专题十一 概率统计-2020年高考数学(理)二轮专项复习

专题11 概率统计
§11－1 概率(一)
【复习要求】
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．
5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．
【例题分析】
例1国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：
求该队员射击一次，
(1)射中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
例2现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个
小组．
(Ⅰ)求A1被选中的概率；
(Ⅱ)求B1和C1不全被选中的概率．
例3一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．
(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；
(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．
例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．
(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，
过时即可离去．则两人能会面的概率是______．
(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为
______．
例5设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．
(Ⅰ)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(Ⅱ)若a是从区间[0，3］任取的一个数，b是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C
都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．
例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．
(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率； (2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．
例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路
口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是，左转行驶的概率是
，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求：
(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；
(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过
路口)．
5
3
5
2
练习11－1
一、选择题
1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( ) A ．频率就是概率
B ．频率是客观存在的，与试验次数无关
C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率
D ．概率是随机的，在试验前不能确定
2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球，都是白球 B ．至少有一个白球，至少有一个红球 C ．恰有一个白球，恰有两个白球 D ．至少有一个白球，都是红球
3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( ) A ．0.16
B ．0.36
C ．0.48
D ．0.64
4．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______． 6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．
7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．
8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球
75
1
75
275
375
4
的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______． 三、解答题
9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰
好落在区域上的概率．
10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程
中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响； (1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率； (2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．
11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求 (1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率； (2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．
⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>-+000
8y x y x
§11－2 概率(二)
【复习要求】
①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．
②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． ④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．
⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【例题分析】
例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3
个球，以X 表示取出球的最大号码，
(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．
例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的
个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．
例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为
． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望； ②若射击6次，求X 的分布列和期望；
(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列； (3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次
数 的分布列．
3
1
例4甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X和Y 的分布列为
计算X和Y的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平．
例5设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；
例6某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B 肯定是受A感染的．对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是1/3．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．
例7 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投篮3次；在A 处投篮
每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率q 2，该同学选择在A 处投一球，以后都在B 处投．用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
(1)求q 2的值；(2)求随机变ξ量的数学期望E ξ；
(3)试比较该同学都选择在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
练习11－2
一、选择题
1．某试验成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述一次试验成功的次数，则P (X ＝0)等于( ) A ．0
B ．
C ．
D ．
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任取一球，直到取出白球为止．设所需取球次数为X ，则X 的可能值为( ) A ．1，2，…，6
B ．1，2，…，7
C ．1，2，…，11
D ．1，2，3，…
3．已知随机变量X 的分布列如下表，且
E (X )＝1.6，则a －b 的值为( )
A ．0.1
B ．0.2
C ．－0.2
D ．－0.4
2
13
13
2
4．设掷一颗骰子所得的点数为随机变量X ，则( ) A ．E (X )＝3.5，D (X )＝3.52
B ．
C ．E (X )＝3.5，
D (X )＝3.5 D ． 二、填空题
5．一批产品有8件正品和4件次品，现从中任取3件，其中次品数X 的分布列如下表，完成下表．
6．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，且E (X )＝2．4，D (X )＝1.44，则p ＝______，n ＝______．
7．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面朝上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面朝上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动四次停止，设停止时青蛙所在数轴上对应点的坐标为X ，则E (X )＝______．
8．已知随机变量X 服从正态分布X ～N (2，σ 2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X ＜0)＝______． 三、解答题
9．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响． (Ⅰ)求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
(Ⅱ)设ξ为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．
10．一个口袋中装有若干个均匀的红球和白球．若从中任取一个球，则取到红球的概率为
；若从中任取两个球，则恰好都是白球的概率为 (Ⅰ)求口袋中红球、白球的个数．
1235)(,5.3)(=
=X D X E 16
35)(,5.3)(=
=X D X E 31⋅5
2
(Ⅱ)从口袋中依次不放回的取球检查，遇到下列情况之一则停止取球：①已经取出全部红球；②取球次数达到4次．用ξ表示停止取球时取到球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．
11．某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为
．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比． (Ⅰ)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；
(Ⅱ)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A)．
§11－3 统 计
【复习要求】
1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法． 2．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．
3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算样本数据平均数、标准差，并给出合理解释．
4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字
特征，理解用样本估计总体的思想．
5．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3
1
【例题分析】
例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组(1－5号，6－10号，…，196－200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______人．
例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计电子元件寿命在[100，400)以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率．
例3 (海南)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________；
②_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________．
例4图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A m(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是______．
图1 图2
例5甲乙两位运动员在相同的条件下分别射击10次，记录各次命中环数如下：
甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7
(1)分别计算他们射击环数的平均数及标准差；
(2)判断他们设计水平谁高，谁的射击情况更稳定?
例6 假定关于某设备的使用年限x 和所支出费用y (万元)，有如下的统计资料
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)根据上表数据，用最小二乘法求出线性回归方程； (3)估计使用10年时，维修费用是多少?
练习11－3
一、选择题
1．(08重庆)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( ) A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法
D ．分层抽样法
2．从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，若采用系统抽样法，则抽样间隔为( ) A
．
B ．n
C ．
D ． 3．(08山东)下图是根据《山东统计年整2007》中的资料做成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )
A ．304.6
B ．303.6
C ．302.6
D ．301.6
a x b
y ˆˆ+=n
N
][
n
N 1][
+n
N
4．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A．s3＞s1＞s2B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3D．s2＞s3＞s1
二、填空题
5．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，……800，利用随机数表抽取样本，从第7行第1个数开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是______．
(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)．
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
6．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是____
7．将一组数据中的每一个数据都减去10得到一组新的数据，如果这组新数据的平均数和方差分别为1.2和0.4，那么原来一组数据的平均数和方差分别为______．
8．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为a 1，a 2，…，a n ．则如图所示的程序框图输出的s ＝______，s 表示的样本的数字特征是______． 三、解答题
9．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中； (2)画出频率分布直方图；
(3)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
(4)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有
2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产
能耗y (吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小乘法求出y 关于x 的线性回归方程； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
a bx y
+=ˆ
习题11
一、选择题
1．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2．ABCD 是长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A ．
B ．
C ．
D ． 3．某家庭电话，打进的电话响第一声被接的概率为
，响第二声被接的概率为，响第三声被接的概率为，响第四声被接的概率为，则这个电话响前四声被接的概率为
( ) A ．
B ．
C ．
D ．
4．设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为
，其中A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则事件A 发生的概率为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
5．某地区调查了2—9岁儿童的身高，由此建立的身高y (cm)和年龄x (岁)的回归模型为
，下列叙述正确的是( ) A ．该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm B ．该地区2—9岁的儿童每年身高增长约8.25cm C ．该地区9岁儿童的平均身高为134.38cm
D ．利用这个模型可以准确预算出该地区每个2—9岁儿童的身高
4
1120
794
324
234
π4
π1-
8
π8
π1-
10110
35210
1
2
1
10
910
35
49
1
9
218
13
13
213.6025.8ˆ+=x y
二、填空题
6．已知，若k 为满足的一个随机整数，则△ABC 是一个直角三角形的概率为______．
7．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的
A 专业有380名学生，
B 专业有420名学生，则在该学院的
C 专业应抽取______名学生．
8．采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取1个容量为3的样本，个体a 在第三次被抽到的概率是______．
9．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是
，每次命中与否互相独立．则恰用3发子弹就将油罐引爆的概率为______．油罐被引爆的概率为______．
10．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表
示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ______(结果用最简分数表示)． 三、解答题
11．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据
的茎叶图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．
12．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2、3、4、5；另一个盒子
也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3、4、5、6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一个盒子里取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η ＝x ＋y ，求η 的分布列和数学期望．
)4,2(),1,(==AC k AB 5||≤AB 3
2
13．对某型号1000只灯泡的使用寿命(单位：小时)的统计如下表所示：
(Ⅰ)从这1000个灯泡中任选1只，求该灯泡使用寿命不足1500小时的概率；
(Ⅱ)从这1000个灯泡中任选3只，求至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率．
14．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ．
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；
(3)经技术革新，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％．如
果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?。