2023-2024学年安徽省合肥市八年级下学期数学期末学情检测模拟题合集两套(含解析)

2023-2024学年安徽省合肥市八年级下册数学期末学情检测模拟题
（卷一）
一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列图形中，对称图形有(
)
A. B.
C.
D.
2.若m ＞n ，下列没有等式没有一定成立的是（）A.m +2＞n +2
B.2m ＞2n
C.
2m ＞2
n D.m 2＞n 2
3.下列分式中，最简分式是(
)
A.
234x xy
B.2
24x x -- C.
22x y x y
++ D.
2244
x x x --+4.如图，Rt ABC 沿直线边BC 所在的直线向右平移得到DEF ，下列结论中没有一定正确的
是(
)
A.90DEF ∠=︒
B.BE CF
=C.CE CF
= D.ABEH DHCF
S S =四边形四边形5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数为（
）
A.30°
B.40°
C.70°
D.80°
6.如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，
要使四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需要满足的条件是()
A.AB CD =
B.AB CD ⊥
C.AB AD ⊥
D.AC BD
=7.如图，ABC 中，AB AC 16==，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 的中点，连接DE ，若CDE 的周长为26，则BC 的长为(
)
A.20
B.16
C.10
D.8
8.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别是DAB ∠、CBA ∠的平分线，4AB =，
3BC =，则EF 的长是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若关于x 的分式方程3144x m
x x
++=--有增根，则m 的值是（）
A.
0或3
B.
3
C.
D.﹣1
10.如图，直线y =x +
32与y =kx -1相交于点P ，点P 的纵坐标为1
2，则关于x 的没有等式x +32
>kx -1的解集在数轴上表示正确的是（
）
A. B. C. D.
11.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD ＝8，BC ＝5，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长为(
)
A.5
B.
125
C.
245
D.
185
12.如图，▱ABCD 中，AD 2AB =，F 是BC 的中点，作AE CD ⊥，垂足E 在线段CD 上，连接EF 、AF ，下列结论：2BAF C ∠∠=①；EF AF =②；ABF AEF S S = ③；BFE 3CEF ∠∠=④中，一定成立的是(
)
A.只有①②
B.只有②③
C.只有①②④
D.①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13.分解因式：2x y 4y -=____．14.如果分式
23
x
x +有意义，那么x 的取值范围是____________．15.正多边形的每个内角等于150︒，则这个正多边形的边数为______________条．
16.为有效开展“阳光体育”，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金没有超过3000元．若
每个篮球80元，每个足球50元，则篮球至多可购买_____个．
17.如图，已知点P 是∠AOB 角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD ⊥OA ，M 是OP 的中点，DM=4cm ，如果点C 是OB 上一个动点，则PC 的最小值为________cm
．
18.如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝
BC =将△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____
．
19.关于x 的分式方程
223
242
mx x x x +=--+无解，则m 的值为_______．20.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、⋯在x 轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，
11B C O 60∠= ，112233B C //B C //B C //⋯，则正方形2018201820182018A B C D
的边长是______．
三、解答题
21.解没有等式组2x 1
125x 23x
-⎧<⎪
⎨⎪+≥⎩，并将它的解集在数轴上表示出来．
22.先化简，再求值：22
x 4
x 2x 2x 4⎛⎫-+÷ ⎪+-⎝⎭
，其中x 5=．23.如图，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE DF =.
求证：四边形AECF 是平行四边形.
24.北京到济南的距离约为500km ，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车晚出发3小时，两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度的2.5倍.求高铁和特快列车的速度各是多少？(列方程解答)
25.如图，平面直角坐标系中，已知点(A ，ABO 60.∠=
若对于平面内一点C ，当ABC
是以AB 为腰的等腰三角形时，称点C 时线段AB 的“等长点”．
()
1请判断点(1C 1,，点(2C 0,是否是线段AB 的“等长点”，并说明理由；
()2若点()D m,n 是线段AB 的“等长点”，且DAB 60∠= ，求m 和n 的值．
26.为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共7000株用于城市绿化，甲种树苗每株24元，一种树苗每株30元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
()1若购买这两种树苗共用去元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
()2若要使这批树苗的总成活率没有低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？()3在()2的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用？并求出费用．
27.如图，在矩形ABCD 中，AB 2cm =，BC 4cm.=点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1cm /s ，连接PQ 、AQ 、CP.设点P 、Q 运动的时间为ts ．
()1当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；()2当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形．
28.问题的提出：如果点P 是锐角ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点P 到ABC 的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小？
()1问题的转化：把APC 绕点A 逆时针旋转60 得到AP'C' ，连接PP'，这样就把确定
PA PB PC ++的最小值的问题转化成确定BP PP'P'C ++的最小值的问题了，
请你利用图1证明：PA PB PC BP PP'P'C ++=++；
()2问题的解决：当点P 到锐角ABC 的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小时，求
APB ∠和APC ∠的度数；
()3问题的延伸：如图2是有一个锐角为30 的直角三角形，如果斜边为2，点P 是这个三角形内
一动点，请你利用以上方法，求点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
29.如图，已知菱形ABCD 边长为4，BD 4=，点E 从点A 出发沿着AD 、DC 方向运动，同时点F 从点D 出发以相同的速度沿着DC 、CB 的方向运动．
()1如图1，当点E 在AD 上时，连接BE 、BF ，试探究BE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；()2在()1的前提下，求EF 的最小值和此时BEF 的面积；
()3当点E 运动到DC 边上时，如图2，连接BE 、DF ，交点为点M ，连接AM ，则AMD ∠大小
是否变化？请说明理由．
30.如图，APB 中，AB 2=，APB 90∠= ，在AB 的同侧作正ABD 、正APE 和正BPC ，求四边形PCDE 面积的值．
2023-2024学年安徽省合肥市八年级下册数学期末学情检测模拟题
（卷一）
一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列图形中，对称图形有(
)
A. B.
C.
D.
【正确答案】B
【分析】根据对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、没有是对称图形，故本选项错误；B 、是对称图形，故本选项正确；C 、没有是对称图形，故本选项错误；D 、没有是对称图形，故本选项错误．故选：B ．
本题考查了对称图形的概念.对称图形是要寻找到对称，使其旋转180度后能够与自身重合．2.若m ＞n ，下列没有等式没有一定成立的是（）A.m +2＞n +2
B.2m ＞2n
C.
2m ＞2
n
D.m 2＞n 2
【正确答案】D
【详解】A 、没有等式的两边都加2，没有等号的方向没有变，故A 正确；B 、没有等式的两边都乘以2，没有等号的方向没有变，故B 正确；C 、没有等式的两条边都除以2，没有等号的方向没有变，故C 正确；
D 、当0＞m ＞n 时，没有等式的两边都乘以负数，没有等号的方向改变，故D 错误；故选：D ．
3.下列分式中，最简分式是(
)
A.
234x xy
B.2
24x x -- C.
22x y x y
++ D.
2244
x x x --+【正确答案】C
【分析】最简分式的标准是分子，分母中没有含有公因式，没有能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】A 、23344x x
xy y
=，没有符合题意；B 、
()()2221
4222
x x x x x x --==-+-+，没有符合题意；C 、22
x y x y
++是最简分式，符合题意；
D 、
22
221
44(2)2x x x x x x
--==-+--，没有符合题意；故选C ．
本题考查了最简分式的定义及求法.一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式.分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题.在解题中一定要引起注意．
4.如图，Rt ABC 沿直线边BC 所在的直线向右平移得到DEF ，下列结论中没有一定正确的是(
)
A.90DEF ∠=︒
B.BE CF
=
C.CE CF =
D.ABEH DHCF
S S =四边形四边形【正确答案】C
【分析】由平移的性质，图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．【详解】Rt ABC Q V 沿直线边BC 所在的直线向右平移得到DEF ，
90DEF ABC ︒∴∠=∠=，BC EF =，ABC DEF S S = ，
BC EC EF EC ∴-=-，ABC HEC DEF HEC S S S S -=- ，
BE CF ∴=，ABEH DHCF S S =四边形四边形，
但没有能得出CE CF =，故选C ．
本题考查了平移的基本性质：①平移没有改变图形的形状和大小；②平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数为（
）
A.30°
B.40°
C.70°
D.80°
【正确答案】A
【分析】由等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，即可求得∠ABC 的度数，又由线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，可得AE =BE ，继而求得∠ABE 的度数，则可求得答案．【详解】∵AB =AC ，∠A =40°，∴∠ABC =∠C =（180°−∠A ）÷2=70°，
∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，∴AE =BE ，∴∠ABE =∠A =40°，
∴∠CBE =∠ABC -∠ABE =30°，故选：A ．
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质，运用数形思想是解题的关键．
6.如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需要满足的条件是(
)
A.AB CD =
B.AB CD ⊥
C.AB AD ⊥
D.AC BD
=【正确答案】B
【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断.由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形EFGH 是平行四边形，若FE EH ⊥或者EG FH =就可以判定四边形EFGH 是矩形．
【详解】∵E 、F 分别是AD ，BD 的中点，G 、H 分别中BC ，AC 的中点，∴EF ∥AB ，EF =
12AB ；GH ∥AB ，GH =1
2
AB ．∴EF ∥GH ，EF=GH ．
∴四边形EFGH 是平行四边形．当AB CD ⊥时，四边形EFGH 是矩形，
AB CD ⊥ ，GH //AB ，EH //CD ，EH GH ∴⊥，
即EHG 90∠= ，
∴四边形EFGH 是矩形；
故选B ．
此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质.此题难度适中，注意掌握数形思想的应用．
7.如图，ABC 中，AB AC 16==，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 的中点，连接DE ，若CDE 的周长为26，则BC 的长为(
)
A.20
B.16
C.10
D.8
【正确答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】AB AC = ，AD 平分BAC ∠，
AD BC ∴⊥，
ADC 90∠∴= ，
点E 为AC 的中点，
1DE CE AC 82
∴===．CDE 的周长为26，
CD 10∴=，
BC 2CD 20∴==．
故选A ．
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
8.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别是DAB ∠、CBA ∠的平分线，4AB =，3BC =，则EF 的长是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【正确答案】B 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别是DAB ∠、CBA ∠的平分线，
易得ADF 与BCE 是等腰三角形，继而求得3DF CE BC ===，则可求得答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，4CD AB ==，3AD BC ==，
AFD BAF ∴∠=∠，ABE BEC ∠=∠，
AF 、BE 分别是DAB ∠、CBA ∠的平分线，
DAF BAF ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，
DAF AFD ∴∠=∠，CBE BEC ∠=∠，
3AD DF ∴==，3CE BC ==，
2EF DF CE CD ∴=+-=．
故选B ．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得ADF 与BCE 是等腰三角形是关键．
9.若关于x 的分式方程
3144x m x x ++=--有增根，则m 的值是（）A.0或3 B.3 C.0 D.﹣1
【正确答案】D
【分析】增根是化为整式方程后产生的没有适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-4=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】解：3144x m x x
++=--方程两边同乘（x-4）得3()4
x m x -+=-∵原方程有增根，
∴最简公分母x-4=0，
解得x=4，
把x=4代入3()4x m x -+=-，得3(4)44m -+=-，解得m=-1
故选：D
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10.如图，直线y =x +32与y =kx -1相交于点P ，点P 的纵坐标为12，则关于x 的没有等式x +32
>kx -1的解集在数轴上表示正确的是（
）
A. B. C. D.
【正确答案】A 【分析】先把1y 2=代入3y x 2
=+，得出x 1=-，再观察函数图象得到当x 1>-时，直线3y x 2=+都在直线y kx 1=-的上方，即没有等式3x kx 12
+>-的解集为x 1>-，然后用数轴表示解集．【详解】把1y 2=代入3y x 2=+，得13x 22
=+，解得x 1=-．当x 1>-时，3x kx 12
+>-，所以关于x 的没有等式3x kx 12+
>-的解集为x 1>-，用数轴表示为：
．
故选A ．
本题考查了函数与一元没有等式：从函数的角度看，就是寻求使函数y kx b =+的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD ＝8，BC ＝5，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长为()
A.5
B.125
C.245
D.185【正确答案】C 【分析】在Rt OBC 中，根据22OC BC OB =-求出OC ，再利用面积法可得
11AE BC BO AC 22
⨯⨯=⨯⨯，由此求出AE 即可．【详解】 四边形ABCD 是菱形，BD 8=，
BO DO 4∴==，BOC 90∠= ，
在Rt OBC 中，2222OC BC OB 543=-=-=，
AC 2OC 6∴==，
ABC 11S AE BC BO AC 22
∴=⨯⨯=⨯⨯ 故5AE 24=，解得：24AE 5=
．故选C ．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE 的长是解题关键．
12.如图，▱ABCD 中，AD 2AB =，F 是BC 的中点，作AE CD ⊥，垂足E 在线段CD 上，连接EF 、AF ，下列结论：2BAF C ∠∠=①；EF AF =②；ABF AEF S S = ③；BFE 3CEF ∠∠=④中，一定成立的是()
A.只有①②
B.只有②③
C.只有①②④
D.①②③④
【正确答案】C 【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出MBF ≌ECF ，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】F ①是BC 的中点，
BF FC ∴=，
在▱ABCD 中，AD 2AB =，
BC 2AB 2CD ∴==，
BF FC AB ∴==，
AFB BAF ∠∠∴=，
AD //BC ，
AFB DAF ∠∠∴=，
BAF FAB ∠∠∴=，
2BAF BAD ∠∠∴=，
BAD C ∠∠= ，
BAF 2C ∠∠∴=故①正确；
②延长EF ，交AB 延长线于M
，
四边形ABCD 是平行四边形，
AB //CD ∴，
MBF C ∠∠∴=，
F 为BC 中点，
BF CF ∴=，
在MBF 和ECF 中，
MBF C BF CF BFM CFE ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
MBF ∴ ≌()ECF ASA ，
FE MF ∴=，CEF M ∠∠=，
CE AE ⊥ ，
AEC 90∠∴= ，
AEC BAE 90∠∠∴== ，
FM EF = ，
EF AF ∴=，故②正确；
EF FM = ③，
AEF AFM S S ∴= ，
ABF AEF S S ∴< ，故③错误；
④设FEA x ∠=，则FAE x ∠=，
BAF AFB 90x ∠∠∴==- ，
EFA 1802x ∠∴=- ，
EFB 90x 1802x 2703x ∠∴=-+-=- ，
CEF 90x ∠=- ，
BFE 3CEF ∠∠∴=，故④正确，
故选C ．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出AEF ≌DME ．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13.分解因式：2x y 4y -=____．
【正确答案】()()y x 2x 2+-．
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式y 后继续应用平方差公式分解即可：()
()()22x y 4y y x 4y x 2x 2-=-=+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．
14.如果分式23
x x +有意义，那么x 的取值范围是____________．
【正确答案】3
x ≠-【详解】试题分析：分式有意义的条件是分母没有为零，故30x +≠，解得3x ≠-．
考点：分式有意义的条件．
15.正多边形的每个内角等于150︒，则这个正多边形的边数为______________条．
【正确答案】12
【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n ＝150︒,n=12,所以应填12.
16.为有效开展“阳光体育”，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金没有超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球至多可购买_____个．
【正确答案】16
【分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量购买资金没有超过3000元，即可得出关于x 的一元没有等式，解之取其中的整数即可．
【详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，
根据题意得：()8050503000x x +-≤，解得：503
x ≤．x 为整数，
x ∴值为16．
故16．
本题考查了一元没有等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元没有等式．
17.如图，已知点P 是∠AOB 角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD ⊥OA ，M 是OP 的中点，DM=4cm ，如果点C 是OB 上一个动点，则PC 的最小值为________cm ．
【正确答案】4
【分析】根据角平分线的定义可得1AOP AOB 302
∠== ，再根据直角三角形的性质求得1PD OP 42
==，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案．【详解】P 是AOB ∠角平分线上的一点，AOB 60 ∠=，
1AOP AOB 302
∠∠∴== ，PD OA ⊥ ，M 是OP 的中点，DM 4cm =，
OP 2DM 8∴==，
1PD OP 42
∴==， 点C 是OB 上一个动点，
PC ∴的最小值为P 到OB 距离，
PC ∴的最小值PD 4==，
故答案为4．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
18.如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =
将△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．
【正确答案】1
【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =
AB ===2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝
AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=
AB ′＝1，'60ABB ∠=︒
，推出1''302ABD B BD ABB ∠=∠=∠=︒，得到BD 32
=AB ′=C ′B
＝C ′D ＋BD ＝1【详解】解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，
△ABC ＝BC =
∴AB ===2，
∵△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB ′C ′的位置，
∴∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，
∴BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，
∴C ′D 12
=AB ′＝1，'60ABB ∠=︒，∴1''302ABD B BD ABB ∠=∠=
∠=︒，
∴BD ==
∴C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．
故答案为1．
本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D ，BD 的长是解题的关键．
19.关于x 的分式方程223242
mx x x x +=--+无解，则m 的值为_______．【正确答案】1或6或4
-【分析】方程两边都乘以()()22x x +-，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．【详解】解：223242
mx x x x +=--+ ，()()232222
mx x x x x ∴+=-+-+，()()2232x mx x ∴++=-，
()110m x ∴-=-，
当1m =时，显然方程无解，
又原方程的增根为：2x =±，
当2x =时，15m -=-，
4m ∴=-，
当2x =-时，15m -=，
6m ∴=，
综上当1m =或4m =-或6m =时，原方程无解．
故1或6或4-．
本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
20.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、
4E 、⋯在x 轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，
11B C O 60∠= ，112233B C //B C //B C //⋯，则正方形2018201820182018A B C D 的边长是______．
【正确答案】20173
【分析】利用正方形的性质锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【详解】 正方形1111A B C D 的边长为1，11B C O 60∠= ，112233B C //B C //B C ，
1122D E B E ∴=，2334D E B E =，111222334D C E C B E C B E 30∠∠∠=== ，
11111D E C D sin302∴==
，
则12222B E B C cos303
== ，
同理可得：2331B C 33
==，故正方形n n n n A B C D 的边长是：n 13(3-，
则正方形2018201820182018A B C D 的边长为：201733，
故答案为2017()3
．此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
三、解答题
21.解没有等式组2x 1125x 23x
-⎧<⎪⎨⎪+≥⎩，并将它的解集在数轴上表示出来．【正确答案】没有等式组的解集为31x 2
-≤<．【分析】首先解每个没有等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定没有等式的解集的公共部分就是没有等式组的解集．【详解】解没有等式2x 112-<，得：3x 2
<，解没有等式5x 23x +≥，得：x 1≥-，
将没有等式的解集表示在数轴上如下：所以没有等式组的解集为31x 2
-≤<．本题考查了没有等式组的解法，把每个没有等式的解集在数轴上表示出来(,>≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
22.先化简，再求值：22x 4x 2x 2x 4⎛⎫-+÷ ⎪+-⎝⎭
，其中x 5=．【正确答案】x 2-，3．
【分析】首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式进而化简得出答案．
【详解】原式()()()()2x 2x 2x 2x 2x x 2x 24⎡⎤-++-=-⨯⎢⎥++⎣⎦
()()x 2x 24x 24
+-=⨯+,x 2=-，
当x 5=时，原式523=-=．
此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
23.如图，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE DF =.
求证：四边形AECF 是平行四边形.
【正确答案】见解析.
【分析】根据平行四边形性质得出AD ∥BC ，且AD=BC ，推出AF ∥EC ，AF=EC ，根据平行四边形的判定推出即可．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC ∕∕，且AD BC =，
∴AF EC ∕∕，
∵BE DF =，
∴AF EC =，
∴四边形AECF 是平行四边形
此题考查平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握判定法则
24.北京到济南的距离约为500km ，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车晚出发3小时，两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度的2.5倍.求高铁和特快列车的速度各是多少？(列方程解答)
【正确答案】特快列车的速度为100千米/时，高铁的速度为250千米/时．
【分析】设特快列车的速度为x 千米/时，则高铁的速度为2.5x 千米/时，根据时间=路程÷速度高铁比特快列车少用3小时，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】设特快列车的速度为x 千米/时，则高铁的速度为2.5x 千米/时，根据题意得：5005003x 2.5x
-=，
解得：x 100=，
经检验，x 100=是原分式方程的解，
2.5x 2.5100250∴=⨯=．
答：特快列车的速度为100千米/时，高铁的速度为250千米/时．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.如图，平面直角坐标系中，已知点(A ，ABO 60.∠= 若对于平面内一点C ，当ABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，称点C 时线段AB 的“等长点”．
()
1请判断点(1C 1,，点(2C 0,是否是线段AB 的“等长点”，并说明理由；()2若点()D m,n 是线段AB 的“等长点”，且DAB 60∠= ，求m 和n 的值．
【正确答案】()11C 是线段AB 的“等长点”，2C 没有是线段AB 的“等长点”，理由见解析；()
2m 1=-，n 0=或m 2=，n =．
【分析】()1先求出AB 的长与B 点坐标，再根据线段AB 的“等长点”的定义判断即可；()2分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m ，n ．
【详解】()1 点(A ，ABO 60∠= ，
OA ∴=
，OA AB 2sin ABO 3
2∠===，OB 1==，
()B 1,0∴．
点(1C 1,，
1AC 2∴==，
1AC AB ∴=，
1C ∴是线段AB 的“等长点”，
点(2C 0,，
2AC ∴=2BC ==，
2AC AB ∴≠，2BC AB ≠，
2C ∴没有是线段AB 的“等长点”；
()2如图，
在Rt AOB 中，AB 2=，OB 1=，
OB 1sin OAB AB 2
∠∴==，OAB 30∠∴= ．
分两种情况：
①当点D 在y 轴左侧时，
DAB 60∠= ，
DAO DAB BAO 30∠∠∠∴=-= ，
点()D m,n 是线段AB 的“等长点”，
AD AB ∴=，
()D 1,0∴-，
m 1∴=-，n 0=；
②当点D 在y 轴右侧时，
DAB 60∠= ，
DAO BAO DAB 90∠∠∠∴=+= ，
n ∴=
，
点()D m,n 是线段AB 的“等长点”，
AD AB 2∴==，
m 2∴=．
综上所述，m 1=-，n 0=或m 2=，n =．
本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质.解()1的关键是理解新定义，解()2的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．
26.为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共7000株用于城市绿化，甲种树苗每株24元，一种树苗每株30元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
()1若购买这两种树苗共用去元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
()2若要使这批树苗的总成活率没有低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
()3在()2的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用？并求出费用．
【正确答案】()1甲、乙两种树苗各购买5000、2000株；()2甲种树苗至多购买2800株；()3至少费用为193200元.
【分析】()1列方程求解即可；
()2根据题意，甲乙两种树苗的存货量大于等于树苗总量的88%列出没有等式；
()3用x 表示购买树苗的总费用，根据函数增减性讨论最小值．
【详解】()1设购买甲种树苗x 株，则购买乙种树苗()7000x -株，
由题意得：()24x 307000x 180000
+-=解得x 5000=，则7000x 2000
-=答：甲、乙两种树苗各购买5000、2000株；
()2根据题意得：()85%x 95%7000x 700088%
+-≥⨯解得x 2800
≤则甲种树苗至多购买2800株
()3设购买树苗的费用为W ，
根据题意得：()W 24x 307000x 6x 210000
=+-=-+k 60
=-< W ∴随x 的增大而减小
∴当x 28=时，W 62800210000193200
=-⨯+=最小
本题为函数实际应用问题，综合考察一元方程、一元没有等式及函数的增减性．
27.如图，在矩形ABCD 中，AB 2cm =，BC 4cm.=点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点
A 即停止；同时，点Q 从点
B 出发向点
C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1cm /s ，连接PQ 、AQ 、CP.设点P 、Q 运动的时间为ts ．
()1当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；
()2当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形．
【正确答案】()1当t 2s =时，四边形ABQP 为矩形；()2当t 1.5s =时，四边形AQCP 为菱形．
【分析】()1当四边形ABQP 是矩形时，BQ AP =，据此求得t 的值；
()2当四边形AQCP 是菱形时，AQ AC =，列方程求得运动的时间t ；
【详解】()1由已知可得，BQ DP t ==，AP CQ 4t
==-在矩形ABCD 中，B 90∠= ，AD //BC ，
当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，
t 4t ∴=-，得t 2
=故当t 2s =时，四边形ABQP 为矩形．
()2由()1可知，四边形AQCP 为平行四边形
∴当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形
4t =-时，四边形AQCP 为菱形，解得t 1.5=，
故当t 1.5s =时，四边形AQCP 为菱形．
本题考查了菱形、矩形的判定与性质.解决此题注意方程的思想解题．
28.问题的提出：如果点P 是锐角ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点P 到ABC 的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小？
()1问题的转化：把APC 绕点A 逆时针旋转60 得到AP'C' ，连接PP'，这样就把确定
PA PB PC ++的最小值的问题转化成确定BP PP'P'C ++的最小值的问题了，
请你利用图1证明：PA PB PC BP PP'P'C ++=++；
()2问题的解决：当点P 到锐角ABC 的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小时，求APB ∠和APC ∠的度数；
()3问题的延伸：如图2是有一个锐角为30 的直角三角形，如果斜边为2，点P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）满足：APB APC 120∠∠== 时，PA PB PC ++的值为
最小；（3）点P ．
【分析】()1问题的转化：根据旋转的性质证明△APP´是等边三角形，则PP´=PA ，可得结论；()2问题的解决：运用类比的思想，把APC 绕点A 逆时针旋转60度得到AP'C' ，连接PP'，由“问题的转化”可知：当B 、P 、P´、C´在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，确定当：APB APC 120∠∠== 时，满足三点共线；
()3问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角△ABC´，利用勾股定理求AC´的长，即是点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【详解】问题的转化：
如图1，
由旋转得：∠PAP´=60°，PA=P´A ，
△APP´是等边三角形，
∴PP´=PA ，
∵PC=P´C ，
PA PB PC BP PP'P'C'∴++=++．
问题的解决：
满足：APB APC 120∠∠== 时，PA PB PC ++的值为最小；
理由是：如图2，把APC 绕点A 逆时针旋转60度得到AP'C' ，连接PP'，
由“问题的转化”可知：当B 、P 、P´、C´在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，APB 120∠= ，∠APP´=60°，
∴∠APB+∠APP´=180°，
B ∴、P 、P´在同一直线上，
由旋转得：∠AP´C´=∠APC=120°，
∵∠AP´P=60°，
∴∠AP´C´+∠A P´P=180°，
P ∴、P´、C´在同一直线上，
B ∴、P 、P´、C´在同一直线上，
∴此时PA PB PC ++的值为最小，
故答案为APB APC 120∠∠== ；
问题的延伸：
如图3，Rt ACB 中，AB 2= ，ABC 30∠= ，
AC 1∴=
，BC =把BPC 绕点B 逆时针旋转60度得到BP'C' ，连接PP'，
当A 、P 、P´、C´在同一直线上时，PA PB PC ++的值为最小，
由旋转得：BP=BP´，∠PBP´=60°，PC=P´C´，BC=B´C´，
BPP'∴ 是等边三角形，
∴PP´=PB ，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C´BP´=30°，
∴∠ABC´=90°，
由勾股定理得：22222(3)7AB C B +=+='，
∴7，
则点P 7．
本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造三角形解决问题，属于中考压轴题．
29.如图，已知菱形ABCD 边长为4，BD 4=，点E 从点A 出发沿着AD 、DC 方向运动，同时点F 从点D 出发以相同的速度沿着DC 、CB 的方向运动．
()1如图1，当点E 在AD 上时，连接BE 、BF ，试探究BE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；()2在()1的前提下，求EF 的最小值和此时BEF 的面积；
()3当点E 运动到DC 边上时，如图2，连接BE 、DF ，交点为点M ，连接AM ，则AMD ∠大小是否变化？请说明理由．。