广东省佛山市顺德区桂洲中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷(含解析)

桂洲中学2024学年第一学期高三第一次月考
数学试卷
时量：120分钟满分：150分命题人：刘新才
审核人：王玲玲
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2．已知复数z 满足
，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数的定义域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若正实数x ，y
满足，则的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．如图，在矩形中，M 是的中点，若，则（ ）
A ．
B ．1
C ．
D ．26．若不等式在上有解，则a 的取值范围是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．7．已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知，则的解析式为（
）
{}
2|4120A x x x =--<{}
|2B y y ==+A B = [)
0,6[)
2,6(]
2,0-∅
2
i 1i
z -=-z =12i +12i
-12i
-+12i
--y =
[)0,2()
1,2[)()
0,11,2 [)
0,133xy x +=12x y +ABCD CD AC AM AB λμ=+
λ
μ+=12
32
250x ax +->{}|12x x ≤≤12a a ⎧⎫<
⎨⎬⎩⎭
12a a ⎧⎫>⎨⎬
⎩
⎭
{}
4
a a <{}
4
a a >(1,)a t =
(3,1)b =- (2)a b b +⊥
a b 4
π
3
π
23
π
34
π1)3f x +=+(1)f x +
A ．
B ．
C ．
D ．二、多选题（本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
9．已知复数，则（ ）
A ．复数z 的虚部为3
B ．
C ．复数z 的实部为
D ．10、下列说法中正确的是（
）
A ．非零向量和满足，则与的夹角为
B ．向量的，不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．若，则在方向上的投影向量的模为
D ．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是loge （1-x ）+1，xs0．11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A ．是函数的一个单调减区间
B ．的解集为
C ．若，则，或
D ．方程必有两个实数根
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，若，则____________．
13．已知实数x ，y 满足，，则的取值范围是____________．
14．若函数在R 上为增函数，则a 取值范围为____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
15．（本小题13分）已知复数，为z 的共轭复数，且．
(1)4(0)f x x x +=+≥
2
(1)3(1)f x x x +=+≥2
(1)24(1)
f x x x x +=-+≥2
(1)3(0)
f x x x +=+≥(2i)(i 1)z =--z =
1-286i
z =--a b a b a b ==-
a a
b + 60︒
1(2,3)e =- 213,24e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
//a b
a b a
(1,2)a = (1,1)b = a a b λ+ λ5,3⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭
1/2log (1)1,0,
()0.
x x f x x -+≤⎧⎪=>(],0-∞()f x ()1f x >(1,)+∞1()2f x =
1
4
x =1x =-()0f x x +=(1,3)a =-
(2,)b k = (2)//()a b a b -+ k =41x y -≤-≤-145x y -≤-≤93x y -2(2),0
()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩2(2)z m m =++-()m ∈R z 6z z +=
（1）求m 的值；
（2）若是关于x 的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
16．（本小题15分）已知关于x 的不等式．（1）当时，解关于x 的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．17．（本小题15分）在中，，，
，D 为的三等分点（靠近B 点）．
（1）求的值；
（2）若点P 满足，求的最小值，并求此时的．
18．（本小题17分）已知（1）求，的值；（2）求满足的实数a 的值；（3）求的定义域和值域．
19．（本小题17分）已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，，
，且．
（1）求C ；
（2）若
的面积为，求a ，b ．
3i z
-20x ax b ++=210ax x a -+-≤0a >23x ≤≤210ax x a -+-≤ABC △2CA =2AB =23
BAC π
∠=BC AD BC ⋅
CP CA λ= PB PC ⋅
λ223,2,
()5,210.
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨
-+<<⎩12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
((6))f f ()6f a =()y f x =ABC △(,)m c a b =+
)cos i (n ,1A n A =+-
m n ⊥ c =ABC △
高三数学月考参考答案：
1．B 【详解】依题意，，
，故，故选B ．
2．A 【详解】因为
，所以，故选：A ．3．C 【详解】试题分析：由题意得，，且，所以选C ．考点：函数定义域
4．C 【详解】由x ，y 为正实数，且，得，则，当且仅当
，即时，取最小值9．故选：C ．
5．C 【详解】因为在矩形中，M 是的中点，
所以，因为，所以，
，所以，故选：C ．
6．B 【详解】解：因为，所以不等式化为，又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a 的取值范围是．
7．D 【详解】由，，得，
由，得，解得，则，
则
，，，
因此
，所．故选：D 8．D 【详解】因为，所以令，，则，
所以，所以，因为，所以
，即，所以．故选：D ．
9．ACD 【详解】对于AC ，复数，复数z 的虚部为3
，实部为，AC 正确；对于B ，，B 错误；对于
D ，，D 正确．故选：
ACD ．
{}
{}2|4120|26A x x x x x =--<=-<<{}
{}|2|2B y y y y ==+=≥[)2,6A B = 2i 1i z -=
-22(1i)i i 12i 1i (1i)(1i)
z +=+=+=+--+0x ≥20x ->lg(2)002x x -≠⇒≤<1x ≠33xy x +=3
3y x
=
-31212331239x y x x +=+
-≥-=-=312x x =1
2
x =12x y +ABCD CD 12
AC AD AB AM MD AB AM AB =+=++=+ AC AM AB λμ=+
1λ=12μ=3
2
λμ+={}|12x x x ∈≤≤250x ax +->5a x x >-+5
y x x
=-+
[]1,22x =5x x -+121
2
a >(1,)a t =
(3,1)b =- 2(1,21)a b t +=-+ (2)a b b +⊥ 1(3)(21)10t -⨯-++⨯=2t =-(1,2)a =-
a ==
b == 1(3)(2)15a b ⋅=⨯-+-⨯=- cos ,a b a b a b
⋅=== [],0,a b π∈ 3,4a b π=
1)3f x +=+1t =
+1t ≥2(1)x t =-2
2
()(1)324(1)f t t t t t =-+=-+≥2
2
(1)(1)2(1)43f x x x x +=+-++=+1t ≥11x +≥0x ≥2
(1)3(0)f x x x +=+≥(2i)(1i)13i z =--+=-+1-z =
=22(13i)86i z =-+=--
10．BC 【详解】对于A ：由，
所以，即，
所以
所以
与的夹角为，故A 错误；对于B ：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故
B 正确；对于
C ：，则或，则在方向上的投影向量的模为
，故C 正确；对于D ：由，，则，若与
的夹角为锐角，则且与不能同向，即
，解得且，故D 正确；故选：BC ．
11．BC 【详解】对于A ：当时，，是由与复合
而成，而与都是减函数，
由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A 错误；
对于B ：如图，当时，由，，，所以不
成立；
当时，
，解得，所以的解集为，故B 成立；
对于C ，当时，，即，解得
当时，
，解得，故C 正确；对于D ，方程的根是函数与交点的个数，
函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D 错误．故选：BC
a b a b ==-
a b -=
= 22222a b a a b b ==-⋅+ 2
12
a b a ⋅= 222a b a b b a b b +==+⋅+⋅+= ()cos ,a a b a a b a a b ⋅++==⋅+ a a b + 30︒()12,3e =- 213,24e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
124e e = 1e 2e //a b ,0a b = ,a b π=
a b cos ,a a b a ⋅= (1,2)a =
(1,1)b = (1,2)a b λλλ+=++ a a b λ+ ()0a a b λ⋅+>
a a
b λ+ ()142530
2(1)2a a b λλλλλλ
⎧⋅+=+++=+>⎪⎨
+≠+⎪⎩
53λ>-0λ≠0x ≤12
()log (1)1f x x =-+12
log 1y t =+1(0)t x x =-≤12
log 1y t =+1(0)t x x =-≤12
()log (1)1f x x =-+(],0-∞0x ≤11x -≥12
log (1)0x -≤12
()log (1)11f x x =-+≤()1f x >0x >()1f x >1>1x >()1f x >(1,)+∞0x ≤1
()2f x =
12
1log (1)12x -+=1x =-0x >1()2f x =
12=1
4
x =()0f x x +=()y f x =y x =-()y f x =y x =-()0f x x +=
12．【详解】解：，，∵，∴，解得．故答案为：．
13．【详解】解：设，则，解得，所以，因为，
所以，又因，所以，即的取值范围是
．故答案为：．
14．【详解】函数在R 上为增函数，则需，解得
，故填．
15．（1）（2）【详解】（1）已知
，则，
由于，得，解得：（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，解得：，，即方程另外一个复数根为6-2(2,6)(2,)(4,6)a k k -=--=--
(1,3)a b k +=+ (2)//()a b a b -+
4(3)6k k -⋅+=-6k =-6-[]6,9-93()(4)(4)()x y a x y b x y a b x a b y -=-+-=+-+
493a b a b +=⎧⎨
+=⎩1
2
a b
=⎧⎨=⎩93()2(4)x y x y x y -=-+-145x y -≤-≤22(4)10x y -≤-≤41x y -≤-≤-6939x y -≤-≤93x y -[]6,9-[]6,9-[]1,22(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩20
2210(0)1
a
a f a -⎧≥⎪⎪
->⎨⎪≤-⎪⎩
12a ≤≤[]1,21
m =34i
+2(2)i z m m =++-2(2)i z m m =+--6z z +=2(2)i 2(2)i 246m m m m m ++-++--=+=1
m =3i z =-3i 34i z -=-2
(34i)(34i)0a b -+-+=(73)(424)i 0a b a -++-+=730
4240a b a -++=⎧⎨
+=⎩
6a =-25b =26250x x -+=134i x =
=+234i x ==-34i +
16．【详解】解：（1）不等式可化为，当时，不等式化为；①
时，，解不等式得，②时，，解不等式得，③时，，解不等式得．综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为．（2）由题意不等式化为，当时，，且
，所以原不等式可化为恒成立，设，，则y 的最小值为，所以a 的取值范围是．17．（1）（2），此时【详解】（1）因为，所以（2）如图建立直角坐标系，则，，令，所以，，∴∴当时，
，此时18．（1），（2）（3）定义域为，值域为210ax x a -+-≤(1)(1)0x ax a -+-≤0a >()110a x x a -⎛
⎫
--≤ ⎪
⎝
⎭
102a <<11a a ->11a x a -≤≤12a =
11a a -=1x =12a >11a a -<11a
x a
-≤≤102a <<
11a x x a ⎧-⎫≤≤⎨⎬⎩
⎭12a ={}|1x x =1
2a >
11a x
x a ⎧-⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
210ax x a -+-≤2
(1)1a x x -≤-[]2,3x ∈[]11,2x -∈[]13,4x +∈11a x ≤
+11y x =+[]2,3x ∈1
4
1
4a ≤
2-min 9()4PB PC ⋅=- 3
4
λ=
1121()3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ BC AC AB
=-
()
22
211122
33333AD BC AB AC AC AB AC AC AB AB ⎛⎫⋅=+⋅-=⋅+⋅-=- ⎪⎝⎭
(0,0)A (2,0)C (B -(,0)P x (1PB x =-- (2,0)PC x =- (1)(2)
PB PC x x ⋅=+-
12x =min 9()4PB PC ⋅=- 3
4
λ=
19
24
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭((6))6f f =1a =-(,10)-∞(5,)
-+∞
【详解】（1）
，（2）由或，解得．（3）的定义域为，值域为19．（1）
（2），或，【详解】（1）因为，所以，
即，即，由正弦定理得，又，
，∵，∴，
，所以，∵，∴，所以；（2）∵
，又，即，∴，联立解得或．2
1119232224f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
((6))(65)(1)(1)2(1)36
f f f f =-+=-=--⨯-+=2
2236a a a ≤⎧⎨
-+=⎩102
56a a >>⎧⎨-+=⎩
1a =-()y f x =(]()(),22,10,10-∞=-∞ [)()()
2,5,35,+∞-=-+∞ 3
π
2a =4b =4a =2
b =m n ⊥ 0m n ⋅=
(cos )()0m n c A A a b ⋅=+-+=
cos sin 0c A A a b +--=sin cos sin sin sin 0C A C A A B +--=[]sin sin ()sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+sin sin cos sin 0C A A C A --=0A π<<sin 0A >cos 10C C --=1sin 62
C π⎛
⎫
-
= ⎪
⎝
⎭5666C πππ-<-<66C ππ-=3C π=11sin 22S ab C ab =
==8ab =2222cos c a b ab C =+-2212a b ab =+-2220a b +=24a b =⎧⎨
=⎩4
2
a b =⎧⎨=⎩。