人教新课标版数学高一-人教A必修一习题 方程的根与函数的零点

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f (x )＝x ＋1x
的零点的个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析： 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，
当x >0时，f (x )>0；
当x <0时，f (x )<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A.
答案： A
2．函数f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为( )
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(1，e) 解析： 法一：因为x >0，所以A 错．又因为f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 在(1,2)，(1，e)上均有f (x )>0，故C 、D 错．
法二：取x ＝1e
∈(0,1)，因为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e －1<0，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为(0,1)．
答案： B
3．函数f (x )＝ln x －(x 2－4x ＋4)的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析： 函数f (x )＝ln x －(x 2－4x ＋4)的零点个数等价于g (x )＝x 2－4x ＋4与φ(x )＝ln x 的交点个数．作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．
g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数φ(x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．
答案： C
4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )
A ．至多有一个
B ．有一个或两个
C ．有且仅有一个
D ．一个也没有
解析： 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1,2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解析： 由于f (－1)＝12－1＝－12
<0，f (0)＝1>0， 故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)；
因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；
h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12
<0，h (1)＝1>0， 故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .
答案： a <c <b
6．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．
解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－6， ∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13
. 答案： －12，－13
7．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)上恰有一个零点，则a 的取值范围是________．
解析： ∵f (x )＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：
①f (0)·f (1)<0或②⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝0，且其解在(0,1)上， 由①得(－1)(2a －2)<0，∴a >1，
由②得1＋8a ＝0，即a ＝－18
， ∴方程－14
x 2－x －1＝0， ∴x 2＋4x ＋4＝0，
即x ＝－2∉(0,1)应舍去，综上得a >1.
答案： a >1
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．求下列函数的零点：
(1)f (x )＝2x ＋b ；
(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3；
(3)f (x )＝log 3(x ＋2)；
(4)f (x )＝2x －2.
解析： (1)令2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，即函数f (x )＝2x ＋b 的零点是x ＝－b 2
. (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，即函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的零点是x 1＝－1，x 2＝3.
(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝log 3(x ＋2)的零点是x ＝－1.
(4)令2x －2＝0，解得x ＝1，即函数f (x )＝2x －2的零点是x ＝1.
9．已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.
(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．
解析： (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，
即4＋12(1－m )>0，可解得m <43
. 由Δ＝0，可解得m ＝43；
由Δ<0，可解得m >43
. 故当m <43
时，函数有两个零点； 当m ＝43
时，函数有一个零点； 当m >43
时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.
能力测评
10．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋
11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
解析： 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x 和函数y ＝1x －1
的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x 和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x
只有一个零点x 0，且x 0>1. 因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0.
答案： B
11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析： ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
答案： 3 0
12．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
解析： 因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12
<0，f (0)＝20－02＝1>0， 而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1，0]内有零点，即方程f (x )＝0在区
间[－1,0]内有解．
13．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .
(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解， 求a 的取值范围．
解析： (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，
∵y ＝f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]
＝－x 2－2x ，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. (2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；
∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x
＝1－(x ＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1).。