2021宁德市2021届高三1月质量检查(数学文)

2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷
文 科 数 学
本试卷共5页，满分150分． 注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}
{
}
2
213,20A x x B x x x =+>=--<，则A
B =
A.(2,1)-
B.(1,2)
C.(1,2)-
D.(1,1)-
2.已知复数1i z ，其中i 是虚数单位，则21
z z
A.1i 2
B.1i 2
C.1i
D.1i
3.已知双曲线2
22
:
14
x
y C b
-
=的焦距为45
A. 8
B. 6
C.2
D. 4
4.设向量,a b 满足15,7a b
a b ，则a b A.4 B.3 C.2 D.1
5.2021年起，福建省高考将实行“3+1+2”新高考。

“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是
A.14
B.1
3 C.12 D.23
6.已知公比为1-的等比数列n a 的前n 项和为n S 等差数列n b 的前n 项和为n T 若有3
4
5
6
10a b b a ，则8
8
S T
A.80
B.40
C.20
D.10 7.若实数,,x y z 满足23log log 2z x
y
，则,,x y z 的大小关系是
A.z x y
B.x y z
C.x z y
D.z y x 8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一 百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各
序框图，则输出
n
A.20
B.30
C.75
D.80 9.将函数
31()sin cos 22
f x x x ωω=
+
的图象向左平移
3
π个单位长度后，
所得的图象与原图象有相同的对称中心，则正实数ω的最小值是
A.1
3 B.2 C.3 D.6 10.某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的表面积为
A.16
B.20
C.16
26 D.20
26
11.已知12,F F 为椭圆:C 2
22
164
x y a 的左、右焦点，椭圆C 上一点P 到上顶点A 和坐标原
点的距离相等，且12PF F 的内切圆半径为1，则椭圆的离心率为
A. B. C. D. 12.已知函数33,0,
(),0,x x x f x a
x x x ⎧-≤⎪
=⎨+>⎪
⎩
下列关于函数(())2y f f x =-的零点个数判断正确的是 A.当0a >时，至少有2个零点 B.当0a >时，至多有9个零点
C.当0a <时，至少有4个零点
D.当0a <时，至多有4个零点
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知函数2()f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为 .
14.若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 .
15.在边长为2的菱形ABCD 中，π3
ABC
，以AC 为折痕将ABC 折起，使点B 到达点B 的位置，且点B 在面ACD 内的正投影为ΔACD 的重心G 则B ACD '-的外接球的球心O
17131223
到点G 的距离为 .
16.若正项数列{}n a 满足11n n a a +-< 则称数列{}n a 为D 型数列 以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:
①22
11n n a a +-= ②
1111n n a a +-= ③121
n n n a a a +=+ ④2
121n n a a +-= 则D 型数列{}n a 的序号为 .
（一）必考题：共60分． 17.(12分)
ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，3c =.
（1）求角C ；
（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围．
18.(12分)
如图，矩形ABCD 平面BCE ，1,2AB BC BE 且2π
3
EBC ，,M N 分别为,AB CE
的中点.
（1）证明：//MN 平面AED ； （2）求几何体A MND 的体积.
19.(12分)
某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量(1,2,3,4,5)i y i 的数据
进行了统计，得到如下数表：
月销售单价i x （元/件） 8 8.5 9 9.5 10 月销售量i y （万件）
11
10
8
6
5
（1）建立y 关于x 的回归直线方程；
（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y
nx y
b x
nx
==-=-∑∑，a y bx =-
参考数据：5
1
352i i i x y ==∑，5
21
407.5i i x ==∑
20. (12分) 已知抛物线2
:2C y px 的焦点为F ，1
(2Q 在抛物线C 上，且32
QF
. （1）求抛物线C 的方程及t 的值；
（2）若过点(0,)M t 的直线l 与C 相交于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且
3AOB
MON
S
S
，求直线l 的方程.
21. (12分)
已知函数2()1(0)x f x ax e a ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）已知0a 且[1,)x ∈+∞，若函数()f x 没有零点，求证：2(1)(()1)ln x f x x x -+≥．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2
θααπ
=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B
中点.
（1）求点P 轨迹的极坐标方程；
（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知1
1212
x
x m
在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ； （2）若,a b 均为正数，且11
a M
b 求2a
b 的取值范围.
宁德市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. B 2. A 3. D 4. C
5. A
6. B
7. A
8. C
9. C 10. D 11. B 12. B
二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．31y x 14．5 15
16．②③④
三、解答题：本大题 共6小题，共70分．
17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）根据余弦定理得
222
222a c b a b c
ac
整理得222a b c ab +-=-，………………………………………………………3分
2221
cos 22
a b c C ab +-∴==-，
(0,)C π∈，
2
3
C π∴=……………………………………………………………………………5分
（2
）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++………………………………………………………………6分
由正弦定理
32sin sin sin 3a b c A B C
，
所以,2sin 2sin b a A B ==，
24sin 2sin a b A B +=+…………………………………………………………8分
4sin 2sin()3A A π
=+-
)6A π
=+………………………………………………………10分
(0,)3
A π
∈，(,)662A πππ∴+∈， 1
sin()(,1)62
A π∴+∈，
2(3,23)a b ，……………………………………………………………11分
所以ABD ∆的周长的取值范围是(23,33)．………………………………12分
解法二：（1）根据正弦定理得
2sin sin 2sin cos A B C B +=……………………………………………………2分 sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+,………3分 2sin cos sin B C B , sin 0B ≠，
1
cos 2
C ∴=-，…………………………………………………………………4分
(0,)C π∈，
2
3
C π∴=……………………………………………………………………………5分
（2）同解法一．
18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几
何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（1）证明：取ED 中点H ，连接,AH NH ……………………………………1分 ∵,N H 分别为,EC ED 的中点，
∴NH 为ECD 的中位线
∴//NH CD 且1
2
NH CD ……………………2分
∵ABCD 为矩形，M 为AB 的中点
∴//NH AM 且NH AM ……………………3分 ∴四边形AMNH 为平行四边形
∴//MN AH ………………………………4分
MN EAD 平面 AH EAD 平面……………………………………………………5分 ∴//MN 平面AED …………………………………………………………………6分 （2）过N 作NF BC 于F ………………………………………………………………7分 ∵平面ABCD 平面EBC ， 平面ABCD 平面EBC BC ， 又NF 平面EBC
∴NF 平面ABCD ……………………………………9分 在CNF 中，
∵2
3EBC π且BE BC
∴6π
ECB
13
2NF CN
…………………………………………………………………10分 11
22
AMD S AM AD
……………………………………………………………11分 1133
32A MND D AMN V V ………………………………………………12分
解法二：（1）取BE 中点G ，连接,MG NG ………………………………………………1分 在ABE 中，MG 为中位线，
∴//MG AE ……………………………………2分
∵MG 平面EAD ，AE 平面EAD
∴//MG 平面EAD ………………………………3分
同理，//GN BC ，∴//GN AD
∵GN 平面EAD ，AD 平面EAD
∴//GN 平面EAD ………………………4分
又MG GN G
∴平面//MNG 平面EAD ……………5分 ∵MN 平面MNG
∴//MN 平面EAD …………………………………………………………………6分 （2）∵平面ABCD 平面EBC ，
平面ABCD 平面EBC BC ， 又AB BC
∴AB 平面EBC
∴AB CN ………………………………………………7分 ∵BE BC 且N 为CE 的中点
∴CN BN …………………………………………8分 ∵CN BN ，CN AB ，AB BN B 则CN 平面ABN
即CN 平面AMN …………………………9分 ∵//CD 平面AMN ，
∴D 到平面AMN 的距离d CN
在CNF 中，
∵2
3
EBC π且2BE BC
∴3d CN
……………………………………………………………………10分 1
1
2
4AMN
S
AM BN ……………………………………………………………11分 ∴113
3
34A MND
D
AMN
V V ……………………………………………12分
19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想等.满分12分.
解：（1）因为1
(88.599.510)95
x =++++=，……………………………………………1分
1(1110865)85
y …………………………………………………………2分
所以2
350598 3.2407559ˆb ．，则8 3.2936.ˆ8a
，……………………4分 于是y 关于x 的回归直线方程为 3.236.ˆ8y x ； ………………………………5分 （2）当7x =时， 3.27
36 4.4ˆ.8
1y
，则14.814.40.40.5y y
，
……………………………………………………7分
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；…………………………………8分 （3）令销售利润为M ，则()()5 3.236.8M x x =--+(511.5)x <<………………………9分 2
3.252.8184x x =-+-……………………………………10分
所以8.25x =时，M 取最大值．………………………………………………………11分 所以该新产品单价定为8.25元公司才能获得最大利润.……………………………12分 20. 本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解
能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解：（1）313||,2222
p QF ，………………………………………………………1分 2=∴p …………………………………………………………………………………2分 抛物线C 的方程为：x y
42=.………………………………………………………3分
将1
(2
Q 代入24y x 得2t ……………………………………………………4分
（2）设),,(),,(2211y x B y x A 00(,),(0,2)N x y M ，
显然直线l 的斜率存在，设直线l ：)0(2≠+=k kx y ，………………………………5分 联立⎩⎨⎧+==2
42kx y x y ，消去y 得04)1(422=+--x k x k ，……………………………………6分
22Δ16(1)160k k ，得2
1
<k 且0≠k ，
2
212214
,)1(4k
x x k k x x =-=+∴，……………………………………………………………7分 ΔΔ3,||3||AOB MON S S AB MN ，
|0|13||102
212-+=-+∴x k x x k ，即||3||021x x x =-，…………………………8分
N 是的中点，2210x
x x +=∴，………………………………………………………9分
22
121212()()43
4
x x x x x x ，整理得2122116)(x x x x =+，………………………10分 222
4(1)64
[]k k k
，解得31,121=-=k k ，………………………………………………11分 ∴直线l 的方程为：2+-=x y 或23
1
+=x y ……………………………………………12分
21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（1）2'()2x x f x ax e ax e =+
(2)x ae x x =+ ………………………………………………………………1分 当0a 时，令'()0f x >得0x >或2x <-；
令'()0f x <得20x -<<．
AB
∴函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，
单调递减区间为(2,0)-．……………………………………………………………3分 当0a 时，令'()0f x >得20x -<<；
令'()0f x <得0x >或2x <-．
∴函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，
单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.………………………………………………5分 综上所述 当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(0,)+∞，单调递减区间为(2,0)-；当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(2,0)-，单调递减区间为(,2)-∞-和(0,)+∞.
（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e 在[1,)无解
则2()x g x x e 与1
y a
在[1,)无交点……………………………………………………6分
2'()(2)x g x x x e ，2()x g x x e 在[1,)上单调递增
min ()g x e ，∴1
e a
则1a e
………………………………………………………………………………………7分
由（1）得()f x 在[1,)上单调递增
()(1)10f x f ae ≥=->……………………………………………………………………8分 要证 2(1)(()1)ln x f x x x -+≥ 即证 22(1)ln x x ax e x x -≥
即证 (1)ln x a x e x -≥
即证 (1)ln 0x a x e x --≥…………………………………………………………………9分
令()(1)ln x
g x a x e x =--
1'()(1)x x g x ae a x e x
=+--
1x ae x x =-
21
x
ax e x -=
()
0f x x
=>
()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分 ()(1)g x g ∴≥0= 所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 解法二：（1）同解法一
（2）函数()f x 在[1,)x ∈+∞时无零点，即210x ax e 在[1,)无解
则2()x g x x e 与1
y a
在[1,)无交点……………………………………………………6分
2'()(2)x g x x x e ，2()x g x x e 在[1,)上单调递增
min
()g x e ，∴
1e a
则1
a
e
………………………………………………………………………………………7分 要证2(1)(()1)ln x f x x x -+≥， 即证22(1)ln x x ax e x x -≥，
即证(1)ln x a x e x -≥，………………………………………………………………………8分
因为11
(1)(1)(1)(1)x x x a x e x e x e x e
-->
-=-≥-， 所以只需证 1ln x x -≥，
即证 1ln 0x x --≥，………………………………………………………………………9分 令 ()1ln g x x x =--
11
'()10x g x x x
-=-=≥，………………………………………………………………10分
()g x ∴在[1,)x ∈+∞时单调递增，………………………………………………………11分 ()(1)0g x g ∴≥=，
所以原不等式成立．…………………………………………………………………………12分 22．选修44-；坐标系与参数方程
本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分． 解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=，………………………1分 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：
22(sin cos )10ρραα-++=(0)2
πα<<，
2
4(sin cos )40αα∆=+->成立，
设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，
所以1212
2(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩，……………………………………………………………3分
所以12
0sin cos 2
ρρραα+==+，…………………………………………………………4分
所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)
π
θ∈．…………………………5分
（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρ
ρ⋅=-⋅=……………6分 |
sin cos |
αα+
|sin cos |αα=+=7分
所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，………………………………8分
又(0,)2πα∈，所以26πα=或526π
α=，……………………………………………………9分
即12πα=或512πα=…………………………………………………………………………10分
解法二：
（1）因为P 为AB 中点，
所以CP AB ⊥于P ，…………………………………………………………………………1分 故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部），………………………………………2分 其所在圆方程为：2
2
111222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，………………………………………………3分
即220x y x y +--=.
从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2π
θ∈．……………………………5分
（2）由（1
）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅=………………6分
|sin cos |αα+
|sin cos |αα=+=7分
令sin cos t αα=+，因为(0,)2
π
α∈
，所以t ∈，
则2
1sin 2t α-=，
所以t =224(1)3t t -⋅=，………………………………………………8分
即424430t t --=，解得232t =（21
2
t =-舍去），
所以21
sin 212t α=-=，
又(0,)2π
α∈，2(0,)απ∈，
所以26πα=或526π
α=，……………………………………………………………………9分
即12πα=或512
πα=．………………………………………………………………………10分
23．选修45-：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，
1
()|1||21|2
f x x x m =+++≥-在R 上恒成立，
∴min 1
()2f x m ≥-，…………………………………………………………………………1分
又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=-+-<<⎨⎪
⎪≥⎪⎩，………………………………………………………………3分
∴min 3
()2
f x =，∴2m ≤，……………………………………………………………………4分
∴m 的最大值2M =．………………………………………………………………………5分
（2）由（1）得2M =，故121
a b ．
0,0a b >>，
123
2011b a b b -∴=-=>--，
3
2
b ∴>或01b <<．……………………………………………………………………6分
故11
2222(1)
11a b b b b b
．……………………………………………7分 当01b <<时，011b <-<，
1
222(1)221a b b b ，
当且仅当1
2(1)
1b b
，即2
1
b 时取“=”；…………………………………8分 当32b >时，112
b ->，
1
122(1)
22(1)
2211
a b b b b b ，
当且仅当1
2(1)1
b b ，即2
1
b
时取“=”．…………………………………9分 所以2a b 的取值范围是(
,22][22,)．………………………………10分。