高一数学上学期第二次调考试卷(含解析)

2015-2016学年福建省漳州市漳浦三中高一（上）第二次调考数学试
卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1．函数的定义域为（）
A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．[0，1]
2．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣
C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同
3．设全集U是自然数集N，集合A={x|x2＞4，x∈N}，B={0，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．{x|x＞2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N} C．{0，2} D．{1，2}
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．y=﹣log2x B．C．D．
5．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．函数的图象关于（）
A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
7．已知，那么cosα=（）
A． B． C．D．
8．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanα=（）
A． B．C．D．
10．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）
A．B．C．D．
11．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
12．当且仅当，x2＞2x＞log2x．（）
A．3＜x＜4 B．x＞4 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4
二、填空题（每题4分共16分）
13．函数f（x）=x2﹣2x﹣3在[0，3）上的值域为．
14．数y=a x﹣2+1﹙a＞0，且a≠1﹚的图象必经过点．
15．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，则
m= ．
16．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为．
三、解答题（12+12+12+12+12+14=74分）
17．若2a=5b=m，且，求m的值．
18．（1）已知tanα=2，求的值．
（2）已知，求的值．
19．若函数f（x），g（x）分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x．（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求g（0）的值．
20．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
21．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）当m=1时，判断方程根的情况．
（2）若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围．
22．已知直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点．
（1）求证：f（x）=x2﹣|x|+a为偶函数．
（2）求当x≥0时，f（x）的解析式，并作出符合已知条件的函数f（x）图象．
（3）求a的取值范围．
2015-2016学年福建省漳州市漳浦三中高一（上）第二次调考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．函数的定义域为（）
A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．[0，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据二次根式的定义得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：x≥0且x≠1，
故选：A．
【点评】本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题．
2．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．B．﹣
C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同
【考点】终边相同的角；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．
【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），
∴r==5|k|=﹣5k，
∴sinθ==﹣，
cosθ==，
∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣
故选B．
【点评】本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算．
3．设全集U是自然数集N，集合A={x|x2＞4，x∈N}，B={0，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．{x|x＞2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N} C．{0，2} D．{1，2}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】数形结合；定义法；集合．
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），然后根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），
∵A={x|x2＞4，x∈N}={3，4，…}，B={0，2，3}，
∴∁U A={0，1，2}，
即B∩（∁U A）={0，2}
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A．y=﹣log2x B．C．D．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：y=﹣log2x在区间（0，+∞）上为减函数，不满足条件．
在区间（0，+∞）上为增函数，满足条件．
在区间（0，+∞）上为减函数，不满足条件．
的导数f′（x）=2﹣=
由f′（x）=0得x=，
则当x＞时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
即函数在区间（0，+∞）上不是增函数，不满足条件．
故选：B
【点评】本题主要考查函数单调性的判断，根据函数的性质以及利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
5．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，
∴f（1）=f（﹣1）=2•（﹣1）2﹣（﹣1）=2+1=3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．6．函数的图象关于（）
A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．
【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）
∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．
7．已知，那么cosα=（）
A． B． C．D．
【考点】诱导公式的作用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．
【解答】解： sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．
故选C．
【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
8．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式．
【专题】计算题．
【分析】利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．
【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
∵，，
所以log32＞log52＞log72，
所以a＞b＞c，
故选D．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．
9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanα=（）
A． B．C．D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．
【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
则tanα==﹣．
故选A
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排除BCD，问题得以解决．
【解答】解：y=2x﹣x2，
令y=0，
则2x﹣x2=0，
分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，
由图象可知，有3个交点，
∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，
故排除BC，
当x＜﹣1时，y＜0，
故排除D
故选：A．
【点评】本题主要考查了图象的识别和画法，关键是掌握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．
11．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间．
【解答】解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点
在区间（﹣1，0）上，
故选B．
【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．
12．当且仅当，x2＞2x＞log2x．（）
A．3＜x＜4 B．x＞4 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】在同一坐标系中作出这三个函数的图象，根据图象关系即可得出结论．
【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数的图象，如图所示；
（红色为y=x2）
由图象知，当0＜x＜2时，log2x＜x2＜2x成立，
当2＜x＜4时，log2x＜2x＜x2成立，
当x＞4时，log2x＜x2＜2x成立，
所以满足x2＞2x＞log2x的x的取值范围是2＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数与二次函数的图象与性质的应用问题，利用数形结合是解答本题的关键．
二、填空题（每题4分共16分）
13．函数f（x）=x2﹣2x﹣3在[0，3）上的值域为[﹣4，0）．
【考点】函数的值域；二次函数的性质．
【专题】数形结合；配方法；函数的性质及应用．
【分析】先对函数式配方f（x）=（x﹣1）2﹣4，再根据二次函数的图象和性质得出f（x）的值域．
【解答】解：f（x）=（x﹣1）2﹣4，
该函数的图象为抛物线，开口向上，
且图象关于直线x=1轴对称，
当x∈[0，3）时，
f（x）min=f（1）=﹣4，
f（x）max=f（3）=0，（由于x＜3，故此处不取“=”），
所以，函数的值域为：[﹣4，0），
故答案为：[﹣4，0）．
【点评】本题主要考查了函数值域的解法，涉及二次函数的图象和性质，考查了配方法与数形结合的解题思想，属于基础题．
14．数y=a x﹣2+1﹙a＞0，且a≠1﹚的图象必经过点（2，2）．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据指数函数过定点的性质即可得到结论．
【解答】解：由x﹣2=0得x=2，
此时y=a x﹣2+1=a0+1=1+1=2，
即函数过定点（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，要求熟练掌握指数函数的图象和性质．
15．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，则m= ﹣
1 ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈（0，+∞）上为增函数即可．
【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x m2﹣3m﹣3，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时y为增函数，
∴当m=2时，m2﹣3m﹣3=﹣5，幂函数为y=x﹣5，不满足题意；
当m=﹣1时，m2﹣3m﹣3=1，幂函数为y=x，满足题意；
综上，幂函数y=x．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．
16．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为 2 ．
【考点】函数的零点；函数的图象．
【专题】数形结合；函数的性质及应用．
【分析】分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象法确定两个函数的交点个数．【解答】解：在坐标系中，分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
由图象可知两个函数图象的交点为2个．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次函数和对数函数的图象的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
三、解答题（12+12+12+12+12+14=74分）
17．若2a=5b=m，且，求m的值．
【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．
【专题】计算题；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】利用指数式与对数式互化，求出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：2a=5b=m，则=log m2，，
因为，
所以log m2+log m5=2，
∴2=log m10，
解得m=．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．18．（1）已知tanα=2，求的值．
（2）已知，求的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】（1）本题中已知tanα=2，由于可以通过分子分母同除以cosα，
将其变为用tanα表示，从而求出分式的值，故先用同角函数基本关系中的商数关系进行恒等变形，再代入值求分式的值；
（2）由已知中sinα+cosα=，两边平方后，根据sin2α+cos2α=1，可求出sinα•cosα=，将tanα+cotα切化弦并通分后，结合sinα•cosα=，即可得到答案．
【解答】解：（1）由已知易知cosα≠0，
所以原式分子分母同时除以cosα，得===．
（2）∵sinα+cosα=，
∴（sinα+cosα）2=1+2sinα•cosα=2，
∴sinα•cosα=
∴tanα+cotα
=
=
=
=2．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，解题的关键是根据题设中分式的形式选择合适的公式进行恒等变形求值，此类齐次式，一般是通过分子分母同时除以余弦的方式将关于弦的分式变为关于切的分式．本题考查了转化化归的能力及观察的能力，利用三角公式进行运算的能力，利用公式计算是三角中的重要技能，要熟练掌握公式，灵活运用公式．
19．若函数f（x），g（x）分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x．（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求g（0）的值．
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意用﹣x代替x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，利用f（x）、g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，转化为关于f（x）和g（x）另外一个方程，再与已知方程联列，解之可得f（x），g（x）的解析式；
（2）由（1）中g（x）的解析式，将x=0代入可得答案．
【解答】解：（1）∵f（x），g（x）分别为R上的奇函数，偶函数f（x）﹣g（x）=e x①
∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x
∴﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x②
①﹣②得：f（x）=（e x﹣e﹣x），
①+②得：g（x）=（e x+e﹣x），
（2）g（0）=（e0+e0）=1．
【点评】本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程﹣f（x）+g（x）=e﹣x，是解答本题的关键．
20．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：
lg2=0.3010，lg3=0.4771）
【考点】指数函数的实际应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，
即，∴n≥．
又∵n∈N，∴n≥8．
即至少要过滤8次才能达到市场要求．
【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．
21．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）当m=1时，判断方程根的情况．
（2）若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）化简得x2+2x+3=0，从而判断二次方程的根的情况；
（2）令f（x）=x2+2mx+2m+1，从而可得，从
而解得．
【解答】解：（1）当m=1时，x2+2x+3=0，
△=4﹣3×4=﹣8＜0，
故方程没有实数根；
（2）令f（x）=x2+2mx+2m+1，由题意得，
，
解得，﹣＜m＜．
【点评】本题考查了二次方程的根的判断及方程与函数的关系应用．
22．已知直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点．
（1）求证：f（x）=x2﹣|x|+a为偶函数．
（2）求当x≥0时，f（x）的解析式，并作出符合已知条件的函数f（x）图象．
（3）求a的取值范围．
【考点】函数的图象；函数的零点．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据偶函数的定义即可证明，
（2）根据x≥0，得到函数f（x）的解析式，
（3）在同一坐标系中，作出y=1，y=x2﹣|x|+a，由图可知a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣|x|+a的定义域为R，
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣|﹣x|+a=x2﹣|x|+a=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（2）当x≥0时，f（x）=x2﹣x+a，图象如图所示：
（3）如图，在同一坐标系中，作出y=1，y=x2﹣|x|+a，由图可知a必须满足，解得1＜a＜，
故a的取值范围为（1，）．
【点评】本题考查了函数的图象的作法和函数图象的交点问题，属于中档题．。