非正弦信号的有效带宽与能量截断误差分析

比 τ ／ Ｔ 和上升时间占比 ｔｒ ／ Ｔ 相关；当谐波次数 ｎ 为
Ｔ ／ τ 或 Ｔ ／ ｔｒ 的整数倍时，Ｃｎ ＝ ０（过零频点）．
２ 非正弦信号有效带宽 ０．３５／ ｔｒ 的能量截断 误差与物理内涵
能量截断误差是指有效能量与信号总能量的差 值，有效能量是指有效带宽内各谐波分量的总能量． 根据帕塞瓦尔（Ｐａｒｓｅｒｖａｌ ）定理，梯形波在频域的总 能量等于在时域内一个周期内的平均功率 ＰＴ，即
关键词：非正弦波；傅里叶级数；有效带宽；截断误差 （ ） 中图分类号：Ｏ ４５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２ ２０１８ ０１ ００５９ ０５ 【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１７００９４
物理传感器是将光、声、磁、力等非电量转换为
摘要：提出了一种用有效能量评估有效带宽截断误差的方法．采用梯形波作为信号模型，通过 ｍａｔｌａｂ 计算，分析了非正弦 信号有效带宽 ０．３５／ ｔｒ的能量截断误差和物理含义；阐述了理想矩形信号常用 １／ τ 带宽的不足，提出了其修正公式．结果表明， 有效带宽 ０．３５ ／ ｔｒ的能量截断误差小于 ３％；带宽 １ ／ τ 的能量截断误差高达 １０％，故修正为 ３ ／ τ．信道和示波器的带宽应大于信 号的有效带宽．
电压、电流等电学量的器件，广泛应用于 ＣＣＤ 成像、
汽车测速、心率测量、ＰＡＳＣＯ 实验等领域［１，２］．传感
器的输出信号一般为上升时间不为零的模拟或数字
信号，需经放大、整形、传输、储存等处理或测量，因
此准确确定信号带宽及合理选择信道带宽非常重
要，否则会产生波形失真或误码．非正弦信号带宽常
被错误地按照正弦信号的频率特性，误认是信号的
１ 周期性梯形波频谱分析
在实际电路中，信号电平转换具有一定的上升 和下降时间，为了讨论方便，用梯形波作为非正弦信 号模型．
如图 １ 所示，设梯形波上升时间为 ｔｒ，下降时间
图 １ 理想梯形波信号
为 ｔｆ，半高宽为 τ，重复周期为 Ｔ．为了分析简单，假 设信号幅度为 ，１ ｔｆ ＝ ｔｒ．当 ｔｒ ＝ ｔｆ ＝ ０ 时，梯形波就变
； 收稿日期： 修回日期：
２０１７ － ０３ － ０３
２０１７ － ０５ － １２
基金项目：“大学物理实验”广东省教学团队，广东省研究生教育创新计划项目资助．
作者简介：陈国杰（ — １９６５ ），男，湖南祁东人，佛山科学技术学院理学院教授，博士，主要从事物理电子教学与研究．
６０
大 学 物 理 ２Fra bibliotek０１３８７年卷１第月１ 期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３７ Ｎｏ．１ Ｊａｎ． ２０１８
櫍殻
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櫍殻
櫍物櫍理櫍实櫍验櫍 殻
非正弦信号的有效带宽与能量截断误差分析
陈国杰，陈 奎，成建群，谢嘉宁，陈伟成
（佛山科学技术学院 物理与光电工程学院，广东 佛山 ） ５２８０００
宽 然
产０．生３５截／ ｔｒ断和误１
／τ
差
既然忽略了较多的高频分量，就 ，但至今未见文献分析它们的误
必 差
大小或准确度．本文提出一种用有效能量来评估有
效带宽截断误差的方法，该误差称为能量截断误差； 在此基础上，以梯形波作为信号模型，通过 ｍａｔｌａｂ 计算，分析信号有效带宽 ０．３５ ／ ｔｒ的能量截断误差和 物理含义，阐述理想矩形信号有效带宽 １／ ｔ 存在的 不足，提出其修正公式，最后介绍信道和示波器带宽 的选择原则．这对于准确计算信号的有效带宽，理解 其物理内涵，正确设计放大器等信道带宽，合理选择 示波器等测量仪器带宽，具有实际意义．
和 ，即 ( ) Ｐ０．３５／ ｔｒ
Ｐ ＝ ０．３５ ／ ｔｒ
τ Ｔ
２
ｍ
＋
Ｃ
２ ｎ
ｎ＝１
（４）
相对有效能量 Ｐ０．３５／ ｔｒ ／ ＰＴ 等于有效能量占总能量之
比，即
( ) Ｐ ＝ ０．３５ ／ ｔｒ
τ Ｔ
２
ｍ
＋
Ｃ
２ ｎ
ｎ＝１
ＰＴ
τ － ｔｒ
Ｔ ３Ｔ
（５）
相对能量截断误差为（ ） １－ Ｐ ／ ０．３５／ ｔｒ ＰＴ ×１００％．
第 ３７ 卷
为理想矩形波，梯形波与矩形波的高低电平跳变时 刻相同，这样取坐标更符合电路的工作原理．梯形波 一个周期的数学表达式为
ｔ
，

ｔｒ
， １
（） ， ｆ ｔ ＝ τ＋ｔｒ － ｔ

，
０
ｔ
ｒ
ｔｒ
０≤ｔ＜ｔｒ ｔｒ≤ｔ＜τ τ≤ｔ＜τ＋ｔｒ τ＋ｔｒ≤ｔ＜Ｔ
（１）
将梯形波展开为三角函数式傅里叶级数，单边
幅度谱 Ｃｎ为［３］
Ｔ
∫ （） ２
Ｃｎ ＝ Ｔ
ｆ ｔ ｅ－ｊ２πｔ ／ Ｔ ｄｔ ＝
０
， τ
Ｔ
ｎ＝０
( ) ( ) ， ，，… ２Ｔτ
ｓｉｎｃ
ｎτ Ｔ
ｓｉｎｃ
ｎｔｒ Ｔ
ｎ＝１ ２
（２）
由式（２）知，对于周期性梯形波，幅度谱是一系
列离散谱线，谱线间隔为 １ ／ Ｔ，各谐波幅值 Ｃｎ与占空
重复（时钟）频率．其实，信号重复（时钟）频率只决
定其幅度谱的基频和谱线间隔．由傅里叶变换理论
可知，任何周期性非正弦信号均可表示为一系列不
同频率正弦波的叠加［３］，信号带宽是指傅里叶级数
中正弦分量的最高频率（最低频率一般为零）．因此，
理论上非正弦信号带宽为无穷大，但这在工程上无
实际意义，物理上也无法实现．所以，可以忽略傅里
∫ （） ∫ ∫ ＰＴ ＝
Ｔ
１ ｆ２ Ｔ
０
ｔ
ｄｔ ＝
１ ｔｒ ｔ２
τ
Ｔ
０
ｄｔ
ｔ
２ ｒ
＋
１ｄｔ
ｔｒ
＋
∫ ( ) τ＋ｔｒ τ ＋ ｔｒ － ｔ
τ
ｔｒ
ｔｒ
２ ｄｔ

＝
τ Ｔ
－ ｔｒ ３Ｔ
（３）
梯形波 ０．３５／ ｔｒ 带宽的有效能量等于该带宽内 包含的一个周期平均直流分量和 ｍ 次谐波功率之
叶级数中幅度足够小的高频分量，截取有限带宽内
的频率分量，即可获得满意的信号信息，该有限带宽
称为信号的有效带宽．通常，上升时间不为零的非正
弦
１０
信号的有效带宽估算为 ０．３５／ ％ — ９０％ 的 上 升 时 间 ；上 升 时 间
为ｔｒ［３零］，的ｔｒ 为理幅想
度 矩
从 形
信号的有效带宽估算为 １ ／ τ ， ［３］ τ 为波形半高宽．带
根据式（２），用 ｍａｔｌａｂ 画出周期 Ｔ ＝ １ mｓ、半高 宽 τ ＝ ０．５ mｓ 梯形波的幅度谱，如图 ２ 所示．为了比 较谱０．２，线５图Ｔ峰时２点画谱，点了线划两峰线条点为幅，虚该度线幅谱为度，其该谱中幅的“度包ｏ谱”络为的线ｔ包ｒ；＝“络·０”线．０为．５由Ｔｔｒ时图＝ ２幅频４ｆ可０度率＝见谱为４ ，Ｍ衰谱１Ｈ／减线τｚ；快＝基同２，频时ｆ说０ 看＝ｆ明０ 到＝２ｔ１ｒ，Ｍ越／ｔＴｒＨ＝大＝ｚ０，１，．第２谱Ｍ５ＨＴ二线ｚ幅衰，过幅度减零值谱越频比Ｃ快率ｎ第．ｔｒ为＝一０２过．／０τ５零＝Ｔ