安徽省安庆市2020届高三数学上学期期末教学质量监测试题文

安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学（文科）试题
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3}A =，则U C A = A ．{1，2，3，4，5，6}
B ．{1，3}
C ．{2，4，5，6}
D ．∅
2.i 是虚数单位，复数11i
z i
-=
+，则1z += A ．1
B
C
D ．2
3.若两个非零向量,a b r r
满足，2a b +=r r ，2a b -=r r ，1b =r ,则向量a b +r r 与b r 的夹角为
A ．6
π B ．
3
π C.
23
π
D.
56π
4.已知双曲线C ：22221x y a b
-=（0,0a b >>
）的离心率为2，则C 的渐近线方程为
A ．
1
2y x =±
B ．2y x =±
C
．y x =
D
．y =
5.设变量y x ,满足约束条件：240220410x y x y x y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则目标函数3z x y =-的最小值为
A ．6
B ．
32
C ．32
-
D ．1-
6.若235log log log t x y z ===，且2t <-则
A．523
z x y
<<B．532
z y x
<<C．325
y x z
<<D．235
x y z
<<
7.从A、B等5名学生中随机选出2人，则B学生被选中的概率为
A．
1
5
B．
2
5
C．
8
25
D．
9
25
8.下列命题的符号语言中，不是公理的是
A．b
a
b
a//
,⇒
⊥
⊥α
α
B．l
P
l
P
P∈
=
⇒
∈
∈且
且,
,β
α
β
αI
C．,,,
A l
B l A B l
ααα
∈∈∈∈⇒⊂
且D．c
b
c
a
b
a//
//
,
//⇒
9.设函数()()
f x x R
∈满足()(),(2)(),
f x f x f x f x
-=-+=-,则()
y f x
=的图像可能是10.已知数列{}n a的前n项和为n S，12
1,2
a a
==且对于任意*
1,
n n N
>∈满足
=
+
-
+1
1n
n
S
S
)1
(2+
n
S则
A．47
a=B．
16
240
S=C．
10
19
a=
D．20381
S=
11.已知函数()2(cos cos)sin
f x x x x
=+⋅，给出下列四个命题：
①()
f x的最小正周期为π②()
f x的图象关于直线
π
4
x=对称
B
C D
③()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增④()f x 的值域为[2,2]-
⑤()f x 在区间[]2π,2π-上有6个零点 其中所有正确的编号是 A. ②④ B ．①④⑤ C ．③④
D ．②③⑤
12. 已知三棱锥S ABC -SC 的中点O 为三棱锥S ABC -外接球球心，且SC ⊥平
面OAB ，=OA AB ，则球O 的体积为 A . 36π B. 4
3
π
C.
323
π
D. 92
π
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写．．．
在试题卷上无效．．．．．．．。

13.0tan15=
14.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且(3)1f =，则(3)f -=
15.已知点()3,0A ，抛物线2
:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，
与其准线相交于点N ，则|
MN
FM
= 16.若等差数列{}n a 的满足27a =，519a = 且2
12n a a a an bn +++=+L 则ab =
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

答案写在试题卷上无效．．．．．．．．．． 17.（本题满分12分）
在ABC ∆中，设角A B C 、、的对边分别为a b c 、、且sin
sin 2
B C
b a B +=, sin 3sin C B =,
（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）计算sin sin sin A
B C
的值．
18.（本题满分12分）
如图所示，在几何体ABCDE 中，AB AC ⊥，DC ⊥平面ABC ，//BE CD ，
3AB =,2AC BE ==，1
2
CD BE =.
（I ）求多面体ABCDE 的体积；
（II ）设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，
求证：l ∥平面BCDE ．
19.（本题满分12分）
某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：
将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.
（I ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关？
非体育健康A 类学生 体育健康A 类学生
合计 男生 女生
时间/min t
合计
（II ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，.若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率． 附：
2
2
()()()()()n ad bc k a c b d c d a b -=
++++
20.（本题满分12分）
如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2
a x c =-与x 轴交于P 点，
AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过点P 作斜率为1
4
直线l 与椭圆C 相
交于不同的两点M N 、 ， （Ⅰ）求MN ；
（Ⅱ）证明：MFA NFB ∠=∠．
21. （本题满分12分）
设函数()ln f x a x x =+，()x
g x e x =+ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，当2a =时，证明()2ln 24h x <-.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号
22.（本题满分10分）选修4–4坐标系与参数方程
20()P K k ≥
0.05 0.010 0.005 0k
3.841
6.635
7.879
在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t
y =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的
参数方程为2
2x s
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，
（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值．
23.（本题满分10分）选修4–5不等式选讲
设a b c 、、均为正数，
（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++； （Ⅱ）若1ab bc ca ++=
，证明a b c ++≥
安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。

1.解析：U C A ={2，4，5，6} 答案为C 2.解析：1=1i
z i i
-=
-+
，11z i +=-= B 3.解析：由2a b +=，2a b -=平方相减可得0a b ⋅=，()1cos 2a b b a b b θ+⋅=
=+⋅，3
π
θ=
答案为B 4.
解析：由2c e a =
=和222c a b =+可得12b a =，所以12
y x =±答案为A 5.解析：作出可行域，可知3z x y =-经过点1
(,3)2取得最小值，3
32
z x y =-=-答案为C 6.解析：解得1
2,22
t
t x x +==，1
3,33
t t y y +==，1
5,55
t t z z +==，设幂函数1
t y x
+=，
10t +<，单调递减，所以532z y x <<答案为B
7.解析：5名学生中随机选出2人有10种，B 学生被选中有4种，42
105
P == 答案为B 8.解析：A 不是公理，答案为A
9.解析：()(),(2)(),f x f x f x f x -=-+=-可知函数()()f x x R ∈为奇函数，周期为4， 对照图形可知符合要求的为D ，答案为D
10.解析：当2n ≥时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+ 所以数列{}n a 的从第2项起为等差数列，1
22
n a n ⎧=⎨
-⎩12n n =≥所以，46a =，1018a = 21()(1)
(1)12
n n a a n S a n n +-=+
=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=
答案为D
11.解析：()2(|cos |cos )sin 2|cos |sin sin 2f x x x x x x x =+⋅=+
函数π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π03f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
∴π4π33f f ⎛⎫⎛⎫
≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误．
由于3π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，5π04f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，∴
3π5π44f f ⎛⎫⎛⎫
-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故()f x 的图象不关于直线π4x =对
称，故排除②．
在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，ππ2,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，()2|cos |sin sin 22sin 2f x x x x x =+=，单调递增，故③
正确．
当cos 0x ≥时，()2|cos |sin sin 22sin cos sin 22sin 2f x x x x x x x x =+=+=， 故它的最大值为2，最小值为2-；当cos 0x <时， ()2|cos |sin sin 22sin cos sin 20f x x x x x x x =+=-+=，
综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确．
当cos 0x ≤时，()0f x =，在区间[]2π,2π-上有无数个零点，故⑤错误. 答案为C ．
12.解析：OAB ∆为等边三角形，边长为球的半径R ，
201111432sin 603332OAB OAB V S OC S OS R R ∆∆=⋅+⋅=⨯⨯⋅=,解得2R =球的体积为
3432
33V R ππ==答案为C
二、填空题：共4小题，每小题5分共20分。

13.
解
析
：
000003
1tan 45tan 3033313tan15tan(4530)231tan 45tan 3033331
1-
---=-=====-++++
答案为 23-
14.解析：()()f x x f x x --=+所以()()2f x f x x -=+，(3)(3)237f f -=+⨯=答案为 7
15.解析：焦点为(0,1)F ,过点M 作准线的垂线MH ， 则FM MH =
所以
22
111310sin sin 1
MN MN
FA FM HM HNM MAO FO +======∠∠
答案为 10
16.解析：13,4a d ==，2(1)
3422
n n n S n n n -=+⨯=+可知2,1a b ==所以2ab =答案为2
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.解析：（Ⅰ）由三角形内角和定理可得
22
B C A
π+-= 此时sin sin 2B C b a B +=变形可得
sin()sin 22
A b a
B π-= 由诱导公式可得sin()cos 222
A A π-=
所以cos
sin 2
A
b a B =…………… ……………… 2分 由正弦定理2sin ,2sin a R A b R B ==可得sin cos
sin sin 2
A
B A B = 即cos
sin 2
A
A =…………… ……………… 4分 由二倍角公式可得sin 2s cos 22A A A in =，
所以1
s 22
A in = 因为0A π<<解得3
A π=
………… ………………6分
（Ⅱ）因为sin 3sin C B =
由正弦定理可得3c b =………… ………………7分 由余弦定理得
2222cos a b c b A =+-2221117
=()2,3329
c c c c c +-⋅⋅⋅=
故
7
.a c =…………………………9分 由正弦定理得
2
2
2
7sin sin 1143
9··.1sin sin sin sin sin sin 333·3c
A A a
B
C A B C A bc c c =====
…………12分
18.证明：(I) 过点A 作BC 的垂线AF 角BC 于点F , 则AF BC ⊥………… ………………1分 又因为DC ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC 所以AF CD ⊥
CD BC C =I
所以AF ⊥平面BCDE ………… ………………3分 由 AB AC ⊥，3AB =,2AC BE ==，1
12
CD BE =
=. 2213BC AC AB =+=,11
22
ABC S AB AC BC AF ∆=
⋅=⋅ 解得13AB AC AF BC ⋅=
=，………… ………………5分
()313
22
BCDE CD BE BC S +=
=
四棱锥ABCDE 的体积113
33BCDE V S AF =
⋅==………………6分
（II ）因为CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC
所以//CD BE ，………………7分
又因为CD ⊄平面ABE ，BE ⊂平面
ABE ， 所以//CD 平面ABE ………………9分
l =平面ABE I 平面ACD ，则//CD l ………………10分 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE 所以//l 平面BCDE ………………12分
19.解析： (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,体育健康A 类学生有25人,从而
22⨯列联表如下:
2分
由22⨯列联表中数据代入公式计算,得:
55452575)15451030(100))()()(()(222
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=b a d c d b c a bc ad n k 841.3030.333
100
<==
………………5分
所以,没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关.………………………………6分 （II ）由频率分布直方图可知，体育健康A +
类学生为5人，记123a a a ， ，表示男生，
12b b ，表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
12132311{(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b Ω=12212231,(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b 3212(,),(,)}a b b b ．
Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现时等可能的． (8)
分 用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则
11122122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A a b a b a b a b a b a b b b =共计7种
………………………………10分
∴7
()10
P A =
………………………………12分 20. 解析：（Ⅰ）∵8AB =, ∴4a =，又∵2PA AF =， ∴12
e =
∴2c =, 222
12b a c =-=
∴椭圆的标准方程为
22
11612
x y +=，………………………………2分
点P 的坐标为(8,0)-，点F 的坐标为(2,0)-
直线l 的方程为1
(8)4
y x =
+即48x y =- 联立224811612
x y x
y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得2
1348360y y -+=设1122(,)(,)M x y N x y 则124813y y +=，1236
13
y y =………………………………4分
MN ===
13==………………………………6分
（Ⅱ）证明：
12121221121212121212(46)+4686(+)=224646(46)(46)(46)(46)
MF NF y y y y y y y y y y y y k k x x y y y y y y ---+=
+=+=++------（）………………………………9分
,而1212364831241224122412
86(+)86860131313131313y y y y ⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯-⨯=-=
………………………………11分
∴0MF NF k k +=，从而MFA NFB ∠=∠得证. ………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）()ln f x a x x =+，0x >
'()1a x a
f x x x
+=
+=
………………………………2分 当0a ≥时，'()0x a
f x x +=> 函数()ln f x a x x =+在(0,)+∞上单调递增，
………………………………3分
当0a <时，令'()0x a
f x x
+=
=解得x a =-
令'()0x a
f x x +=
>解得x a >- 令'()0x a
f x x
+=<解得0x a <<-
所以函数()ln f x a x x =+在(,)a -+∞上单调递增，在(0,)a -上单调递减，
………………………………6分
（Ⅱ）()()()ln x
h x f x g x a x e =-=-当2a =时()2ln x
h x x e =-
'2()x h x e x =
-，令'2()x y h x e x ==-，则'22
0x y e x
=--< 所以'2
()x h x e x =-在(0,)+∞上单调递减.
取121,12
x x ==，则1
''211()()402h x h e ==->，''
2()(1)20h x h e ==-<
所以函数'2()x h x e x =
-存在唯一的零点01
(,1)2x ∈………………………………8分 即0'
00
2
()0x h x e x =
-= 所以当0(0,)x x ∈，'2()0x h x e x =
->，当0(,)x x ∈+∞，'2
()0x h x e x
=-<， 故函数()h x 在0(0,)x 单调递增，在0(,)x +∞单调递减，
所以当0x x =时，函数()h x 取得极大值，也是最大值0
00()2ln x h x x e
=-
………………………………10分
由
0020x e x -=可得002x e x =，00
2ln ln x
e x =即00ln 2ln x x =- 所以00ln ln 2x x =- 故0
000000
21
()2ln 2(ln 2)2ln 22()x h x x e
x x x x =-=--
=-+
由基本不等式可得0012x x +
≥=，因为01
(,1)2x ∈
所以00
1
2x x +
>
所以000
1
()2ln 22()2ln 24h x x x =-+
<- 又因为0()()h x h x ≤ 即()2ln 24h x <-
所以当2a =时，()2ln 24h x <-成立.………………………………12分
22. 解析：（Ⅰ）由8x t =-+可得8t x =+，所以即280x y -+= 所以直线l 直角坐标方程为280x y -+=.………………………………2分 由22x s =可得22x s =
，所以22)842
x
y x ==⨯= 所以曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =………………………………5分
（Ⅱ）设点(,)P x y ，
则
2
2x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
则
5d =
=
≥
=
………………………………9分
当s =
4,4x y ==所以点P 到直线l
………………………………10分
23.证明：（Ⅰ）因为a b c 、、均为正数，由重要不等式可得
222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥………………………………3分
以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++≥++ 即222a b c ab bc ca ++≥++得证.………………………………5分
（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=由（Ⅰ）可知222
1a b c ++≥………………………………6分
故
2222222()2222()123a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=+++++=+++++≥+=
所以a b c ++≥得证.………………………………………………10分
822
t
x y +==。