测量平差第四章

测量平差
第四章
题目：在直角三角形中，测得三边之长为12.L L 及3L ，若选取直接观测值的平差值为未知数，试列出该图的误差方程式。

解答：
3,2n t ==所以选取两个未知数，分别为：1122
ˆˆˆˆ,L X L X == 则有平差值方程：
11
22
3ˆˆˆˆˆL X L X L ===
误差方程：
1112220
3123ˆˆˆˆv x
l v x
l v x
x
l =-=-=+-
其中
()
()
01110
22233l L X l L X l L =-=-⎛= ⎝
. 题目：在三角形
ABC 中，测得不等精度观测值如下：
1
2
112233512011.3,=1
880821.9,2 =403128.4, P P P βββ====
若选取直接观测的平差值为未知参数，试按照间接平差计算各角的平差值。

解答： 2,3t n ==
设：11=X β ，22
=X β 则平差值方程：
11
22
3=X =X βββ
又： 111
222=+V =+V ββββ 011
10222
ˆX =X ˆX =X x x ++ ∴ 误差方程：
111222
1233
V =x -l V =x -l V =-x -x -l 其中：0111022200312()0
()0(180) 1.6l X l X l X X ββ=--==--=''=---= 即：V=BX-l
100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 001.6l ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 100020002P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
由：V min T PV =
1ˆ()T T x
B PB B Pl -= 1()T T V B B PB B Pl l -=-
代入数据得：0.320.640.64V -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦ ∴ L L V =+ =512010.98880821.26403127.76'''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦
.题目：在直角三角形ABC 中，已知AB=100.000m(无误差)，测得
边长AC 和角度A ，得观测值为1115.470,l m = '''
2295955l ︒=.其中误差设
为1
5l mm σ=±，2
''4l σ=±，试按间接平差法求三角形ABC 的平差值。

解答：
由间接平差法可知：
2,1
2
n t u c ====
列平差值方程得：
11ˆˆ/cos l AB X = 22
ˆˆl X = 可知误差方程式为
221v L x ∧
=-
且110
1
1
cos L l AB
X =- 0221L l X =-
取测角中误差伟单个权中误差
∴21
22
2
120.64l l
P s
mm
σσ==
3
()0
111
2
1
01
sin cos X v AB L X x
∧
=-
0.641P ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
01021sin (cos )1X AB B X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=66.661⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ()12010
211l AB COSX L l X ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
=0.0015620⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 由T bb N B =得：
2844.8756bb N =
由T W B PL =得：
0.067W =
由ˆ0ˆ0bb bb N x
W N x
W -=-=得：
1
52.34210bb x N W ∧
--==⨯ 由V B x l ∧
=-得：
551102.334210V --⎡⎤-⨯=⎢⎥⨯⎣⎦
1'''2115.470295955l m l ∧∧⎡⎤
⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥︒⎣⎦⎢⎥⎣⎦
.
解答:
n=7 ,t=3,u=t.由间接平差得：
4
1111A 02332A 03113B
04224B
005131350061212600723237
ˆv =x +X -h -H ˆv =x +X -h -H ˆv =x +X -h -H ˆv =-x -X -h +H ˆˆv =-x +x -X +X -h ˆˆv =x -x +X -X -h ˆˆv =-x +x -X +X -h
令
0110
24032 5.000 1.359 6.3596.0000.640 5.3605.000 2.0097.009A B A X H h m
X H h m X H h m
=+=+==-=-==+=+=
代入具体数据得：
1123031131425131251300612126120072323723ˆˆˆˆ4ˆˆˆˆˆ7ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ1B v x
v x
v x X h H x v x
v x
x h h h x x v x x X X h x x v x x X X h x
x ===+--=-=-=-+-+-=-+-=-+--=--=-+-+-=-+-，改正数单位（mm ）
可得：
100001100010101110011B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ []l 0 0 4 0 7 1 1 =T
,
令单位权为3km ，则
300
0000030000000 1.500000
00 1.5000000030000000300000002P ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
法方程为：
ˆ0T T B PBx
B Pl -=, 123ˆ -0.4133ˆ-0.1333ˆ 2.6867x
x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
参数平差值为：
123ˆ 6.3586ˆ 5.3599(m) ˆ7.0177X X X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 由ˆV Bx
l =-得： []0.4133 2.6867 4.41330.1333 3.9000 1.28000 1.8200
T V =----()(
)()1
11222333444555666
777ˆ 1.3568ˆ 2.0117ˆ0.3586ˆ0.6401 0.6531ˆ0.9987ˆ 1.6518ˆh h v h h v h h v h m v mm m h v h h v h h v h h ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
未知点高程值：123ˆ 6.3586ˆ 5.3599(m) ˆ7.0177X X X ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎢⎥⎣⎦
解答：
由题意可得：n=4，t=2，则多余观测数r=2
设p 点的坐标：（ˆˆ,Xp Yp ）其中： ˆXp
=0ˆp x Xp +， 0ˆˆp Yp y Yp =+ 1
20304
ˆˆˆˆˆˆ180ˆˆ180AP AB BP BC CP BC DP
BD
L L L L ∂=∂+∂=∂+∂=∂-+∂
=∂-+可以推出：
41112220113011ˆˆarctan ˆˆˆarctan ˆˆˆarctan 180ˆˆˆarctan 180ˆAB p A AB
P A
p B BC P A
p A P A
p A BD P A
Y Y L L v X
X Y Y L L v X
X Y Y L L v X
X Y Y L L v X
X -
-
-
-
-=+=-∂-=+=-∂-=+=-+∂+-=+=-+∂+改正数方程为：
5
00001102020202
002202020202030
2
2
()()
ˆˆ()()()()()()
ˆˆ()()()()()
ˆ()()
P A P A P P AB AP P A P A P A P A P B P B P P BC BP P B P B P A P B P C P C P C Y Y X X v x y L X X Y Y X X Y Y Y Y X X v x y
L X X Y Y X X Y Y Y Y v X X Y Y ρρρρρ''''---=++∂-∂--+--+-''''---=++∂-∂--+--+-''-=-+-000030
2
2
000340202
0202
0020200()
ˆ180()()
()
()
ˆˆ180()()()()()()()()()P C P P BC CP P C P C P D P D P P BD DP P D P D P D P d P A P A P A P B P B X X x y
L X X Y Y Y Y X X v x
y
L X X Y Y X X Y Y Y Y X X Y Y Y Y X X B ρρρρρ''---∂+∂+--+-''''--=
--∂+∂+--+--+-''---+-''---=所以可以得到：
0020200202202000202
020*********()
()()()
()()()()
()()()()()()()()(()()P A P A P A P B P A P B P B P C P C P C P C P C P C P D P D P D P P D P D X X X X Y Y X X X X Y Y Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y X X Y Y ρρρρρρ''⎛- -+- ''- -+-+-
''''--
--+--+-
''''--
- -+-+-
⎝021234100
0)ˆˆ1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1ˆmin ˆ()ˆˆd P P T T T Y x X y L L l L L P v Bx
l v Pv x
B PB B Pl X
X x σσ-⎫
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪-⎭
⎛⎫= ⎪
⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=-⎫⎬
=⎭
==+===
.题目：如图所示的测边网中，A,B 点为已知点，C,D 点为待定点。

已知点坐标为
1234527908.06220044.59236577.03420480.04629402.438S m S m S m S m S m
=====
试按间接平差求C 、D 点坐标平差值及协因数阵。

解答：
由题意知，总双侧数5n =，必要观测数4t =，多余观测数1r n t =-=，
设C 、D 坐标为待定参数 ,,,c c c c
X Y D Y ，记 0000,,,c c c c c c c d d c d
d X x x Y y y D x x Y y y =+=+=+=+ 误差方程式为
111
2
2
2
333444555S S V S S V S S V S S V S S V =+==+==+==+==+=
6
()
0000
,,,i i i i i c c D D c c D D c c D D o o
o o i
i i i
i c c D D c
c D D o o
o o
S S S S S X Y X Y S X Y X Y X Y X Y S S S S V x y x y l X Y X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+++-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
改正数方程为：
0011
0022
33
00
4c c D D D D c V x y S V y S V x y S V x =
+-=
+-=
+-=
+ 400
00
00
4c D
D c
y S V x y x -=
+ 而
1
122334
455
3300000
00c c o
o
D D o o D
D o
o c c o o c
c D
D o o o
o S
S X X S S Y Y S S B X X S S X X S S S S X X X X ⎡⎛⎫
⎛⎫∂∂⎢
⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎝⎭⎝⎭⎢⎛⎫⎛⎫∂∂⎢ ⎪ ⎪⎢ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎛⎫⎛⎫∂∂⎢= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦
12345S S l S S S ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
() 1
0000min ,T T T T T T T V BX l V PB B PV B PBx B Pl V PV x
B PB B Pl X X x L L V
V BX
l -⎫=-⎪→=→=→-=⎬=⎪⎭→=→=+=+=-
1
,T bb bb Q N N B PB -==
计算结果与MATLAB 代码如下：
>>s1=27908.062;s2=20044.592;s3=36577.034;s4=20480.046;s5=29402.438;
>> s=22141.335;
>> cosa1=(s*s+s1*s1-s4*s4)/(2*s*s1); >> sina1=sqrt(1-cosa1^2);
>> cosa2=(s^2+s2^2-s3^2)/(2*s*s2); >> sina2=sqrt(1-cosa2^2); >> xc=s1*cosa1,yc=s1*sina1 xc =
1.9187e+004 yc =
2.0266e+004
>> xd=s2*cosa2,yd=s2*sina2 xd =
-1.0068e+004 yd =
1.7332e+004
>> xb=22141.335;
>> l1=s1-sqrt(xc^2+yc^2)
l1 =
-3.6380e-012
>> l2=s2-sqrt(xd^2+yd^2)
l2 =
>> l3=s3-sqrt((xb-xd)^2+yd^2)
l3 =
7.2760e-012
>> l4=s4-sqrt((xc-xb)^2+yc^2)
l4 =
>> l5=s5-sqrt((xc-xd)^2+(yc-yd)^2) l5 =
0.0182
>> L=[l1,l2,l3,l4,l5]'
L =
-0.0000
0.0000
0.0182
>> scd=sqrt((xc-xd)^2+(yc-yd)^2)
scd =
2.9402e+004
>> b11=-xc/s1;b12=-yc/s1;b13=0;b14=0;
>> b21=0;b22=0;b23=-xd/s2;b24=-yd/s2;
>> b31=0;b32=0;b33=-(xd-xb)/s3;b34=-yd/s3;
>> b41=-(xc-xb)/s4;b42=-yc/s4;b43=0;b44=0;
>> b51=-(xc-xd)/scd;b52=-(yc-yd)/scd;b53=-b51;b54=-b52;
>>
B=[b11,b12,b13,b14;b21,b22,b23,b24;b31,b32,b33,b34;b41,b42,b43,b44;b 51,b52,b53,b54]
B =
-0.6875 -0.7262 0 0
0 0 0.5023 -0.8647
0 0 0.8806 -0.4739
0.1442 -0.9895 0 0
-0.9950 -0.0998 0.9950 0.0998
>> P=eye(5)
P =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
>> X=inv(B'*P*B)*B'*P*L
X =
-0.0058
0.0012
0.0094
0.0084
>> V=B*X-L
V =
0.0031
-0.0026
0.0042
-0.0020
-0.0024
>> Q=inv(B'*P*B)
Q =
1.6907 -0.4211 1.2191 1.1004
-0.4211 0.7678 -0.2545 -0.2297
1.2191 -0.2545 1.5765 1.3282
1.1004 -0.2297 1.3282
2.1444
.解答:
n=6,t=3,u=t. 有间接平差得： 1112
2
3
1
3334
4
2
3
55216
6
2
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆB
C A
h v X H h v X
X h v H X h v X
X h v X X h v X
H +=-+=-+=-+=-+=-+=-
由于000111222333ˆˆˆˆˆˆˆˆˆX X X x X x X X x =+=+=+，，，令 01B 1
02A 6
03
C
3
ˆX H h 3.953 1.100 5.053ˆX H h 5.000 3.4528.452ˆX
H -h 7.6500.2007.450=+=+==+=+===-= 代入具体数据得：
112133342351262ˆ0ˆˆ1ˆ0ˆˆ2ˆˆ5ˆ0v x
v x
x v x
v x x v x x v x
=-=-+-=--=-+=-+-=- 改正数单位（mm ）
可得B ，P 和L 矩阵如下：
100101011011110010B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，100000010000001000000100000010000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，010250l ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
有误差方程系数B 和自由项l 组成法方程ˆ0T T B PBx
B Pl -=得 7
123ˆ3116ˆ142*30ˆ1233x
x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得
123ˆ 3.46ˆ 1.15()ˆ 1.38x x mm x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
计算参数的平差值0ˆˆX
X x =+： 011102220333ˆˆˆ 1.593ˆˆˆ9.602()ˆˆˆ8.83X X x X X x m x X X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 由误差方程计算，求观测量平差值ˆh
h V =+： 1
11222333444555666ˆ 1.09654ˆ 2.39416ˆ0.19862ˆ0.998233.40361ˆ 3.4505ˆh h v h h v h h v h v h h v h h v h ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
.题目：A ，B ，C 是已知点，12,P P 为待定点，网中观测了12个角度和6条边长。

已知测角中误差为''1.5±，边长测量中误差为 2.0±cm,
起算数据及观测值分别列于表中。

试按间接平差法各观测值的平差
值。

解答：
本题n =18,即有18个误差方程，其中有12个角度误差方程和4个
边长误差方程。

必要观测数4t =. 1122ˆˆˆˆˆ.T
X X Y X Y ⎡⎤=⎣
⎦
8
以测角中误差为该边角网的单位权观测值中误差，则测边的权为：
22
22221.50.5625(/).2
S S p cm βσσ===秒
（一）.首先计算待定点的坐标。

利用观测值和已知坐标求出12AP AP 和的近似坐标方位角，具体计算公式为
2
1
3377206'19.87",14624'36.67".AP AB AP AB L L L αααα=+=︒=++=︒进一步可由
坐标增量公式1
1
1
1
0011cos ,sin .A AP AP A AP AP X X S Y Y S αα=+⋅=+⋅求得待定的近似
坐标为：00
12(663.875,2944.099),(5656.928,2475.556)P P ；
（二）.计算坐标方位角改正数方程的系数及近似坐标方位角。

按
"0
"0"0
"0"0202
0202
ˆˆˆˆ()
()
()
()
jk
jk
jk
jk
jk j j k k jk
jk
jk
jk
Y X Y X x
y
x
y
S S S S ρρρρδα∆∆∆∆=
--+计000S X Y ∆∆、、以米为单位，而ˆˆ,x
y 因其数值较小，采用厘米为单位，此时2062.65ρ=。

有关计算见表-1。

表-1
各边近似坐标方位角21221127206'19.89",14624'36.67"
15614'00.69",28215'56.09"22959'30.50",35438'20.84"
AP AP BP CP CP P P αααααα=︒=︒=︒=︒=︒=︒
其它各边的近似坐标方位角可由此推出。

（三）.计算测边的误差方程的系数。

即
00
00
00
0ˆˆˆˆjk jk
jk jk
i j j k k i jk
jk
jk
jk
X Y X Y v x
y
x
y
l S
S
S
S
∆∆∆∆=-
-++- 的系数。

表-2
（四）.确定误差方程。

在计算00()i i jk jh l L αα=--或0
i i jk l L S =-时，是利用
近似坐标求出每个边的近似坐标方位角和近似边长。

从而可确定l的系数。

进一步可得出误差方程的系数项，见表-3。

表-3
可得法方程为
1122ˆ1.4270
0.08610.86080.0229 2.7469ˆ0.0861 1.04590.33630.1437 6.16200ˆ0.86080.3363 4.31740.28668.9415ˆ0.02290.14370.2866 3.4194 1.2148x y x
y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（五）.平差值计算与精度评定。

由法方程可解出参数改正数为：
11122ˆ 3.52970.7970ˆ 6.80650.01370.9888,ˆ 3.36470.15830.07750.2709ˆ0.89970.00740.04810.02490.2965bb x
y N x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣
⎦对称 由上式可解出ˆx
，再根据ˆV Bx l =-得各个改正数为 V=[ 1.46 -1.21 2.47 0.84 -2.99 0.96 0.62 -0.03 -0.67 -2.09 2.75 3.14 -1.99 -9.38 -9.53 -3.22 -0.82 -0.84]T
至此可求出观测值的平差值。

4.1622
单位权中误差
0ˆ 3.2967
σ==，12,P P 的纵横坐标的协因数和点位中误差分别为11
11
2
22
ˆˆˆˆˆˆˆˆ20.7970,0.9888,0.2709,0.2965X X Y Y X X Y Y Q Q Q Q ====
1
2
ˆ 4.1622(cm)
ˆ 2.4833(cm)
P P σσσσ====
.解答: 由ˆˆL BX d =+ 000ˆˆ(())0ˆ0,(())L V Bx BX d V Bx L BX d V Bx W W L BX d +=++-+--+=-+-==-+ 根据附有参数的条件平差法方程 1ˆ00T T AP A K Bx W B K -+-== 此时,A E W l =-=代入上式
1ˆ0P K Bx
l -+-= （1） 0T B K = （2）
(1)T B P ⨯得：
1ˆ0ˆ0T T T T T T B PP K B PBx
B Pl B K B PBx B Pl -+-=+-=
由于0T B K =
则 ˆ0T T B PBx
B Pl -= 故得证。

9。