2022年广东省湛江市中考数学模拟试卷及答案解析

2022年广东省湛江市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2021的相反数是（）
A．2021B．﹣2021C．1
2021D．−
1
2021
2．将“120000000”用科学记数法表示为（）
A．1.2×109B．12×107C．1.2×108D．120×106 3．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．下列运算正确的是（）
A．m+2m＝3m2B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3D．m6÷m2＝m3
5．如图所示物体的俯视图是（）
A．B．
C．D．
6．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）
A．x＜﹣2B．x＜2C．x＞﹣3D．x＜﹣3
7．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于1
2
BC 的长
为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若AD ＝AC ，∠A ＝80°，则∠ACB 的度数为（ ）
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80°
8．在反比例函数y =1−k
x
的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
9．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣2x ＝0
B ．x 2+2x +1＝0
C ．2x 2﹣4x +3＝0
D ．3x 2﹣5x +2＝0
10．函数y ＝|ax 2+bx |的图象，如图所示，下列说法正确的有（ ）个 ①2a +b ＝0 ②a ﹣b ＞0 ③9a +3b ＜0；
④当x ＞2或0＜x ＜1时，该函数y 随x 增大而增大 ⑤5a +3b ＜1
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11．（4分）分解因式：xy ﹣4x ＝ ．
12．（4分）若√x +1有意义，则x 的取值范围是 ．
13．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
14．（4分）已知a+b＝2，ab＝1，ab﹣a﹣b的值为．
15．（4分）方程1
x+1=
3
x+2
的解是．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为cm2．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝2，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：−12021+2sin45°+(√3−1)0−2−1．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．
20．（6分）先化简，再求值：x
x−1−
x2−6x+9
x2−1
÷
x−3
x+1
，其中x=√2+1．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；
C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
22．（8分）某汽车专卖店销售A，B两种型号的无人驾驶出租车，上周售出2辆A型车和1辆B型车，其销售额为62万元；本周已售出3辆A型车和2辆B型车，其销售额为106万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）若某公交集团拟向该店购买A，B两种型号的无人驾驶出租车15辆，现有购买资金310万元，则至少购买A型车多少辆？
23．（8分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tan B=4
3，求⊙O的半径．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，将边长为5的菱形ABCD放置于直角坐标系内，顶点B，C在x轴上，
反比例函数y=−4
x（x＜0）的图象经过点A（﹣1，a），并与线段AB交于点E（b，
4
3
），
反比例函数y=k
x（x＞0）的图象经过点D，AD交y轴于点G．点P是y轴正半轴上的
一个动点，过点P作y轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M，N，
（1）b＝，a＝，k＝．
（2）当CM＝CN时，求P点坐标；
（3）在点P运动过程中，直线AD上是否存在点Q，使以A，E，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
25．（10分）如图12，抛物线y =−
√39
x 2
+
2√3
3
x +3√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ．过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，与BC 交于点E ，连接PD ，与BC 交于点F ．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）求直线BC 的函数表达式；
（2）求出P ，D 两点的纵坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）；
（3）试探究在点P ，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F 为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
2022年广东省湛江市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2021的相反数是（）
A．2021B．﹣2021C．1
2021D．−
1
2021
解：﹣2021的相反数是2021．
故选：A．
2．将“120000000”用科学记数法表示为（）
A．1.2×109B．12×107C．1.2×108D．120×106解：120000000＝1.2×108．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2），
∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限．
故选：D．
4．下列运算正确的是（）
A．m+2m＝3m2B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3D．m6÷m2＝m3
解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．如图所示物体的俯视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：从上面看，是一行3个全等的矩形， 故选：C ．
6．如图，直线y ＝kx +b 交坐标轴于A 、B 两点，则不等式kx +b ＜0的解集是（ ）
A ．x ＜﹣2
B ．x ＜2
C ．x ＞﹣3
D ．x ＜﹣3
解：由图象可以看出，x 轴下方的函数图象所对应自变量的取值为x ＜﹣3， 故不等式kx +b ＜0的解集是x ＜﹣3． 故选：D ．
7．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于1
2BC 的长
为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若AD ＝AC ，∠A ＝80°，则∠ACB 的度数为（ ）
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80°
解：根据作图过程可知： DM 是BC 的垂直平分线， ∴DC ＝DB ， ∴∠B ＝∠DCB ，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，∵AD＝AC，∠A＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD=1
2（180°﹣∠A）＝50°，
∴∠DCB=1
2∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+50°＝75°．∴∠ACB的度数为75°．
故选：C．
8．在反比例函数y=1−k
x的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）
A．﹣1B．1C．2D．3
解：∵反比例函数y=1−k
x图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得k＜1．
故选：A．
9．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣2x＝0B．x2+2x+1＝0C．2x2﹣4x+3＝0D．3x2﹣5x+2＝0解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、Δ＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，故B不符合题意；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，没有实数根，故C符合题意；
D、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
10．函数y＝|ax2+bx|的图象，如图所示，下列说法正确的有（）个
①2a+b＝0
②a﹣b＞0
③9a+3b＜0；
④当x＞2或0＜x＜1时，该函数y随x增大而增大
⑤5a+3b＜1
A．5个B．4个C．3个D．2个解：∵函数y＝|ax2+bx|的图象，与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），
∴对称轴为直线x＝1，
∴−b
2a
=1，
∴2a+b＝0，
∴①正确，
当x＝﹣1时，函数图象在x轴的上方，
∴y＝|a﹣b|＞0，
∴a﹣b＞0或a﹣b＜0，
∴②错误，
当x＝3时，函数图象在x轴的上方，
∴y＝|9a+3b|＞0，
∴③错误，
∵y＝|ax2+bx|的图象的对称轴为x＝1，
根据图象可知，当x＞2或0＜x＜1时，该函数y随x增大而增大，∴④正确，
∵x＝2时，y＝0，
∴4a+2b＝0，
∴5a+3b＝a+b+4a+2b＝a+b，
∵当x＝1时，|a+b|＞1，
∴a+b＞1或a+b＜﹣1，
∴5a+3b＞1或5a+3b＜﹣1
∴⑤错误，
∴正确的有2个，
故选：D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：xy﹣4x＝x（y﹣4）．
解：xy﹣4x＝x（y﹣4）．
故答案为：x（y﹣4）．
12．（4分）若√x+1有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．解：根据题意，得
x+1≥0，
解得，x≥﹣1；
故答案是：x≥﹣1．
13．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
14．（4分）已知a+b＝2，ab＝1，ab﹣a﹣b的值为﹣1．解：∵a+b＝2，ab＝1，
∴ab﹣a﹣b
＝ab﹣（a+b）
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）方程1
x+1=
3
x+2
的解是x=−
1
2．
解：去分母得：x+2＝3（x+1），去括号得：x+2＝3x+3，
解得：x=−1 2，
检验：把x=−1
2代入得：（x+1）（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x=−1 2．
故答案为：x=−1 2．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为3πcm2．
解：正方形ABCD中，
∴∠DCB＝90°，DC＝AB＝6cm．
扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，
∴△BCE是等边三角形，∠ECB＝60°，
∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝30°．
根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE，
S扇形DCE＝π×62×30
360
=3π，
故答案为3π．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝2，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为2√10−2．
解：根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆，
由点F的运动轨迹可知当8、F、D三点共线时，BF的值最小，如图：
∴CD＝DF＝2，
在Rt△ABC中，
BC=√AB2−AC2=√102−82=6，
设BF＝x，则BD＝BF+DF＝x+2，
∴在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，即（x+2）2＝62+22，解得：x1＝﹣2+2√10，x2＝﹣2﹣2√10（舍）．
故BF的最小值为2√10−2．
故答案为：2√10−2．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）计算：−12021+2sin45°+(√3−1)0−2−1．
解：原式＝﹣1+2×√2
2
+1−12
＝﹣1+√2+1−1 2
=√2−12．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠MCB，
∵∠AMB＝∠BCD，∠CBM+∠ACB＝∠AMB，∠ACB+∠ACD＝∠BCD，
∴∠CBM＝∠ACD，
在△ADC和△CMB中，
{∠ACD =∠CBM AC =BC ∠DAC =∠MCB
，
∴△ADC ≌△CMB （ASA ）．
20．（6分）先化简，再求值：x x−1−x 2−6x+9
x 2−1÷x−3x+1，其中x =√2+1．
解：原式=x x−1−(x−3)2(x+1)(x−1)•x+1x−3
=x x−1−x−3x−1
=3x−1，
当x =√2+1时，
原式=√2+1−1 =3√2
=3√22．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情
况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A 组（60≤x ＜70）；B 组（70≤x ＜80）；C 组（80≤x ＜90）；D 组（90≤x ≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C 组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 C 组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A 组的学生有多少人？
解：（1）由图知：B 组有12人，占抽样人数的20%，A 组有6人，D 组有18人， ∴本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C 组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
（2）∵共抽样60人，由于成绩在A 组的6人，在B 组的12人，C 组24人，
所以成绩位于第30、31的两位同学在C 组．
即：所抽取学生成绩的中位数落在C 这一组内；
故答案为：C ．
（3）1500×660=150（人），
答：这次竞赛成绩在A 组的学生有150人．
22．（8分）某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的无人驾驶出租车，上周售出2辆A 型车和1
辆B 型车，其销售额为62万元；本周已售出3辆A 型车和2辆B 型车，其销售额为106万元．
（1）求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少万元？
（2）若某公交集团拟向该店购买A ，B 两种型号的无人驾驶出租车15辆，现有购买资金310万元，则至少购买A 型车多少辆？
解：（1）设每辆A 型车的售价为x 万元，每辆B 型车的售价为y 万元，
依题意得：{2x +y =623x +2y =106
， 解得：{x =18y =26
． 答：每辆A 型车的售价为18万元，每辆B 型车的售价为26万元．
（2）设购买A 型车m 辆，则购买B 型车（15﹣m ）辆，
依题意得：18m +26（15﹣m ）≤310，
解得：m ≥10．
答：至少购买A 型车10辆．
23．（8分）如图，在△ABC 的边BC 上取一点O ，以O 为圆心，OC 为半径画⊙O ，⊙O 与
边AB 相切于点D ，AC ＝AD ，连接OA 交⊙O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若AB ＝10，tan B =43
，求⊙O 的半径．
解：（1）如图，连接OD ，
∵⊙O 与边AB 相切于点D ，
∴OD ⊥AB ，即∠ADO ＝90°，
在△ACO 和△ADO 中，
{AO =AO AC =AD OC =OD
，
∴△ACO ≌△ADO （SSS ），
∴∠ADO ＝∠ACO ＝90°，
∴OD ⊥AB ，
又∵OC 是半径，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）∵tan B =43=AC BC ，
∴设AC ＝4x ，BC ＝3x ，
∵AC 2+BC 2＝AB 2，
∴16x 2+9x 2＝100，
∴x ＝2，
∴BC ＝6，
∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10，
∴BD ＝2，
∵OB 2＝OD 2+BD 2，
∴（6﹣OC ）2＝OC 2+4，
∴OC =83，
故⊙O 的半径为83． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，将边长为5的菱形ABCD 放置于直角坐标系内，顶点B ，C 在x 轴上，
反比例函数y =−4x （x ＜0）的图象经过点A （﹣1，a ），并与线段AB 交于点E （b ，43），反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点D ，AD 交y 轴于点G ．点P 是y 轴正半轴上的一个动点，过点P 作y 轴的垂线，分别交反比例函数图象于点M ，N ，
（1）b ＝ ﹣3 ，a ＝ 4 ，k ＝ 16 ．
（2）当CM ＝CN 时，求P 点坐标；
（3）在点P 运动过程中，直线AD 上是否存在点Q ，使以A ，E ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）反比例函数y =−4x （x ＜0）的图象经过点A （﹣1，a ），点E （b ，43）， ∴a =−4−1=4，43=−4b
， ∴a ＝4，b ＝﹣3，
∴A （﹣1，4），
∵菱形ABCD 的边长为5，
∴AD ＝5，AD ∥BC ，
∴D （x D ，4），
∴x D ＝4，
∴D （4，4），
∴k ＝4×4＝16，
故答案为：﹣3；4；16．
（2）过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为点F ，
由（1）得点D 的坐标为（4，4），且CD ＝5， ∴DF ＝4，由勾股定理得CF ＝3，
∴C （1，0），
设点P 的坐标为（0，m ），
∵MN ∥x 轴，
∴M （−4m ，m ），N （
16m ，m ）， ∴1−−4m =16m −1，
解得：m ＝6，
∴点P 的坐标为（0，6），
（3）存在，理由如下：
∵使以A ，E ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴AE ∥NQ ，AE ＝NQ ，
过N 作NS ⊥AD 于S ，过A 作AR ⊥ER ，
则△AER ≌△NQS （AAS ），
∴AR ＝NS ，
∵N （16m ，m ），
∴|m ﹣4|＝4−43，
∴m =
203或m =43， ∴N （125，203）或（12，43）． 当AE 为对角线时，则AQ ∥EN ，
∴N （12，43）， 综上N 点的坐标为：（125，203）或（12，43
）． 25．（10分）如图12，抛物线y =−√39x 2+2√33x +3√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的
左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ．过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，与BC 交于点E ，连接PD ，与BC 交于点F ．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）求直线BC 的函数表达式；
（2）求出P ，D 两点的纵坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）；
（3）试探究在点P ，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F 为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）在y =−√39x 2+2√33x +3√3中，令y ＝0，得−√39x 2+2√33x +3√3=0，
解得：x 1＝﹣3，x 2＝9，
∴B （9，0），
令x ＝0，得：y ＝3√3，
∴C （0，3√3），
设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，
则{9k +b =0b =3√3
， 解得：{k =−√33b =3√3
，
∴直线BC 的解析式为y =−√33x +3√3；
（2）过P 作PG ⊥x 轴于G ，
∵A （﹣3，0），C （0，3√3），
∴OA ＝3．OC ＝3√3，
∴tan ∠CAO =OC OA =3√33=√3，
∴∠CAO ＝60°，
∵AP ＝t ，
∴PG ＝AP •sin ∠CAO =
√32t ，AG ＝AP •cos ∠CAO =12t ， ∴OG ＝OA ﹣AG ＝3−12t ，
∴P （12t ﹣3，√32
t ）， ∵DQ ⊥x 轴，BQ ＝2t ，
∴OQ ＝OB ﹣BQ ＝9﹣2t ，
把x ＝9﹣2t 代入y =−√39x 2+2√33x +3√3中， 得y =−√39×（9﹣2t ）2+2√33×（9﹣2t ）+3√3=−4√39t 2+8√33t ， ∴D （9﹣2t ，−4√39t 2+8√33
t ）， ∴点P 的纵坐标为√32
t ，点D 的纵坐标为−4√39t 2+8√33t ； （3）存在，t ＝3，F （34，
11√34）． ∵点F 为PD 的中点，
∴F 的横坐标为：12（12t ﹣3+9﹣2t ）=−34t +3，F 的纵坐标为：12（√32t −4√39t 2+8√33t ）=−2√39t 2+19√312t ，
∴F （−34t +3，−2√39t 2+19√312t ），
∵点F 在直线y =−√33x +3√3上，
∴−2√39t 2+19√312t =−√33×（−34t +3）+3√3， 解得，t 1＝t 2＝3，
∴F （34，11√34）．。