(汇总3份试卷)2020年福州市九年级上学期期末预测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】从上面可得：第一列有两个方形，第二列只有一个方形，只有C 符合.
故选C
2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径5OB =，水面宽8AB =，则截面圆心O 到水面的距离OC 是( )
A ．2
B ．3
C ．23
D ．2.5
【答案】B 【解析】根据垂径定理求出BC ，根据勾股定理求出OC 即可．
【详解】解：
OC AB ⊥，OC 过圆心O 点， 118422
BC AC AB ∴===⨯=， 在Rt OCB ∆中，由勾股定理得：2222543OC OB BC =-=-=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC 是解决问题的关键．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠BOD ＝44°，则∠C 的度数是（ ）
A ．44°
B ．22°
C ．46°
D ．36°
【答案】B 【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解，∵∠BOD ＝44°，∴∠C ＝12∠BOD ＝22°， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，属于基本题型，熟练掌握圆周角定理是关键.
4．如图，五边形ABCDE 内接于O ，若35CAD ∠=︒，则B E ∠+∠的度数是（ ）
A ．210︒
B ．215︒
C ．235︒
D ．250
【答案】B 【分析】利用圆内接四边形对角互补得到∠B+∠ADC=180°，∠E+∠ACD=180°，然后利用三角形内角和求出∠ADC +∠ACD=180°-∠CAD ，从而使问题得解.
【详解】解：由题意：∠B+∠ADC=180°，∠E+∠ACD=180°
∴∠B+∠ADC+∠E+∠ACD=360°
又∵35CAD ∠=︒
∴∠ADC +∠ACD=180°-∠CAD=180°-35°=145°
∴∠B+∠E+145°=360°
∴∠B+∠E=215︒
故选：B
【点睛】
本题考查圆内接四边形对角互补和三角形内角和定理，掌握性质正确推理计算是本题的解题关键. 5．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应( )
A ．不小于4.8Ω
B ．不大于4.8Ω
C ．不小于14Ω
D ．不大于14Ω
【分析】先由图象过点（1，6），求出U 的值．再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，求出用电器的可变电阻的取值范围．
【详解】解：由物理知识可知：I=，其中过点（1，6），故U=41，当I ≤10时，由R ≥4.1．
故选A ．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第
一、三象限；当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6．如图，一块含30角的直角三角板绕点C 按顺时针方向，从ABC ∆处旋转到'''A B C ∆的位置，当点 B 、点 C 、点 'A 在一条直线上时，这块三角板的旋转角度为（ ）
A ．60
B ．120
C ．150
D ．180
【答案】C 【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A'B'C ，
∴BC 与B'C 是对应边，
∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键． 7．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【答案】D
【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
8．关于x 的一元二次方程230x x m -+=中有一根是1，另一根为n ，则m 与n 的值分别是（ ） A ．m=2，n=3
B ．m=2，n=-3
C ．m=2，n=2
D ．m=2，n=-2
【答案】C
【分析】将根是1代入一元二次方程，即可求出m 的值，再解一元二次方程，可求出两个根，即可求出n 的值．
【详解】解：∵将1代入方程，得到：1-3+m=0，m=2
∴2320x x -+=
∴解得x 1=1，x 2=2
∴n=2
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程，熟练解满足一元二次方程以及解一元二次方程是解决本题的关键． 9．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选B ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax 2﹣x+2（a≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）
A ．a≤﹣1或14≤a ＜13
B ．14≤a ＜13
C ．a≤14或a ＞13
D ．a≤﹣1或a≥
14
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
【详解】∵抛物线的解析式为y=ax 1-x+1．
观察图象可知当a ＜0时，x=-1时，y≤1时，满足条件，即a+3≤1，即a≤-1；
当a ＞0时，x=1时，y≥1，且抛物线与直线MN 有交点，满足条件，
∴a≥14
， ∵直线MN 的解析式为y=-13x+53
， 由215332
y x y ax x ⎧-+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，消去y 得到，3ax 1-1x+1=0，
∵△＞0，
∴a ＜
13
， ∴14≤a ＜13满足条件， 综上所述，满足条件的a 的值为a≤-1或
14≤a ＜13， 故选A ．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．质检部门对某酒店的餐纸进行调查，随机调查5包(每包5片)，5包中合格餐纸(单位：片)分别为4，5，4，5，5，则估计该酒店的餐纸的合格率为 （ ）
A ．95%
B ．97%
C ．92%
D ．98% 【答案】C
【分析】随机调查1包餐纸的合格率作为该酒店的餐纸的合格率，即用样本估计总体．
【详解】解：1包（每包1片）共21片，1包中合格餐纸的合格率4545592%25
++++=
=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查用样本估计整体，注意1包中的总数是21，不是1．
12．如果△ABC ∽△DEF ，相似比为2：1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为（ ）
A ．1
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】D
【解析】试题分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
解：∵△ABC ∽△DEF ，相似比为2：1，
∴△ABC 和△DEF 的面积比为4：1，又△DEF 的面积为4，
∴△ABC 的面积为1．
故选D ．
考点：相似三角形的性质．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为________．
【答案】103
【解析】分析：根据勾股定理求出225AC AD CD +=，根据AB ∥CD ，得到12
AF AE CF CD ==，即可求出CF 的长. 详解：∵四边形ABCD 是矩形，∴4AB CD ==，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，
在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴225AC AD CD =
+=， ∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD =
=， ∵AB ∥CD ，∴12AF AE CF CD ==，∴21033
CF AC ==． 故答案为103
. 点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
14．形状与抛物线2223y x x =-+相同，对称轴是直线1x =-，且过点()0,3-的抛物线的解析式是________．
【答案】2243y x x =+-或2423y x x -=--．
【分析】先从已知入手：由与抛物线22y x =-+形状相同则||a 相同，且经过()0,3-点，即把()0,3-代入得3c =-，再根据对称轴为12b x a
=-=-可求出b ，即可写出二次函数的解析式． 【详解】解：设所求的二次函数的解析式为：2y ax bx c =++，
与抛物线22y x =-+
||2a ∴=，2a =±，
又∵图象过点()0,3-，
∴3c =-，
∵对称轴是直线1x =-， ∴12b x a
=-=-， ∴当2a =时，4b =，当2a =-时，4b =-，
∴所求的二次函数的解析式为：2243y x x =+-或2423y x x -=--．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的系数和图象之间的关系．解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即||a 相等．
15．某商场在“元旦”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个.顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖.那么顾客摸奖一次，得奖的概率是_______． 【答案】13
【分析】根据题意列举出所有情况，并得出两球颜色相同的情况，运用概率公式进行求解．
【详解】解：一次摸出两个球的所有情况有（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）6种，其中两球颜色相同的有2种． 所以得奖的概率是
2163=. 故答案为：
13
. 【点睛】
本题考查概率的概念和求法，熟练掌握概率的概念即概率=所求情况数与总情况数之比和求法是解题的关键．
16．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．
【答案】24π
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm ，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=12
×8π×6=24π（cm 2）． 故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12
•l •R ，（l 为弧长）． 17．如图，是二次函数21y ax bx c =++和一次函数2y mx n =+的图象，观察图象写出21y y ≥时，x 的
取值范围__________．
【答案】21x -≤≤．
【解析】试题分析：∵y 1与y 2的两交点横坐标为-2，1，
当y 2≥y 1时，y 2的图象应在y 1的图象上面，
即两图象交点之间的部分，
∴此时x 的取值范围是-2≤x≤1．
考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的图象．
18．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.
【答案】9
【分析】根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】解：∵a 是方程223x x =+的一个根，
∴2a 2=a+3,
∴2a 2-a=3,
∴()
2263=32339a a a a --=⨯=.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（1）解方程()2
353x x x -=-
（2）计算1
112cos 452-⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭
【答案】（1）123,5x x ==；（2）1.
【分析】（1）根据因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）分别计算绝对值，特殊角的三角函数，二次根式，负整数指数幂，然后再进行合并，即可得到答案.
【详解】解：（1）()2353x x x -=-， ∴()()353x x x -=-，
∴()()350x x --=，
∴123,5x x ==；
（2）1
0112cos 452-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
122=+ 1=.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及实数混合运算的运算法则.
20．为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)表中a=______，b=______；
(2)请计算扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数；
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名
同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
【答案】（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）1
6
．
【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；
（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a=
30
100
=0.3，b=100×0.45=45（人）．
故答案为0.3，45；
（2）360°×0.3=108°．
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率
为
2
12
=
1
6
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．如图，AB是O的直径，O过BC的中点D．DE AC
⊥，垂足为E．
（1）求证：直线DE是O的切线；
（2）若6
BC=，O的直径为5，求DE的长及cosC的值．
【答案】（1）见解析；（2）12
5
，
3
5
【分析】（1）欲证直线DE是O的切线，需连接OD,证∠EDO=90°，根据题意，利用平行线的性质即可证得；
（2）先构造直角三角形，需要连接AD，利用三角形的面积法来求出DE的长，再在Rt△ADC中来求cosC．【详解】(1) 证明：如图，连接OD.
D为BC的中点，O为AB的中点
//
OD AC
∴,
又DE AC
⊥.
DE OD
∴⊥.
DE
∴是圆O的切线
（2）解：连AD.
AB是直径，
90
ADB ADC
∴∠=∠=︒.
D为BC的中点，
3.
CD BD
∴==
在Rt ABD
∆中
2222
534
AD AB BD
--=
在Rt ACD
∆中
2222435AC AD CD =+=+=
由面积法可知
1122
ACD S AC DE AD CD ∆=
= 即1154322DE ⨯⨯=⨯⨯ 125
DE = 在Rt ABD ∆中
3cos 5
CD C AC ==. 【点睛】
本题考查了切线的判定定理及直角三角形直角边与斜边的关系，证明圆的切线的问题常用的思路是根据利用切线的判定定理转化成证垂直的问题；求线段长和三角函数值一般应构造相应的直角三角形． 22．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y ＝k x
（k≠0，x ＞0）过点D ．
（1）写出D 点坐标；
（2）求双曲线的解析式；
（3）作直线AC 交y 轴于点E ，连结DE ，求△CDE 的面积．
【答案】（1）点D 的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y ＝2x
；（1）△CDE 的面积是1． 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；
（2）求出点D 的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；
（1）观察图形，可用割补法将CDE ∆分成ADE ∆与ACD ∆两部分，以AD 为底，分别以E 到AD 的距离和C 到AD 的距离为高求解即可.
【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1）， ∴点D 的坐标是（1，2），
（2）∵双曲线y ＝
k x （k≠0，x ＞0）过点D （1，2）， ∴2＝1
k ，得k ＝2，
即双曲线的解析式是：y ＝2x ； （1）∵直线AC 交y 轴于点E ，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D 的坐标是（1，
2），
∴AD＝2，点E 到AD 的距离为1，点C 到AD 的距离为2，
∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝
212222⨯⨯+＝1+2＝1， 即△CDE 的面积是1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.
23．如图，矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数m y x
=
的图象经过点E ，与AB 交于点F ．
（1）若点B 坐标为()6,0-，求m 的值；
（2）若2AF AE -=，求反比例函数的表达式． 【答案】（1）m=-12；（2）4y x =-
【分析】（1）根据矩形的性质求出点E 的坐标，根据待定系数法即可得到答案；
（2）根据勾股定理，可得AE 的长，根据线段的和差，可得BF 的长，可得点F 的坐标，根据待定系数法，可得m 的值，可得答案.
【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴BC=AD=3，CD=AB=8，∠D=∠DCB=90°，
∵点B 坐标为（-6,0），E 为CD 中点，
∴E(-3，4)，
∵函数m y x
=图象过E 点， ∴m=-3⨯4= -12； （2）∵∠D=90°，AD=3，DE=
12CD=4，
∴AE=5，
∵AF-AE=2，
∴AF=7，
∴BF=1，
设点F （x ，1），则点E(x+3,4)， ∵函数m y x =图象过点E 、F ， ∴x=4（x+3），
解得x=-4，
∴F （-4,1），
∴m=-4，
∴反比例函数的表达式是4y x
=-
. 【点睛】
此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，线段中点的特点，矩形的性质，（2）中可以设点E 、F 中一个点的坐标，表示出另一个点的坐标，由两点在同一个函数图象上可得到等式求出函数解析式，注意解题方法的积累.
24．将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ，若3AE 55tan EFC 4
∠==，，求AB 的长.
【答案】10
【分析】设EC 3k =，根据三角函数表示出其它线段，最终表示出BE 、AB ，然后在三角形ABE 中根据勾股定理即可求出AB.
【详解】解： ∵ABCD 是矩形，沿AE 翻折
∴AB DC AF AD BC ===，，BE=EF ，∠AFE=∠B=∠D =90，
∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC=90,
∴∠DAF=∠EFC,
∴3tan DAF tan EFC 4
∠∠==, 设EC 3k =，则 F C 4,?k =
∴BE=EF 5k =,
∴ BC BE EC 8k =+=,
∴AD=8k ， ∴384
DF DF AD k ==， ∴ DF 6k =，
∴DC DF CF 10k =+=,
∴AB 10k =,
∵222AB BE AE +=,
∴222(10)(5)k k +=，
∴1k =,
∴AB 10=.
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
25．赵化鑫城某超市购进了一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为获得更多的利润，商场决定提高销售的价格，经试验发现，若按每件20元销售，每月能卖360件；若按每件25元销售，每月能卖210件；若每月的销售件数y （件）与价格x （元/件）满足y ＝kx+b ．
（1）求出k 与b 的值，并指出x 的取值范围？
（2）为了使每月获得价格利润1920元，商品价格应定为多少元？
（3）要使每月利润最大，商品价格又应定为多少？最大利润是多少？
【答案】（1）k ＝﹣30，b ＝960，x 取值范围为16≤x≤32；（2）商品的定价为24元；（3）商品价格应定为24元，最大利润是1元．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；根据单价不低于进价（16元）和销售件数y ≥0可得关于x 的不等式组，解不等式组即得x 的取值范围；
（2）根据每件的利润×销售量=1，可得关于x 的方程，解方程即可求出结果；
（3）设每月利润为W 元，根据W=每件的利润×销售量可得W 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）由题意，得：3602021025k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：30960
k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣30x+960， ∵y≥0，∴﹣30x+960≥0，解得：x≤32，
又∵x≥16，∴x 的取值范围是：16≤x≤32；
答：k ＝﹣30，b ＝960，x 取值范围为：16≤x≤32；
（2）由题意，得：（﹣30x+960）（x ﹣16）＝1，解得：x 1=x 2=24，
答：商品的定价为24元；
（3）设每月利润为W 元，由题意，得：W ＝（﹣30x+960）（x ﹣16）＝﹣30（x ﹣24）2+1．
∵﹣30＜0，∴当x ＝24时，W 最大＝1．
答：商品价格应定为24元，最大利润是1元．
【点睛】
本题是方程和函数的应用题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的解法和二次函数的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键. 26．如图，在△ABC 中，sinB=35，cosC=22
，AB=5，求△ABC 的面积．
【答案】212
【分析】过A 作AD ⊥BC ，根据三角函数和三角形面积公式解答即可．
【详解】过A 作AD ⊥BC ．在△ABD 中，∵sinB=
35，AB=5，∴AD=3，BD=1．在△ADC 中，∵cosC=22，∴∠C=15°，∴DC=AD=3，∴△ABC 的面积=12133422
⨯⨯+=（）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，关键是根据三角函数和三角形面积公式解答．
27．如图，△ABC 的高AD 与中线BE 相交于点F ，过点C 作BE 的平行线、过点F 作AB 的平行线，两平行线相交于点G ，连接BG ．
（1）若AE=2.5，CD=3，BD=2，求AB 的长；
（2）若∠CBE=30°，求证：CG=AD+EF ．
【答案】（1）5（2）见解析．
【分析】（1）BE是△ABC的中线，则AC=5，由勾股定理求出AD的长，再由勾股定理求得AB的长；
（2）过点E作EM∥FG，作EN∥AD，先得出EN=1
2
AD，然后证明EN=
1
2
BE，从而有AD=BE．再证明△ABE≌△EMC，得出BE=MC，再推导出四边形EFGM是平行四边形，得出EF=GM，继而可得出结论．【详解】（1）解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE=EC=2.5，∴AC=5，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
2222
534
AD AC CD
∴=-=-=，
2222
425
2
AB AD BD
∴=+==
+；
（2）证明：如图，过点E作EM∥FG，作EN∥AD．
∵BE是中线，即E为AC的中点，∴EN为△ACD的中位线，∴EN=
1
2
AD．
∵AD是高，∴EN⊥BC，∴∠ENB=90°．
∵∠CBE=30°，∴EN=
1
2
BE．
∴AD=BE．
∵FG∥AB，EM∥FG，∴EM∥AB，
∴∠BAE=∠MEC．
∵EB∥CG，∴∠AEB=∠ECM．
在△ABE和△EMC中，
∵
BAE MEC
AE EC
AEB ECM
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△EMC（ASA），
∴BE=MC．
∵EM∥FG，BE∥GC，
∴四边形EFGM是平行四边形，
∴EF=GM．
∴GC=GM+MC=EF+BE=EF+AD．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形性质以及全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线构建三角形中位线以及构造平行四边形是解题的关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，直线y 1＝kx+b 过点A （0，3），且与直线y 2＝mx 交于点P （1，m ），则不等式组mx ＞kx+b ＞mx ﹣2的解集是（ ）.
A ．514x <<
B ．413x <<
C ．513x <<
D ．1＜x ＜2
【答案】C 【分析】先把A 点代入y ＋kx ＋b 得b ＝3，再把P （1，m ）代入y ＝kx ＋3得k ＝m−3，接着解（m−3）x ＋3＞mx−2得x ＜53
，然后利用函数图象可得不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx−2的解集． 【详解】把P （1，m ）代入y ＝kx ＋3得k ＋3＝m ，解得k ＝m−3， 解（m−3）x ＋3＞mx−2得x ＜53
， 所以不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx−2的解集是1＜x ＜
53． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx ＋b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx ＋b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定
【答案】A
【解析】∵圆心O 到直线l 的距离d=3，⊙O 的半径R=4，则d ＜R ，
∴直线和圆相交．故选A ．
3．已知x ＝5是分式方程
1a x -＝52x 的解，则a 的值为（ ） A ．﹣2
B ．﹣4
C ．2
D ．4 【答案】C
【分析】现将x=5代入分式方程,再根据解分式方程的步骤解出a 即可．
【详解】∵x ＝5是分式方程1a x -＝52x 的解，
∴51a -＝525
⨯， ∴4a ＝12， 解得a ＝1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查解分式方程,关键在于代入x 的值,熟记分式方程的解法．
4．如图,点A 是以BC 为直径的半圆的中点，连接AB ，点D 是直径BC 上一点，连接AD ，分别过点B 、点C 向AD 作垂线，垂足为E 和F ，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】D
【分析】延长BE 交O 于点M ，连接CM ，AC ，依据直径所对的圆周角是90度，及等弧对等弦，得到直角三角形BMC 和等腰直角三角形BAC ，依据等腰直角三角形三边关系，知道要求AB 只要求直径BC ，直径BC 可以在直角三角形BMC 中运用勾股定理求，只需要求出BM 和CM ，依据三个内角是直角的四边形是矩形，可以得到四边形EFCM 是矩形，从而得到CM 和EM 的长度，再用BE+EM 即得BM ，此题得解.
【详解】解：延长BE 交O 于点M ，连接CM ，AC ，
∵BC 为直径，
∴90M ∠=︒，90BAC ∠=︒
又∵由,BE AF CF AF ⊥⊥得：90MEF F ∠=∠=︒,
∴四边形EFCM 是矩形，
∴MC=EF =2，EM=CF=6
又∵BE=8，
∴BM=BE+EM=8+6=14,
∴2222142102BC BM MC =+=+=,
∵点A 是以BC 为直径的半圆的中点,
∴AB=AC,
又∵90BAC ∠=︒，
∴2222=2BC AB AC AB =+，
∴AB=10.
故选：D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度， 矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式.
5．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒 【答案】C
【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴为：61711.52
x +==秒， ∵第12秒距离对称轴最近，
∴上述时间中，第12秒时炮弹高度最高；
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题.
6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． A ，B 在格点上，现将线段AB 向下平移m 个单位长度，再向左平移n 个单位长度，得到线段AB ，连接'AA ，'BB ．若四边形是正方形''AA BB ，则m n +的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，相加即可得出．
【详解】解：根据线段的平移规律可以看出，线段AB向下平移了1个单位，向左平移了2个单位，得到A＇B＇，则m+n=1．
故选：A
【点睛】
本题考查的是线段的平移问题，观察图形时要考虑其中一点就行.
7．下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和的概念和各图形特点解答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的特点，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合．8．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
9．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）
A．50°B．60°C．80°D．100°
【答案】D
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
10．如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（）
A．20°B．40°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】连接OD．
∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=1
2
（180°﹣40°）=70°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
11．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转 60°得到△AED ，若线段AB=3，则BE=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】分析：根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE ，得出△BAE 是等边三角形，进而得出BE=1即可．
详解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，
∴∠BAE=60°，AB=AE ，
∴△BAE 是等边三角形，
∴BE=1．
故选B ．
点睛：本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
12．将抛物线2y x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A ．2(2)3y x =+-
B ．2(2)3y x =++
C ．2(2)3y x =-+
D ．2(2)3y x =--
【答案】A
【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度
所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选A ．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．为了估计一个不透明的袋子中白球的数量(袋中只有白球)，现将5个红球放进去(这些球除颜色外均相同)随机摸出一个球记下颜色后放回(每次摸球前先将袋中的球摇匀)，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.2，由此可估计袋中白球的个数大约为______．
【答案】20个
【解析】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，
∵假设有x 个白球， ∴55
x +=0.2， 解得：x=20，
∴口袋中有白球约有20个．
故答案为20个．
14．在锐角△ABC 中，若sinA=
12，则∠A=_______° 【答案】30°
【分析】由题意直接利用特殊锐角三角函数值即可求得答案.
【详解】解：因为sin30°=
12
，且△ABC 是锐角三角形， 所以∠A=30°.
故填：30°.
【点睛】
本题考查特殊锐角三角函数值，熟记特殊锐角三角函数值是解题的关键.
15．分解因式：22a b -=____________．
【答案】()()a b a b +-
【解析】分析：利用平方差公式直接分解即可求得答案．
解答：解：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．
故答案为（a+b ）（a-b ）．
16．已知在平面直角坐标系中，点P 在第二象限，且到x 轴的距离为3,到y 轴的距离为4,则点P 的坐标为______．
【答案】（-4,3）
【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答．。