求证:mα
⊂．
证明:设l与P确定的平面为β,且αβ=ｍ′，则ｌ∥
ｍ′.
'=，
又知l∥m,m m P
由平行公理可知，ｍ与m′重合．
所以mα
⊂.
--
教案 B
第1课时
教学内容：2.1.１平面
教学目标
1．了解平面的概念,掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法;
2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题;
3．通过实践活动,感知数学图形及符号的作用,从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.
教学重点：公理一、二、三,实践活动感知空间图形.
教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型.
学法指导:动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.
教学过程
一、引入
在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的,我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行,请同学谈谈到底平面是什么样子的?可以举实例说明.
在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的?那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？
二、新课
以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由?教师暂不作评判,继续往下进行.
实践活动：
１.仔细观察教室,举出空间的点、线、面的实例.
2.只准切三刀,请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块．
3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边,设法搭出四个正三角形.
以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题.今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.
图1
问题:指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体?至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.
练习一:试画出下列各种位置的平面.
１.水平放置的平面2．竖直放置的平面
--
图2（1）图２(2)
3. 倾斜放置的平面
图3
4.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出.
小结：平面的画法和表示法.
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示一个平面,如图5. 平行四边形的锐角通常画成45o,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来,如图6.
α
A
B C D
α
β
F
E
A
B C
D
图5 图6 图7 平面常用希腊字母,,
αβγ等表示(写在代表平面的平行四边形的一个角上）,如平面α、平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称,图5的平面α,也可表示为平面ＡBCD,平面AC或平面ＢＤ.
前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？
显然,一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外．图4（1）图4（2）图4（3）图4（4）
--
--
我们知道平面内有无数个点,可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集,因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.
从集合的角度,点A 在平面α内,记为A α∈；点B 在平面α外,记为B α∉ (如图7）.
再来研究一下直线与平面的位置关系． 将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗?
请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？
由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
,,A l B l ∈∈且,,A B l ααα∈∈⇒⊂
图8
例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．
图９（1)
图9（2） 图９(３)
例2 识图填空（在空格内分别填上⊄⊂∉∈,,,）． Ａ____ａ；A____α, B____a ;B____α， ａ___＿α;a ____α= B , ｂ___＿α；B__＿＿ｂ．
图11
问题情景:制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？ 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
实践活动:取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关系,
并试着用图画出来. 图12
试问：如图13是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系） 由平面的无限延展性，不难理解如下结论：
公理3 如果两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个公共点的直线．
A
--
l
P l α
βαβ∈⇒=且P l ∈．
图13
例3 如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来． 【解析】在（1）中,,,l a A a B α
βαβ===.
在(２）中，,,,,b l a a l P B l P βα
βα⊂=⊂==.
三、巩固练习
教材P43练习1—4. 四、课堂小结
(１)本节课我们学习了哪些知识内容? （2)三个公理的内容及作用是什么？ (3)判断共面的方法． 五、布置作业
P51 习题Ａ组 1,２.
第2课时
教学内容：２．１.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教学目标：
一、知识目标
1. 了解空间中两条直线的位置关系；
2． 理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； 3. 理解并掌握公理4. 二、能力目标
1. 让学生在观察中培养自主思考的能力;
２. 通过师生的共同讨论培养合作学习的能力．
β
l
α P
三、情感、态度与价值观
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.
教学重点、难点
教学重点:1．异面直线的概念;2. 公理4．
教学难点：异面直线的概念.
学法与教学用具
1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标；
２. 教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．
教学过程
一、复习引入
1.平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线).
相交直线（有一个公共点);平行直线（无公共点）．
２.实例．十字路口——立交桥．
立交桥中，两条路线AB,ＣD既不平行，又不相交(非平面问题）.
六角螺母
二、新课讲解
1．异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
练习：在教室里找出几对异面直线的例子.
注1:两直线异面的判别一：两条直线既不相交、又不平行．
两直线异面的判别二：两条直线不同在任何一个平面内．
合作探究一:分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答:不一定，它们可能异面，可能相交,也可能平行.
空间两直线的位置关系:
按平面基本性质分
(1)同在一个平面内:相交直线、平行直线;
(2）不同在任何一个平面内:异面直线．
按公共点个数分
（1）有一个公共点：相交直线；
(2）无公共点:平行直线、异面直线．
2．异面直线的画法
说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托．
--
--
a
b
a
b
合作探究二：如下图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体， 那么 ＡB , CD ,EF ， G Ｈ 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
答：共有三对.
3. 异面直线所成的角 （1）复习回顾
在平面内,两条直线相交成四个角， 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度， 如图所示. （2)问题提出
在空间，如图所示，正方体A ＢＣＤ－EFGH 中， 异面直线A Ｂ与ＨF 的错开程度可以怎样来刻画？
(3)解决问题
思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题．
异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥ｂ则把a ′与ｂ ′所成的锐角(或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角)．
a
b
异面直线所成的角的范围（0°,90°）．
注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直， 记为a ⊥b ． 思考：这个角的大小与O 点的位置有关吗?即O 点位置不同时,
这一角的大小是否改
A
B G F H E D
C a ′
O
b ′
--
变?
答：这个角的大小与Ｏ点的位置无关． （4）理论支持
(一）我们知道,在同一平面内， 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察：将一张纸如图进行折叠 ， 则各折痕及边a ，ｂ,c ,d ,e ,… 之间有何关系?
a ∥b
∥ｃ ∥d ∥e ∥ …
公理4 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．——平行的传递性 推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
（二)在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？ 观察：如图所示，长方体A ＢＣD-A 1B １C 1D １中， ∠ＡDC 与∠A １Ｄ1C １ ，∠A ＤC 与∠A 1B 1Ｃ１两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何? 答：从图中可看出， ∠ＡD Ｃ＝∠A １Ｄ1C １,∠A
ＤＣ +∠A １Ｂ1C 1＝１80°．
定理(等角定理) 空间中，如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
证: 这个角的大小与O 点的位置无关.
【证明】如图，再过空间另一点O′作ａ″∥a ,设a ′与 b ′所成的角为∠１，a ″与 b 所成的角为∠2 ，
∵a ′∥a ，ａ″∥a ,∴a ′∥a ″（公理4)，同理 b ′∥b ，∴∠1=∠2（等角定理)．
2
1
a
a'
a''
b
b'
注3:在求作异面直线所成的角时,Ｏ点常选在其中的一条直线上（如线段的端点，线段的中点等）.
三、例题选讲 1. 下图长方体中
a b c
e
d 1
A C
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(1）说出以下各对线段的位置关系?
①ＥC 和BH 是相交直线 ,
②ＢＤ和FH 是平行直线，
③B Ｈ和ＤC 是异面直线.
（2）与棱ＡＢ所在直线异面的棱共有4条.
课后思考:长方体的棱中共有多少对异面直线?
例2如图，正方体AB ＣD-ＥＦGH 中Ｏ为侧面ADE 的中心,求（１）ＢE 与CG 所成的角? (2）F Ｏ与BD 所成的角?
【解析】(1）如图:∵C Ｇ∥B Ｆ, ∴∠EBF （或其补角）为异面直线BE 与C Ｇ所成的角，
又 ＢEF 中∠E ＢF =4５° ，所以ＢＥ与CG 所成的角为45°.
(2)连接F Ｈ,
∵HD ∥EA ∥F Ｂ, ∴HD ∥FB ，∴四边形H ＦBD 为平行四边形,
∴ＨF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线F Ｏ与BD 所成的角．
连接HA 、A Ｆ，易得FH ＝HA =AF ,∴△A ＦH 为等边三角形,又依题意知O 为AH 中点,
∴∠HF Ｏ=30o 即FO 与B Ｄ所成的夹角是30 ｏ.
注4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”.
四、课堂练习
例３ 如图，已知长方体A ＢCD －ＥF ＧH 中,AB =32, ＡD =32,AE = 2.
(1）求B Ｃ 和E Ｇ 所成的角是多少度? （2）求AE 和B Ｇ 所成的角是多少度?
答:(1） 45o （2) 60o 五、课堂小结
(1）本节课学习了哪些知识内容?异面直线、平行公理、等角定理、异面直线所成的角.
（２)计算异面直线所成的角应注意什么？把空间角转化为平面角.
六、课后作业
P4８ 练习１,2.
P5１~5２习题2.1 Ａ组 3,4（１)(2）（3）（6),5，6， B 组1.
G F H
E B
C D A G
F H E B C
D A A B G F
H E D C。