同济大学概率论与数理统计
同济大学概率论与数理统计第一、第二章
A B A B A A B B
•
例8 设Ai={第i个电子元件正常工作}， i=1,2,…n.用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件Ｂ。 • 串联系统： Ｂ＝A1∩A2∩┅∩An
1 2 3 n
• 并联系统： Ｂ＝A1∪A2∪┅∪An
• 1. 从n个元素中任取k个，有
n n 1 n 2 n k 1 n! C k k 1 2 1 k ! n k !
k n
种不同的结果； • 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
概率论简明教程
什么是概率？
• 例1. 盒中装有20件产品，其中有5件次品， 不放回地一件一件抽取，问：第十次取出 最后一个次品的概率是多少？
• 例2，在半圆区域0≤y≤ 2ax x 内随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角 4 不超过 /的可能性。
2
• 概率的思想在日常生活中的体现
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件. Ω包含所有样本点，因此每次试验中必定有Ω中的 一个样本点出现，故Ω是必然事件；而另一方面Ω 是Ω的子集； • 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. φ中不包含任何样本点，因此是不可能事件； φ也是Ω的子集。 • 为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事 件，作为两个极端情况。
例7 抛二枚均匀硬币， Ω={正正，正反，反正， 反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 • A与B的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反}.
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计同济大学第1章
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.1.13 设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6,P A P B ==试在下列两种情况中分别求出()P A B 与()P A B .(1) 事件,A B 互不相容;(2)事件,A B 有包含关系.1.14 一个盒子中装有10只晶体管,其中有3只是不合格品.现在作不放回抽样：接连取2次,每次随机地取1只.试求下列事件的概率.(1)2只都是合格品;(2)1只是合格品,1只是不合格品;(3)至少有1只是合格品.1.15 某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.1.16 设,A B 是两个相互独立的事件,已知()0.3,P A =()0.65P A B = .试求()P B .1.18 设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的.1.19 把一枚硬币独立的掷两次.事件i A 表示“掷第i 次时出现正面”,1,2i =;事件3A 表示“正、反面各出现一次”.试证,123,,A A A 两两独立,但不相互独立.1.20 有2n 个元件,每个元件的可靠度都是p .试求下列两个系统的可靠度.假定每个元件是否正常工作是相互独立的.(1)每n 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并联;(2)每两个元件并联成一个子系统,再把这n 个子系统串联.次命中的概率;(2)至少有4次命中的概率;(3)至多有4次命中的概率.1.24 某厂生产的钢琴中有70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80％可以出厂,20％被定为不合格品不能出厂.现该厂生产了(2)n 架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求：(1)任意一架钢琴能出厂的概率;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率;(3)全部钢琴都能出厂的概率.1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4,1/3,5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2,1/4,1/5,试求：(1)从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率;(2)从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,此人属于乙班的概率. 1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中1弹的概率.1.27 已知甲袋中装有a只红球,b只白球;乙袋中装有c只红球,d只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.1.30 一个盒子装有6只乒乓球,其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.(1)试求第二次取出的球全是新球的概率;(2)已知第二次取出的球全是新球,试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率.。
同济大学版概率论与数理统计修改版答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
同济大学版概率论和数理统计_修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A {抽到的三个产品全是合格品}2A {抽到的三个产品全是废品}（B ）1B {抽到的三个产品全是合格品} 2B {抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C {抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C {抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D {抽到的三个产品中有2个合格品} 2D {抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B 不等价的是[ C ]（A ）A AB （B ）()A B B（C ）A B（D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B 表示 [ C]（A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x Bx x ，则AB表示 [ A]（A ）{|01}xx （B ）{|01}x x（C ）{|12}x x（D ）{|0}{|1}x xx x 7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为[ A]（A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）CAB CB A BCA ；（D ）A BC .8、设随机事件,A B 满足()0P AB ，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件(B),A B 互不相容(C)AB 一定为不可能事件(D)AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB，则称A 与B互不相容或互斥。
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率论与数理统计_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在正态总体中，样本均值是总体均值的极大似然估计量。
答案:正确2.样本方差是总体方差的矩估计。
答案:错误3.样本均值是总体均值的矩估计。
答案:正确4.设X是一个随机变量，称X的概率分布为总体分布。
答案:正确5.【图片】（结果保留三位小数）答案:0.1906.在问题1中，自由度是。
答案:17.X~Poisson(3), Y~Poisson(2), X与Y相互独立 , 则X+Y服从的分布为：答案:Poisson(5)8.（1）设两个离散型随机变量【图片】独立同分布，都仅取-1和1两个取值，且【图片】,则下列成立的是：答案:9.【图片】是某一连续型随机变量的概率密度函数的充要条件是【图片】.答案:错误10.从5双不同的鞋子当中任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是________.(结果请用保留三位小数表示)答案:0.61911.若连续型随机变量的概率密度函数连续，则【图片】.答案:正确12.设【图片】的联合概率函数为【图片】,则概率值【图片】=___________.答案:113.【图片】当【图片】=______时，【图片】与【图片】相互独立？（结果请用小数表示）答案:0.514.两名水平相当的棋手弈棋三盘，设【图片】表示某名棋手获胜的盘数，【图片】表示他输赢盘数之差的绝对值.假定没有和棋，且每盘结果是相互独立的.则【图片】与【图片】的联合概率函数为：【图片】答案:正确15.某地有3000个人参加了人寿保险,每人交纳保险金10元,一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元,假定该地一年内人口死亡率为0.1％,且死亡是相互独立的.则保险公司一年内赢利不少于1万元的概率为______.（结果请保留四位小数）答案:0.999716.已知某商店每周销售的电视机台数【图片】服从参数为6的泊松分布.那么周初至少应该进货_____台，才能保证该周不脱销的概率不小于0.99.假定上周没有库存，且本周不再进货.答案:1217.某系统由4个电子元件构成,各个元件是否正常工作是相互独立的,该种产品的使用寿命达到1000小时以上的概率为0.3,求4个电子元件在使用了1000小时以后最多只有一个损坏的概率为__________.(结果请保留四位小数) 答案:0.083718.某人投篮命中率为40%，假定各次投篮是否命中相互独立.设【图片】表示他首次投中时累计已投篮的次数，则【图片】取值为奇数的概率是_______.(结果请用小数表示)答案:0.62519.【图片】（结果请用小数表示）答案:0.420.把一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中随机抽取一个，它有【图片】个面涂有红色，那么【图片】的值为__________.(结果请保留三位小数)答案:0.10421.已知某个国家在飞行中失联的轻型飞机中有80%会被找到.在这些被找到的飞机中有60%的装有紧急定位仪,而没有找到的飞机中有90%未装紧急定位仪.假定,该国现有一架轻型飞机失联了,若它未装紧急定位仪,那么它会被找到的概率是_______.(结果请用小数表示)0.6422.某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4、1/3、5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2、1/4、1/5,从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,则此人属于乙班的概率为________.（结果请保留三位小数）答案:0.28623.5名篮球运动员独立地投篮,每个运动员投篮的命中率都是80％.他们各投一次,那么至少有4次命中的概率是__________.（结果请保留两位小数）答案:0.7424.（1）矩估计原理在于大数定理.答案:正确25.在置信水平相同的情况下，样本量越多，区间长度越窄.答案:正确26.矩估计利用样本矩替代总体矩，可以利用二阶矩甚至阶矩计算总体的未知参数.正确27.极大似然估计必须知道总体的概率函数或密度函数.答案:正确28.某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,那么他发现全是不合格品的概率为____________.(结果请保留五位小数)答案:0.0000229.甲、乙两人各自独立作同种试验,已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6、0.8. 已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下,甲成功但乙未成功的概率是_________.（结果请保留两位小数）答案:0.1330.甲、乙两人各自独立作同种试验,已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6、0.8.那么两人中只有一人试验成功的概率是_________.（结果请用小数表示）答案:0.4431.设两个事件A和B互不相容，已知【图片】,则条件概率【图片】是_______.（结果请用小数表示）答案:0.2532.向平面区域【图片】内等可能的投点，则点落入直线【图片】与【图片】之间的概率为________(结果请保留两位小数).答案:0.4133.在长度为20分钟的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机，长信号持续时间为4分钟，短信号持续时间为2分钟.那么这两个信号互不干扰的概率为__________（结果请用小数表示）.答案:0.72534.在样本量相同的情况下，置信水平越高，区间长度越窄.答案:错误35.为了保证一定的置信水平，又要使得区间的长度不大于某一常数，只有增加样本的容量n，通过掌握更多的信息来实现．答案:正确36.极大似然估计法借助样本观测值，取使得样本观测值达到概率最大时的未知参数取值.答案:正确37.二阶样本中心距是总体方差的无偏估计量.答案:错误38.假设检验依据的原理是“小概率原理”，即发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的.答案:正确39.可以找到一个拒绝域，同时使得在降低第一类错误概率的同时也能降低第二类错误概率。
同济大学概率论与数理统计第五章.ppt
概率函数或边缘分布（律）为
P Y bj
pij
p
，
j
j
1, 2,
i
例2． 一口袋中有 5 个球，4 个白的、1 个 红的。无放回抽样接连摸两次，
记
X
1 0
第一次取到红球 ， 第一次取到白球
1 Y 0
第二次取到红球 第二次取到白球
，试求：（1）
X
与Y 的边缘概率函数；（2） P X Y 。
例 4.设 X 与Y 的联合密度函数为
f
x,
y
2 xy
0
x, yG ，
其余
区域 G 由直线 y x 、 x 2 及 x 轴所围。 2
试求 X 与Y 的边缘密度函数。
定理 2.
设 X ,Y
N
1,
2
,12
,
2 2
,
，
则 X
N 1,12 ， Y
N
2
,
2 2
。
四 随机变量的相互独立性
概率函数。
设随机向量 X,Y 的联合分布为
P X ai ,Y bj pij ， i, j 1, 2, ，
X 的值域为 X a1, a2, ，则 X 的边缘
概率函数为 P X ai pij pi ，
j
i 1, 2, ；
Y 的值域为 Y b1,b2, ，定义Y 的边缘
利用联合概率函数，可求任意随机事件的概率：
P X ,Y D P X ai ,Y bj ai ,bj D
pij
i, j, ai ,bj D
（二） 边缘概率函数
对于二维随机向量 X,Y ，分量 X 或Y
本身是一个（一维）随机变量，它的概
概率论与数理统计同济笔记
概率论与数理统计同济笔记以下是概率论与数理统计的同济大学笔记，供您参考：
1. 概率论的基本概念
样本空间与随机事件
概率的公理化定义与性质
条件概率与独立性
2. 随机变量及其分布
随机变量的定义与性质
离散型随机变量及其分布
连续型随机变量及其分布
随机变量的函数的分布
3. 多维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布
边缘分布与条件分布
随机变量的独立性
多维随机变量的函数的分布
4. 随机变量的数字特征
数学期望与方差
协方差与相关系数
大数定律与中心极限定理
5. 数理统计基础
统计量与抽样分布
点估计与估计量的评价标准
区间估计与假设检验
方差分析与回归分析
6. 概率论在金融中的应用
期望、方差与风险度量
资本资产定价模型（CAPM）与套利定价理论（APT）风险管理与保险精算
期权定价与风险管理
7. 概率论在信息科学中的应用
信息论基础与熵的概念
贝叶斯推断与决策分析
马尔可夫链蒙特卡洛方法（MCMC）在信息科学中的应用数据挖掘与机器学习中的概率论方法
8. 概率论在其他领域的应用
在物理、化学和生物中的概率论应用
在社会科学中的概率论应用
在工程技术和人工智能中的概率论应用。
同济大学概率论与数理统计-复习试卷
同济大学概率论与数理统计 复习试卷1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是( )（A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； (B) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件.2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 .3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足(),()P X a P X b αβ≤=≥=. 记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是( ) (A))(1βα+-=p ； (B) )(1βα+-≥p ；(C) )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p .4、 设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4x x x f ，则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数为=)(y f Y .5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ） ()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =； ()()()0.D D X D Y =6、 设12,,n X X X 相互独立且服从相同的分布，∑====n i i X n X X D X E 1111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得()≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 .7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布，()1,0~1N X .()()2542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时,Y 服从自由度为 的F 分布.8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。
同济大学概率论与数理统计
条件概率也是概率，满足概率的公理化 定义中的三条公理，即
公理1. P（A│B）≥0； 公理2. P（Ω│B）=1； 公理3. P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）
且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。
比如：
1. P A B 1 P A B
2. P A B C P A C P AB C
P(AB)=P(A)P(B)
思考： 相互独立与互不相容有何区别？
上式即等价于
PB A PB，（当P A 0）
它的直观意义是一个事件的发生不影响另一 个事件发生的概率。上式也等价于
P A B P A，（当 p(B)>0）
.
独立性往往蕴涵在事物的内部。
一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张， A={抽到K}，B={抽到红桃}，可以验证事件A,B 是相互独立的.
定理：若下列四对事件 A与B； A与B；A与B；A与B 中有一对相互独立，则另外三对也独立。
例1中我们也可以这样来求：
P AU B 1 P A U B 1 P AB
1 P A P B 1 0.4 0.5 0.8
定义：称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A PB ， PBC PB PC， P AC P A PC ， P ABC P A PB PC
A={取到玻璃球}，B={取到兰色球}
则
P（A）=6/16，P（B）=11/16。
AB={取到兰色玻璃球}，
P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
上述概率可以记为P（A│B） P（A│B）=4/11
事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为{11个兰色球}，n=11
概率论与数理统计课教案(同济大学)
(i) X 是未知参数 的矩估计；
(ii)
S
2 n
是未知参数
2
的矩估计，
Sn 是未知参数
的矩
估计；
注：当 已知时，1
n
n i 1
X
k i
2
是未知参数
2
的矩估计。
下面我们再举一些例子来说明如何使用矩法来估计一个
未知参数。
例8.1 设 ( X1,, X n )是取自总体X的一个样本，X ~ P() 其中 未知， 0。由于 1 E(X ) ，因此 1 的矩估 计为 X 。
估计就是要设法根据样本 ( X1,, X n )构造一个统计量 h( X1,, X n )在我们通过抽样获得样本观测值 (x1,, xn )之后
使用 h(x1,, xn )的值来估计未知参数 的值。称h( X1,, X n ) 为 ˆ 的估计量，记作 ˆ(X1, , Xn) 或ˆ ；称 h(x1, , xn )为 的估计值，记作 ˆ(x1, , xn)或也简记作 ˆ 。在不致引起误
例如，我们可以用样本均值的观测值 x 作为未知的总体
均值E(X)的估计值；用样本的k阶原点矩的观测值
ak
1 n
n i 1
xik
作为未知的总体k阶原点矩 k E( X k ) 的估计值。这种估计
方法称为矩法。这里样本的k阶原点矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
定义8.1 设( X1,, X n )是取自总体X的一个样本，记
[h1(x1,, xn ), h2 (x1,, xn )]
来估计未知参数 的取值范围。当然，这个区间 [h1, h2 ] 应该
是参数空间 Θ 的一个子集。
§8.2 两种常用点估计
同济大学版概率论与数理统计——修改版答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
（B）{x | 0 x 1}
（C）{x |1 x 2}
（D）{x | x 0}{x |1 x }
7．在事件 A ， B ， C 中， A 和 B 至少有一个发生而 C 不发生的事件可表示为
[ A]
（A） AC BC ；
（B） ABC ；
（C） ABC ABC ABC ；
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P(A) 2%, P(B) 3%, P(C) 5%, P(D) 3% 加工出的成品率P(ABCD) P(A)P(B)P(C)P(D) 0.98*0.97*0.95*0.97 0.876 次品率1－P( ABC D)＝0.124
3．袋中人民币五元的 2 张，二元的 3 张和一元的 5 张，从中任取 5 张，求它们之和大于 12 元的 概率。
解： 9 /16 3P( A) 3P2( A) ( A, B,C两两独立，且ABC=)
P(A) 1/ 4 (3/ 4舍）
5．设 P( A) P(B) P(C) 1 ， P(AB) 0 , P( AC) P(BC) 1 ，则 A、B、C 全不发生的概
4
8
率为
1/2
D2 {抽到的三个产品中有 2 个废品}
[ C]
（A） A AB
（B） ( A B) B
（C） A B
（D） A B
4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则 A B 表示
（A）二人都没射中 （C）二人没有都射着
（B）二人都射中 （D）至少一个射中
[ C]
5．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件 A 为.
0 P( A) 1, P(B) 0, P(B | A) P(B | A) P(AB) P(BA) P(B) P( AB)
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例 9．把 n 个球放进 N 个盒子，假定每只球 落入各个盒子是等可能的。试求有球的盒子 数 X 的数学期望。
例 10．某百货公司每年顾客对某种型号电视 机的需求量是一个随机变量 X ， X 服从集
合1001,1002, , 2000上的离散型均匀分布。
假定每出售一台电视机可获利 300 元；如果 年终库存积压，那么每台电视机带来的亏损 为 100 元。试问，年初公司应进货多少才能 使年终带来的平均利润最征
主要内容
• 数学期望 • 方差与标准差 • 协方差和相关系数
• 两个不等式 • 中心极限定理
一、数学期望（均值）
• 期望定义 • 常见分布的期望 • 随机变量函数的期望 • 期望的性质
• 引例：
• 某校有3个学生英语考试成绩分别为85、 70、70，求平均成绩。
1
22
（2）
E
g
X
g
x
f
x dx
（3） E g X ,Y
g ai ,bj pij
ij
（4）E
g
X ,Y
g
x,
y
f
x,
y dxdy
• 例3．试分别求下列分布的 E X 2
X ~ P
X ~ Ra,b X ~ E
X ~ N , 2
E X 2 2
E X 2 a2 ab b2 3
（1） Dc 0 ；反之，如果某个随机变量 X 的方 差为 0，那么， P X c 1，其中 c EX ；
x
dx
；
EY
yf x, y dxdy
yfY
y
dy
。
重新计算例5中两个分量的期望。
引进退化分布：把常数 c 看作概率函数为
P X c 1的随机变量 X ，并称 X 服从
参数为 c 的退化分布。
定理 2 设 k 、 l 、 c 都是常数。
（1） E c c ； （2） EkX c kE X c ； （3） EkX lY kE X lE Y ； （4）当 X 与Y 相互独立时， E XY E X E Y 。
E( XY ) xy f x, ydxdy
2
dx
x 2
2x2
y2dy
8
0
0
9
记 X g X,Y （或Y g x, y ）则
EX
ai pij ai pi ；
ij
i
EY
bj pij bj p j
或
ij
j
EX
xf x, y dxdy
xf X
• 例6．证明二项分布的数学期望
X ~ Bn, p: EX np
• 证: • ∵ X X1 X2 Xn
X i ~ B1, p,
E( Xi ) p, i 1, 2, , n
• ∴ EX EX1 EX2 EXn
•
np
例7. 设X，Y相互独立，X~参数为2的指数分 布， Y~参数为3的指数分布， 求E（2X+3Y），E（XY）。
E X 2
2
2
E X 2 2 2
例 4．设 X 与Y 的联合概率函数为
XY 1 0 2
-1 1 0 1
6
6
0 0 11
66
1 1 10
66
求 Z 3X 2Y ，T XY 的期望。
例 5．设 X 与Y 的联合密度函数为，
f
x,
y
2 xy 0
0 2y x 2 其余
试求 E XY ， E X ， E Y 。
一般地，有
EkX lY b kE X lEY b
性质（3),（4）可以推广到任意有限个随机 变量上去。
（1）设随机变量 X X1 X 2 X，n 则
EX EX1 EX2 EXn
（2）设随机变量 Y k1X1 k2 X 2 kn X n c , 则
E Y k1E X1 k2E X2 knE Xn c
i
定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度
函数为
f
x
，当积分
xf
x dx
绝对收敛
时，称
xf
x dx
为随机变量
X
的数学期
望。即 EX xf x dx 。
常见分布的期望
1．0-1 分布 B1, p： EX p
2．二项分布 Bn, p ： EX np
3．泊松分布 ： EX 4．均匀分布 Ra,b ： EX a b
2
5．指数分布 E ： EX 1
6．正态分布 N , 2 ： EX
• 例1. 设随机变量X~B（5，p），已知
E（X）=1.6，求参数p.
P=0.32
• 例2.设随机变量 X ~ P ，已知
pX 1 1 pX 2, 求EX
2
E(X)=4
随机变量函数的期望
定理 1 （1） E g X g ai pi ； i
x
85 70 3
3
i 1
ai pi
75
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布为
P X ai pi ， i 1, 2, 。当级数 ai pi
i
绝对收敛时，称 ai pi 为随机变量 X 的数
i
学期望（或均值），记作 E X 。也称为 X 所
服从的分布的期望。即 E X ai pi 。
二、方差与标准差
• 定义 • 常见分布方差 • 性质
定义
定义 3 设 X 是一个随机变量，称
D X E X E X 2 为 X 的方差；
称 D X 为 X 的标准差。
注：（1）方差本质上是随机变量函数
g X X EX 2 的期望； （2）计算时常用公式 DX EX 2 EX 2 。
常见分布方差
1．0-1 分布 B1, p： DX p1 p
2．二项分布 Bn, p ： DX np1 p
3．泊松分布 ： DX
4．均匀分布 Ra,b ：
b a2
DX
12
5．指数分布 E ：
DX 1
2
6．正态分布 N , 2 ： DX 2
方差性质
定理 3 设 k 与 c 都是常数。
答：E （2X+3Y） =2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6
例8. 设X，Y相互独立，X~R（2，6）， Y~R（-1,3）
求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2). 答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1，
E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3