立体几何中的向量方法课件(垂直、平行)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

二、 立体几何中的向量方法 ——证明平行与垂直
03 平行关系
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b
(1) l / /m a / /b a b ；
a
b
l
m
【典例】如图所示，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分别为 DD1 和 BB1 的中点．求 证：四边形 AEC1F 是平行四边形．
l
a
P
A
【典例】1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中 点.AB=AP=1,AD= 3 ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
04 垂直关系
(2) l
a // u a u
【典例】如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点. 求证:AB1⊥平面A1BD.
04 垂直关系
(2) l
a // u a u
【典例】如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点. 求证:AB1⊥平面A1BD.
03 平行关系
证明面面平行：
(3) / / ① u / /v u v.
u
α
v
β
【典例】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求 证:平面ADE∥平面B1C1F.
04 垂直关系
(1) l m a b a b 0
l
a b
练习 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形，PD＝DC，E，F 分别是 AB， PB 的中点．求证：EF⊥CD；
立体几何中的向量方法
XXXX学校 XXX 2023.09
00 概要
前面,我们把
推广 平面向量
空间向量
向量 成为重要工具
立体几何问题 （研究的基本对象是点、线、 面以及它们组成的空间图形）
01 方向向量
【直线的方向向量】
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A= 3 ,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.
证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
03 平行关系
证明线面平行：
(2) l / / a u a u 0 ；
a / / AC a x AB y AD
u
a
α
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点. 求证:MN∥平面A1BD.
【素养·探】 在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC, BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.
因为EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,所以 EF⊥AE,EF⊥BE. 又以因点为E为A坐E⊥标E原B点,所,E以BE,EBF,E,EFA,E分A别两为两垂x轴直,y. 轴,z轴建立如图所示的空间 直角坐标系. A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
如图所示，取BC的中点O，连 接AO.因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC⊥平面BCC1B1，所以 AO⊥平面BCC1B1.
A1B (1,2, 3) BD (2,1,0)
04 垂直关系
（3） u v u v 0
β
uv
α
【典例】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量
l
•
A•
P
a
确定点A，方向向量 a ，
可以唯一确定一条直线
直线ｌ的向量表示式 AP ta
01 方向向量
这样点A和向量a 不仅可以确定直线 l的位置，还可以
具体写出l上的任意一点.
l
OP OA ta ，
P
OP xOA yOB (x y 1）
a
l
平面 α的向量式方程 a AP 0
（法向量 a 和点A可以确定平面α的位置）
a
P
A
02 法向量
平面 α的向量式方程 a AP 0
（法向量 a 和点A可以确定平面 的位置）
法向量一定是非零向量吗？
一个平面的所有法向量都互相平行;
向量 n 是平面的法向量，向量 m 为平
面内的任一向量，则(2,1,2)在直线l上,则 直线l的一个方向向量为( )
A.(2,2,6) B.(-1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1)
02 法向量
如果直线l⊥平面α，取直线l的方向向量 a ，则向量 a 叫做平面α的法向量.
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量