深圳市宝安区实验学校数学三角形解答题单元达标训练题(Word版 含答案)

深圳市宝安区实验学校数学三角形解答题单元达标训练题（Word 版 含答案）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，
（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n
α∠=-⨯- 【解析】 【分析】
（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=
1
11-1802
2
α︒
⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】
解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE
11
()22
ACO ACE αβ∴∠=
∠=+ 同理可得：1
()2
CAO αγ∠=
+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11
180180()()22
O ACO CAO αβαγ︒
︒
∠=-∠-∠=-
+-+
1180()2αβαγ︒=-+++111
180()1809090222
αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；
（3）∵∠B=α，11
,PAC DAC PCA E n n
AC ∠=
∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1
180902α︒
︒
--=
111-1802
2
α︒
⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n n
α∠=-⨯-. 【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
2．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使
C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．
（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；
（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点
F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．
【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由
BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】
（1）∵AC
BD ，
∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°， ∴AD BC ∥；
（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下：
设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是∆ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，
∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°； （3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，
∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，
∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ，
∴∠ABC=∠ABD=
1
2
∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．
3．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线，
所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=︒． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152
DCE αβ
-'=
=︒∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1
(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
4．如图1：ABC 中，AD 是高，AE 是BAC ∠的平分线，
=40=70ABC ACB ，∠︒∠︒． （1）求EAD ∠的度数
（2）当==ABC ACB αβ∠∠，，请用αβ，表示EAD ∠，并写出推导过程
（3）当AE 是BAC ∠的外角FAC ∠的平分线，如图2则此时EAD ∠的度数是多少，用,αβ表示，直接写出结果．
【答案】（1）15o ;(2) -2
EAD βα
∠=;(3) 902
EAD αβ
-∠=︒+
【解析】 【分析】
（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义得∠EAC=
1
2
∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC 即可得到结果． （2）猜想∠DAE=1
2
（β-α），重复（1）的过程找出∠BAD 和∠BAE 的度数，二者做差即可得出结论；
（3）作∠BAC 的内角平分线AE ′，根据角平分线的性质求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+1
2
∠CAF=90°，进而求出∠DAE 的度数. 【详解】 解:（1）
40,70,ABC ACB ∠=︒∠=︒
180704070BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒,
AE 是BAC ∠的平分线，
1
=352
BAE CAE BAC ∴∠=∠=
∠︒, 在ACD Rt 中，9020CAD C ∠=︒-∠=︒,
15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒. （2）,,ABC ACB αβ∠=∠=
180BAC αβ∴∠=︒--,
AE 是BAC ∠的平分线，
1111
=180--=90--2222
BAE CAE BAC αβαβ∴∠=∠=∠︒︒（）,
在Rt △ACD 中，90CAD β∠=︒-，
-=
2
EAD CAE CAD βα
∴∠=∠-∠.
（3）902
EAD αβ
-∠=︒+
.
如图，作∠CAB 的内角平分线AE′，
则∠DAE′=
-2
βα
．
因为AE 是∠ACB 的外角平分线， 所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=1
2
（∠CAB+∠CAF ）=90°， 所以∠DAE=90°-∠DAE′=90°--2
βα
=902
αβ
-︒+
．
即∠DAE 的度数为902
αβ
-︒+.
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3）作辅助线是关键．
5．(1)如图①，你知道∠BOC ＝∠B ＋∠C ＋∠A 的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明； (2)如图②，设x ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ，运用(1)中的结论填空． x ＝____________°；x ＝____________°；x ＝____________°； (3)如图③，一个六角星，其中∠BOD ＝70°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________°.
【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140 【解析】 【分析】
（1）首先延长BO 交AC 于点D ，可得BOC=∠BDC+∠C ，然后根据∠BDC=∠A+∠B ，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A 即可．
（2）a 、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得
x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【详解】
(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，
又∵∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)180；180；180
(3)140
【点睛】
（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
6．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．
（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时
①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；
②若m=50°，求x+y的值．
（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．
【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.
【解析】
分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；
②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；
（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；
④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；
⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．
详解：（1）①如图1，
∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形DPEC为平行四边形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；
（2）分五种情况：
①y﹣x=m+n，如图2，
理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，
∴∠DFP=n+180°﹣y，
∵x+m+∠DFP=180°，
∴x+m+n+180°﹣y=180°，
∴y﹣x=m+n；
②x﹣y=m﹣n，如图3，
理由是：
同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，
∴x﹣y=m﹣n；
③x+y=m+n，如图4，
理由是：
由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；
④x﹣y=m+n，如图5，
理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，
∴x﹣y=m+n；
⑤y﹣x=m﹣n，如图6，
理由是：
同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，
∴y﹣x=m﹣n．
点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.
7．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．
解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸：
（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．
（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且
BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .
【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5
【解析】
试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；
拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；
（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，
△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．
试题解析：解：解决问题
连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE
=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．
拓展延伸：
解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．
（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．
8．已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC 于D．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.
【解析】
【分析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到
∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣1
2
（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的
性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利
用直角三角形的两个锐角互余即可求解.
【详解】
解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣1
2
（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣1
2
（∠B+∠C）
=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°﹣∠FEC，
则∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B ；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB ，∠DCP=∠PCB ，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B ，进而求得∠P 的度数；
（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.
【详解】
解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
∠AOD=∠BOC ，
∴∠A+∠D=∠C+∠B ；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ，②
∵∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，
∴∠DAP=∠PAB ，∠DCP=∠PCB ，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P ，
即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，
∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B ；证明过程同（2）.
10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .
（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）
（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）
（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.
【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．
【解析】
分析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：由△ABD与△ACE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形DAC与三角形BAE全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC的度数即可．
本题解析：
（1）∠BPC的度数为120°，理由为：
证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAE AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAC AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．
点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。