对“直线的倾斜角与斜率”教学设计的思考

对“直线的倾斜角与斜率”教学设计的思考
一.对教学内容的再认识
对于直线的倾斜角与斜率,仅从概念本身而言,只不过是一个角和这个角的正切值而已.但其背景知识及其蕴含的思想方法却是十分丰富的.
直线的倾斜角，是在直角坐标系中对区分不同直线的一个工具，是用坐标法研究直线时从形到数的一座桥梁。

在学习倾斜角概念之前，学生已掌握了的相近概念有:
（1）静态角:平面内一点出发的两条射线组成的图形；
（2）动态角:平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
（3）向量夹角:两个方向向量确定的角；
（4）还有两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.
这些概念使学生了解了角的几何含义,是用倾斜角描述直角坐标系中直线的倾斜程度的认知基础.
斜率是一个数，它定量地描述了直角坐标系中一条直线的倾斜程度，是用坐标法研究直线问题的最基本而重要的概念.学生已经具备的与此相关的知识经验可以是:
（1）用坡角和坡度来刻划斜坡倾斜程度的经验；
（2）两点确定一直线,那么直线的倾斜角由这两点唯一确定，联系三角知识,可以利用这两个点的坐标求出倾斜角的正切值.
（3）一次函数y=kx+b在直角坐标系下的图象是直线,其中b表示直线在y 轴上的截距,那么参数k反映了直线的哪一几何特征呢?
这些知识为斜率的引入提供了生活背景以及数学内部的需要和联系.
二.教学设计的选择与分析
1.选择的合理性分析
本课是一节概念课，是解析几何的起始课，担负着一门学科的“入门教育”重任。

因此,在让学生掌握倾斜角和斜率概念的同时，必须让学生在经历、理解概念的引入和发展的过程中,体会解析几何这门学科的基本特点,为进一步学习打好思想方法基础.
从这个角度考虑,自然有几个问题需要关注:
为什么要引进坐标系来研究几何问题?
为什么要引进直线倾斜角的概念?
为什么有了直线的倾斜角,还要引进斜率来刻划直线的倾斜程度?等.
合理地设计教学,体现在能从学生的上述认知基础出发,从这些已由相关知识经验中引出新概念，使学生达成对斜率这一核心概念的正确理解,并能体验到概念建立过程中的数学思想方法，追求教学的自然、合理、准确、简明.
2.选择的多样性分析
倾斜角和斜率概念的引入,由于设计者关注不同的认知基础，可以有不同的教学设计，虽然能殊途同归，但可能会有不同的教学过程和教学效果.
（1）坐标法的引入
选择1 在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系.这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法.用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的.课后请同学们阅读课本P111《笛卡儿与解析几何》，进一步了解关于解析几何的介绍.那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形？如与x平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线，圆等等。

我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线.
分析:这一引入用时较少,对坐标法介绍多,体会少.教师意图通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题.但有几个方面值得探讨:一是从函数引入，将“图形的研究转化为对函数的研究”的表述是不够准确的.对函数与方程的本质区别及研究的侧重点没有认识清楚.二是仅仅通过文字的介绍学生很难对坐标法有较深的认识.
选择2:几何学是研究图形的几何性质的,包括其形状、大小和位置关系。

本节我们将开始学习一门全新的几何——解析几何，它试图用代数
的方法来研究几何图形的性质,那如何实现呢？请大家先通过活
动体验并思考用什么工具来沟通代数与几何的联系？
活动设置:在方格纸上有一个平面图形,请一位同学观察图形,
并用合适的语言指示其他同学,以保证他能准确地作出这一图形.(给每位同学一张方格纸)
分析:这一设计少介绍多体验,力图通过活动，让学生感悟到坐标系作为沟通代数与几何的桥梁作用.体会点是组成图形的基本要素，因此抓住“点”是研究图形的关键,而在坐标系中点可用坐标表示,从而为接下来研究直线打好基础.
（2）斜率的引入
选择1 通过类比坡度概念引入直线的斜率,再由两点坐标求直线斜率.
分析:这显然简洁明快,自然合理.但它并不能说明其引入的必要性,因为斜率只有在通过代数运算研究几何问题的过程中才能显示其重要的价值所在.
选择2两点定,直线定;直线定,倾斜角也定.给定两点的坐标，试求相应的直线倾斜角.并从中体会斜率引进的合理性.
分析:在学习了用倾斜角描述直线的倾斜程度后,提出这一问题是自然而合理的,有了三角函数的知识铺垫,学生也容易解决这一问题:先根据坐标的几何意义求出倾斜角的某个三角函数值,再由三角函数值及倾斜角的范围确定倾斜角.也能在其中体会到由坐标求倾斜角的正切值较为便捷,同时也隐含了斜率公式的推导方法.
但上述设计能充分体现引进斜率必要性吗?学生能从运算的过程中感受到斜率的概念吗?
选择3从一次函数y=kx+b在直角坐标系下的图象是直线出发提出问题:其中b表示直线在y轴上的截距,那么参数k反映了直线怎样的几何特征呢?
借助几何画板,暂时冻结参数b,仅改变k的值,观察k的变化对直线的影响,从而引出直线的倾斜角概念.
再通过一些具体的k求相应的直线倾斜角,通过列表猜测分析两者的关系.
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分析:这样的探究从一定程度上反映了斜率的数学内涵,教学从学生熟悉的事实出发,提出新的研究问题,借助于几何画板的动态功能,使学生直观感知斜率k 对直线倾斜程度的影响,借助几何画板的计算功能,可求得每一个k的值所对应的直线倾斜角的大小.再通过学生自己的分析自然合理地得出两者的关系,从而引出斜率的概念.
这种引入方式,遵循直观感知,操作确认的几何学习方法,注重对斜率的数学本质的挖掘.不足之处是从数到形的研究并不能充分反映解析几何的基本思想, 作为起始课,在学法上应侧重于将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题的思想方法.而在学习之始即用一次函数表示直线来引入，容易导致学习对直线方程认识的偏差．
选择４．两点确定一条直线,点可以用坐标表示.
（1）那么直线是否也有相应的代数表示形式呢?(生:一次函数的形式
y=kx+b)
（2）由给定的两点坐标,能否求出直线的倾斜角呢?
通过对一定量具体的案例的探究,使学生体会到求倾斜角的正切值是由两点坐标求倾斜角的一条捷道,而且发现倾斜角的正切值又恰好是y=kx+b中的k,由此引出对k的关注.
分析:反思这一设计,意图将选择２和３结合，力图在学生的认知基础上,从数学的角度挖掘斜率概念的生长点.但引入过于拖沓,知识过于分散,有将简单问题复杂化的嫌疑,同时直线代数形式的求解也不是本节课的内容.
有得必有失,有失必有得,回头看教材:引入的生活化和简单化,使知识显得清楚明白,对斜率作用的认识,可以通过后续的一些问题探究螺旋上升.这样处理未尝不是合理的选择.
从某种意义上说,数学知识是确定的,准确把握数学核心概念是可能的.但教学的过程中却有着极多的不确定性.知识的过程再现是否切合学生的认知基础? 教学语言、典型案例、活动情境是否能真正有利于对知识的理解？有限的课时,如何合理安排,才能详略得当,重点突出,过程流畅?课堂的效率是否能有保证?这种种的不确定性导致了教学设计的差异性，而恰恰是这种不确定性使我们的教学设计具有了创造的可能,这就需要设计者更多的智慧和灵感,更多的权衡与反思.但选择的标准还是离不开对数学核心概念和思想方法的准确认知和把握．。