2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(四)学生版

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（四）
本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．[2018·丹东期末]设集合{}2|M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}1,0,1-
2．[2018·南阳一中]设i 1
i 1
z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i --
3．[2018·郴州一中]已知()()
2
2log 111
sin 1
3x x f x x
x ⎧--<<⎪
=⎨π⎪
⎩
≥，
则3
12f f ⎛⎫+
=
⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．
5
2
B ．52
-
C ．32
-
D ．12
-
4．[2018·衡水金卷]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ） A
B
．C
．D
．5．[2018·承德期末]执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）
A
．5 B ．6 C ．7
D ．8
6．[2018·漳州调研]已知函数()()sin ωϕ=+f x A x (0,0,)2
ωϕπ>><A 在一个周期内的
图象如图所示，则4π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
f （ ）
A ．-
B ．
C D ．7．[2018·云南联考
]图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾
股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
A ．21;n n -
B ．21;1n n -+
C ．121;n n +-
D ．121;1n n +-+
8．[2018·六安一中]若P 是圆()()2
2
:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线1y kx =-距离的最大值（ ）
开始输入t
输出n 结束
k ≤t
否
是
0,2,0
S a n ===S S a
=+31,1
a a n n =-=+班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此
卷
只
装
订不
密
封
A ．4
B ．6 C
． D
．9．[2018·唐山期末]已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足
()10xf x ->的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞ C ．()
(),11,3-∞-
D ．()
()1,01,3-
10．[2018·西北师大附中]已知,x y ∈R ，在平面直角坐标系xOy 中，点,)x y （为平面区域
2
04
0⎧⎪⎨⎪⎩
≤≤≥≥y x y x 内任一点，则坐标原点与点
,)x y （连线倾斜角小于3π
的概率为（ ） A ．
116
B
．
C
D
11．[2018·海南期末]某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为x ，CQ 的长度为关于x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．[2018·商丘期末]设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且1123
2
+>PF PQ F F 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A
．⎫+∞⎪⎪⎝⎭
B ．71,6⎛⎫
⎪⎝⎭
C
．76⎛ ⎝⎭
D
．⎛ ⎝⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．[2018·安阳一模
]6
x ⎛
- ⎝
展开式中的常数项为__________．
14．[2018·绍兴质检]某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积是________2cm ．
15．[2018·耀华中学]在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，
2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE BC λ=，14DF DC λ=，且23
8
AE AF ⋅=，则λ=_________．
16．[2018·天津一中]设二次函数()2f x ax bx c =++的导函数为()f x '，若对任意x ∈R ，
不等式()()f x f x '≥恒成立，则2
22
2b a c +的最大值__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．[2018·滁州期末]在ABC △内，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()cos cos cos b A c B c a B -=-． （1）求角B 的值；
（2）若ABC △
的面积为
，b a c +的值．
18．[2018·中山期末]某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤．
（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（3≤）项的概率．
（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，
某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为92
1,1,1,,103
，且
他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．
①求该学员能通过“科二”考试的概率； ②求该学员缴纳的考试费用X 的数学期望．
19．[2018·周口期末]如图，已知DEF △与ABC △分别是边长为1与2的正三角形，
AC DF ∥，四边形BCDE 为直角梯形，且DE BC ∥，BC CD ⊥，点G 为ABC △的重心，N 为AB 中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点．
（1）求证：GM ∥平面DFN ； （2）若二面角M BC D --
MN 与CD 所成角的余弦值．
20．[2018·海南期末]已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从1C ，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求1C ，2C 的标准方程；
（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆1C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平
分线过定点1,08G ⎛⎫
⎪⎝⎭，求实数k 的取值范围．
21．[2018·濮阳一模]已知函数()()21
ln 2
f x x x mx x m =--∈R ．
（1）若函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；
（2）若函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12ln ln 2x x +>．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．[2018·衡水金卷]选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为2
2
1164y x +=，以O 为极点，x 轴非负半
轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33ρθπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
（1）求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；
（2）设(),M x y 为椭圆C 上任意一点，求1y +-的最大值．
23．[2018·乌鲁木齐期末] 选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x =+-．
（1）若()1f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +≥．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（四）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D
8．B
9．A
10．D
11．A
12．B
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．
15
16
14．27 15
．216
2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）3
B π
=；（2）7．
【解析】（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-．
∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-．···········1分 ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=． ()sin 2sin cos A B C B ∴+=．·
··········3分 又++=πA B C ，∴()sin sin A B C +=．···········4分 又∵0<<πC ，1
cos 2
B ∴=．··········5分 又()0∈π，B ，3
π
∴=
B ．··········6分 （2）据（1）求解知3
π
=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①··········8分
又1
sin 2
S ac B =
=·········9分 ∴12ac =，②··········10分
又13b =，∴据①②解，得7a c +=．··········12分
18．【答案】（1）3
5
；（2）见解析．
【解析】（1）根据题意，学员（1），（2），(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：
由表可知，全部10种可能的情况中，··········2分 有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为
63
105
=··········4分 （2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为
923
1111035
⨯⨯⨯
⨯=；··········5分 ①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测
试，相应概率为4
2126
5625⎛⎫= ⎪⎝⎭，
故学员能通过“科二”考试的概率为16609
1625625
-
=；··········7分 ②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，··········8分 而()32321
15055525
P X ==
+⨯=，故X 的分布列为 ；··········11分
故()15045012672198E X =⨯⨯+=(元)．··········12分 19．【答案】（1）见解析；（2
．
【解析】（1）解：在ABC △中，连AG 延长交BC 于O ，因为点G 为ABC △的重心
所以
23AG AO =，且O 为BC 中点，又2
3AM AF =， 所以23
AG AM AO AF ==，所以GM OF ∥；·
·········2分 又N 为AB 中点，所以NO AC ∥，又AC DF ∥， 所以NO DF ∥，
所以,,,O D F N 四点共面；··········4分 又OF ⊂平面DFN ，GM ⊄平面DFN ， 所以GM ∥平面DFN ．··········5分
（2）由题意，AG ⊥平面BCDE ，所以AO BC ⊥，平面ABC ⊥平面BCDE ， 且交线为BC ，
因为BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，
又四边形BCDE 为直角梯形，2BC =，1DE =，所以OE CD ∥，所以OE ⊥平面ABC 因为AC DF ∥，DE BC ∥，所以平面//ABC 平面DEF ， 又DEF △与ABC △分别是边长为1与2的正三角形，
故以O 为原点，OC 为x 轴，OE 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，
设CD m =，则()1,0,0C ，()1,,0D m
，(A
，1,2F m ⎛ ⎝
⎭，()1,0,0B -
，12N ⎛- ⎝
⎭，··········7分 因为2
3AM AF =
，所以12,33m M ⎛ ⎝⎭，()2,0,0BC =
，42,33m BM ⎛= ⎝⎭
，
设平面MBC 的法向量(),,a b c =n ，则0
BC BM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n
，取()
m =-n ，··········8分
平面BCD 的法向量()0,0,1=υ，··········9分 所以二面角M BC D --的余弦值cos θ⋅⋅=
=
n n υ
υ
=
，
3
m =
，··········10分
又52,,63m MN ⎛=-- ⎝⎭
，()0,,0CD m = cos ,MN CD <>=
NM CD NM CD
⋅=
⋅=
；
直线MN 与CD ．··········12分
20．【答案】（1）1C ：22143x y +=．22:4C y x
=；（2）5,,⎛⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
． 【解析】（1）设抛物线()2
2:20C
y px p =≠，则有()2
20y p x x
=≠，据此验证4个点知(3,-，()4,4-在抛物线上，易求2
2
:4C y
x =．·
········2分 设()222
2:10x y
C a b a b +=>>，把点()2,0-，⎭
代入得： 222
41261
4⎧
=+⎪⎪⎨
⎪⎪⎩=a
a b ，解得2243==⎧⎨⎩a b ，所以1C 的方程为22143x y +=．·········5分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得
()2
2
23484120k x
kmx m +++-=，
所以()()()2
2284344120km k m ∆=-+->，即2243m k <+．① 由根与系数关系得122834km x x k +=-
+，则12
2
634m
y y k +=+，·········7分 所以线段MN 的中点P 的坐标为2243,3434km
m k k ⎛⎫- ⎪
++⎝⎭．·········8分 又线段MN 的垂直平分线l '的方程为118y
x k ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
， (9)
由点P 在直线l '上，得
22
314134348m km k k k ⎛⎫
=--- ⎪++⎝⎭
， 即24830k km ++=，所以()
21
438m k k
=-
+，·
········10分 由①得
(
)
2
222
434364k k k +<+，所以21
20k >
，即k <
或k >， 所以实数k
的取值范围是5,,⎛⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
．·········12分 21．【答案】（1）1
e
m ≥
；（2）证明见解析． 【解析】（1）由函数()f x 在()0,+∞上是减函数，知()0f x '≤恒成立，
()()21
ln ln 2
f x x x mx x f x x mx '=--⇒=-．·········1分
由()0f x '≤恒成立可知ln 0x mx -≤恒成立，则max
ln x m x ⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭，·
········2分 设()ln x x x ϕ=，则()2
1ln x
x x ϕ-'=，·········3分
由()()00,e x x ϕ'>⇒∈，()0e x x ϕ'<⇒>知，
函数()x ϕ在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，·········4分
∴()()max 1e e x ϕϕ==，∴1
e
m ≥．·········5分
（2）由（1）知()ln f x x mx '=-．
由函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，知1122ln 0
ln 0x mx x mx -=-=⎧⎨⎩，
则1212ln ln x x m x x +=
+且12
12
ln ln x x m x x -=-，
联立得
1212
1212
ln ln ln ln x x x x x x x x +-=
+-，·········7分 即11
22121121
12221ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪
+⎝⎭
+=⋅=
--，· 设()1
2
0,1x t x =
∈，则()121ln ln ln 1t t x x t +⋅+=
-，········9分 要证12ln ln 2x x +>，只需证
()1ln 2
1
t t t +⋅>-，只需证()21ln 1
t t t -<
+，
只需证()21ln 01
t t t --
<+．·········10分 构造函数()()
21ln 1t g t t t -=-
+，则()()()
()2
22
114
011t g t t t t t -'=-
=>++． 故()()21ln 1
t g t t t -=-
+在()0,1t ∈上递增，()()10g t g <=，即()()21ln 01
t g t t t -=-
<+，
所以12ln ln 2x x +>．·········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【答案】（1）直线l 60y +-=，椭圆C 的参数方程为2cos 4sin x y ϕ
ϕ==⎧⎨⎩，
（ϕ为参数）；（2）9．
【解析】
（1）由sin 33ρθπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，得1sin cos 32ρθρ
θ=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得直线l 60y +-=．·········3分
椭圆C 的参数方程为2cos 4sin x y ϕ
ϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．········
·5分
（2）因为点M
在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin M ϕϕ，
则14sin 18sin 193y ϕϕϕπ⎛
⎫+-=+-=+- ⎪⎝
⎭
≤，
当且仅当sin 13ϕπ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭时，取等号，所以max 19y +-=．·········10分
23．【答案】（1）2；（2）见解析．
【解析】由()21
0101211x x f x x x x -+⎧⎪
=<<⎨⎪-⎩
≤≥，·········2分
得()min 1f x =，要使()1f x m -≥恒成立，
只要11m -≥，即02m ≤≤，实数m 的最大值为2；·
········5分
（2）由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤；
()
2
22224a b a b a b +-=+222422ab a b ab +-=+()()2242121a b ab ab -=--+，
∵01ab <≤，∴()()()2
22421210a b a b ab ab +-=--+≥，∴2a b ab +≥．·········10分。