人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题四 概率与统计 第十一章 第三节 随机事件的概率与古典概型
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事件
____
四、随机事件的概率
一般地，对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生
的频率会在随机事件发生的概率 的附近摆动并趋于稳定.我们将频率的这个性质
频率的稳定性
称为______________.因此，若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很
大时，可以用事件发生的频率 来估计事件的概率，即 ≈ .
∩ 为不可能事件， ∪ 事件与事件互为对立 ∩ =___，
∪ =
为必然事件
事件
1
___
六、古典概型
1.具有以下特征的试验叫作古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
有限个
（1）有限性：样本空间的样本点只有________；
相等
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性______.
件.故选D.
规律方法
判断互斥、对立事件的2种方法
判断互斥事件、对立事件一般利用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事
定义法
件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定
是互斥事件
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；
集合法
②事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( B )
3
10
2
5
7
20
9ห้องสมุดไป่ตู้
20
A. B. C. D.
[解析]由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8
随机事件
本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母，，，⋯表示.在每次
试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生
必然事件
不可能事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发
必然事件
生，所以Ω总会发生，我们称Ω为__________
不可能
空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称⌀为_________
+ − ∩
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
∪ =____________________
_________.
知识拓展
1.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
(1 ∪ 2 ∪ ⋯ ∪ ) = 1 + 2 + ⋯ + .
所以 = 1 − = 1 − 0.65 = 0.35，
所以这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率约为0.35.
[对点训练3] 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
的估计值.
题型二 求互斥事件与对立事件的概率
典例3为了了解中学生的视力情况，某机构调查了某高中1000名学生，其中有200名
学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在[0.6,1.0)内，其余的在1.0及以上.
（1）估计这个学校的学生需要配镜或治疗（裸眼视力不足1.0）的概率是多少；
解 记事件为“裸眼视力在0.6以下”，事件为“裸眼视力在[0.6,1.0)内”，事件为
解 率.
读 3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立
事件的概率.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、随机试验的概念和特点
随机现象
1.随机试验：我们把对__________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母来表示.
2.随机试验的特点：
重复
（1）试验可以在相同条件下______进行；
明确可知
（2）试验的所有可能结果是__________的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
二、样本点和样本空间
定义
样本点
每个可能的基本结果
我们把随机试验的____________________称为样本点
字母表示
用___表示样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间
02
研考点 题型突破
题型一 随机事件
角度1 随机事件的判断
典例1袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件表示
“取出的都是黑球”；事件表示“取出的都是白球”；事件表示“取出的球中至少有一
个黑球”，则下列结论正确的是() C
A.与是互斥事件B.与是对立事件
C.和是对立事件D.和是互斥事件，但不是对立事件
“裸眼视力不足1.0”.
因为,为互斥事件，且 = ∪ ，
所以 = + =
200
1 000
+
450
1 000
= 0.65,
所以这个学校的学生需要配镜或治疗的概率约为0.65.
（2）估计这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率为多少.
解 记事件为“裸眼视力达到1.0及以上”，则事件与事件为对立事件，
项B不正确.故选C.
[对点训练1] 若从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列为互斥的两个
事件是( D )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“一个红球也没有”与“都是黑球”
C.“至少有一个红球”与“都是红球”
D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
[解析] 互斥的两个事件是指不能同时发生的两个事件.
1
0
必然事件的概率： Ω =___，不可能事件的概率
⌀ =___.
五、事件的关系与运算
名称
条件
包含关系
若发生，则一定发生
相等关系
⊇
若 ⊇ 且_______
并（和）
事件
发生或发生
结论
事件包含事件
（事件包含于事件）
事件与事件相等
事件与事件的并事件
（或和事件）
符号表示
的集合的补集
角度2 随机事件的频率与概率
典例2九华山是著名的旅游胜地.据气象台报道，8月1日后连续四天，每天下雨的概
率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0 ∼ 9这十个整数
中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表
中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
⊆
⊇ （或_______）
=
+
∪ （或_______）
续表
名称
交（积）
事件
互斥事件
对立事件
条件
发生且发生
不可能
∩ 为________事件
结论
事件与事件的交事件
（或积事件）
事件与事件互斥
符号表示
∩
______（或）
∩ =⌀
___________
⌀
2.概率的一般加法公式 ∪ = + − ∩ 中，易忽视只有当
∩ = ⌀，即，互斥时， ∪ = + ，此时 ∩ = 0.
自测诊断
1.从含有10件正品,2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( D )
A.3件都是正品
Ω
用___表示样本空间
有限样本 如果一个随机试验有个可能结果1 ，2 ，⋯， ，则
Ω = {1 ，2 ，⋯，
空间
称样本空间Ω = {1 ，2 ，⋯， }为有限样本空间
}
三、三种事件的定义
子集
一个
我们将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件，并把只包含______样
中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，得到摸到红球次数为6 000次.估计从袋
0.75
15
中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为_____;估计袋中红球的个数为____.
[解析]由题意得 × =
，所以摸到红球的频率为
= . .
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近概率，所以估计从袋中任意摸出1个球，
425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为 = .故选B.
[对点训练2] 活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）
的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两
人一组，共20组.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋
3 6 36 4
[解析]由题意，连续抛掷两次骰子共有 × = 种情况.向上的面上的点数之差的
绝对值大于3的情况有 , ， , ， , ， , ， , ， , ，共6种，所以绝
对值不大于3的情况有 − = 种，故所求概率 =
=
.故选B.
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
[解析]每个同学参加的情形有3种，故两位同学参加兴趣小组的情形有9种，而参加
同一组的情形只有3种，故所求的概率 = =
.故选A.
4.将一枚骰子连续抛掷两次，则向上的面上的点数之差的绝对值不大于3的概率是
( B )
2 5 29 3
A. B. C. D.
主题四 概率与统计
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布
第三节 随机事件的概率与古典概型
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性;了解概率的意义以及频率与概率的区别;
课 了解两个互斥事件的概率加法公式.
标 2.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概
+
性质3：如果事件与事件互斥，那么 ∪ =_____________.
1−
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 = 1 − ， =__________.
性质5：如果 ⊆ ，那么 ≤ ，由该性质可得，对于任意事件，因为
⌀ ⊆ ⊆ Ω，所以0 ≤ ≤ 1.
恰好是红球的概率为0.75.
设袋中红球的个数为，根据题意得
+
= . ，解得 = ，
经检验 = 是原方程的解，所以估计袋中红球的个数接近15.故答案为0.75;15.
规律方法
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，
通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间Ω包含个样本点，事件包含其中的个样
Ω
本点，则定义事件的概率 =_____= .
其中， 和 Ω 分别表示事件和样本空间Ω包含的样本点个数.
七、概率的性质
性质1：对任意的事件，都有0 ≤ ≤ 1.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 Ω = 1， ⌀ = 0.
对于A选项，“至少有一个黑球”包含“一黑一红”和“两个球都是黑球”，A选项中的两
个事件不是互斥事件；
对于B选项，“一个红球也没有”表示“两个球都是黑球”，B选项中的两个事件是相等
事件；
对于C选项，“至少有一个红球”包含“一黑一红”和“两个球都是红球”，C选项中的两
个事件不是互斥事件；
对于D选项，“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不可能同时发生，这两个事件为互斥事
B.3件都是次品
C.至少有1件次品
D.至少有1件正品
[解析] 从10件正品，2件次品中任意抽取3件，
对于A，3件都是正品是随机事件；对于B，3件都是次品是不可能事件;
对于C，至少有1件次品是随机事件；对于D，因为只有2件次品，所以从中任意抽取3
件必然会抽到正品，即至少有1件正品是必然事件.故选D.
2.如果打靶3次，事件 表示“击中发”，其中 = 0，1，2，3.那么 = 1 ∪ 2 ∪ 3 表
示() B
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
[解析] ∪ ∪ 所表示的含义是 ， ， 这三个事件中至少有一个发生，即
可能击中1发，2发或3发.故选B.
3.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组
的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
[解析]袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有
如下几类：①取出的两球都是黑球；②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白.
事件包括①③两类情况，所以事件是事件的子事件，故A不正确.事件与事件
互斥且对立，所以C正确，D不正确.事件与事件互斥，但不是对立事件，所以选
____
四、随机事件的概率
一般地，对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生
的频率会在随机事件发生的概率 的附近摆动并趋于稳定.我们将频率的这个性质
频率的稳定性
称为______________.因此，若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很
大时，可以用事件发生的频率 来估计事件的概率，即 ≈ .
∩ 为不可能事件， ∪ 事件与事件互为对立 ∩ =___，
∪ =
为必然事件
事件
1
___
六、古典概型
1.具有以下特征的试验叫作古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
有限个
（1）有限性：样本空间的样本点只有________；
相等
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性______.
件.故选D.
规律方法
判断互斥、对立事件的2种方法
判断互斥事件、对立事件一般利用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事
定义法
件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定
是互斥事件
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；
集合法
②事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( B )
3
10
2
5
7
20
9ห้องสมุดไป่ตู้
20
A. B. C. D.
[解析]由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8
随机事件
本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母，，，⋯表示.在每次
试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生
必然事件
不可能事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发
必然事件
生，所以Ω总会发生，我们称Ω为__________
不可能
空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称⌀为_________
+ − ∩
性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有
∪ =____________________
_________.
知识拓展
1.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
(1 ∪ 2 ∪ ⋯ ∪ ) = 1 + 2 + ⋯ + .
所以 = 1 − = 1 − 0.65 = 0.35，
所以这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率约为0.35.
[对点训练3] 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
的估计值.
题型二 求互斥事件与对立事件的概率
典例3为了了解中学生的视力情况，某机构调查了某高中1000名学生，其中有200名
学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在[0.6,1.0)内，其余的在1.0及以上.
（1）估计这个学校的学生需要配镜或治疗（裸眼视力不足1.0）的概率是多少；
解 记事件为“裸眼视力在0.6以下”，事件为“裸眼视力在[0.6,1.0)内”，事件为
解 率.
读 3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立
事件的概率.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、随机试验的概念和特点
随机现象
1.随机试验：我们把对__________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母来表示.
2.随机试验的特点：
重复
（1）试验可以在相同条件下______进行；
明确可知
（2）试验的所有可能结果是__________的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
二、样本点和样本空间
定义
样本点
每个可能的基本结果
我们把随机试验的____________________称为样本点
字母表示
用___表示样本点
样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间
02
研考点 题型突破
题型一 随机事件
角度1 随机事件的判断
典例1袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件表示
“取出的都是黑球”；事件表示“取出的都是白球”；事件表示“取出的球中至少有一
个黑球”，则下列结论正确的是() C
A.与是互斥事件B.与是对立事件
C.和是对立事件D.和是互斥事件，但不是对立事件
“裸眼视力不足1.0”.
因为,为互斥事件，且 = ∪ ，
所以 = + =
200
1 000
+
450
1 000
= 0.65,
所以这个学校的学生需要配镜或治疗的概率约为0.65.
（2）估计这个学校的学生裸眼视力达到1.0及以上的概率为多少.
解 记事件为“裸眼视力达到1.0及以上”，则事件与事件为对立事件，
项B不正确.故选C.
[对点训练1] 若从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列为互斥的两个
事件是( D )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“一个红球也没有”与“都是黑球”
C.“至少有一个红球”与“都是红球”
D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
[解析] 互斥的两个事件是指不能同时发生的两个事件.
1
0
必然事件的概率： Ω =___，不可能事件的概率
⌀ =___.
五、事件的关系与运算
名称
条件
包含关系
若发生，则一定发生
相等关系
⊇
若 ⊇ 且_______
并（和）
事件
发生或发生
结论
事件包含事件
（事件包含于事件）
事件与事件相等
事件与事件的并事件
（或和事件）
符号表示
的集合的补集
角度2 随机事件的频率与概率
典例2九华山是著名的旅游胜地.据气象台报道，8月1日后连续四天，每天下雨的概
率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0 ∼ 9这十个整数
中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表
中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
⊆
⊇ （或_______）
=
+
∪ （或_______）
续表
名称
交（积）
事件
互斥事件
对立事件
条件
发生且发生
不可能
∩ 为________事件
结论
事件与事件的交事件
（或积事件）
事件与事件互斥
符号表示
∩
______（或）
∩ =⌀
___________
⌀
2.概率的一般加法公式 ∪ = + − ∩ 中，易忽视只有当
∩ = ⌀，即，互斥时， ∪ = + ，此时 ∩ = 0.
自测诊断
1.从含有10件正品,2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( D )
A.3件都是正品
Ω
用___表示样本空间
有限样本 如果一个随机试验有个可能结果1 ，2 ，⋯， ，则
Ω = {1 ，2 ，⋯，
空间
称样本空间Ω = {1 ，2 ，⋯， }为有限样本空间
}
三、三种事件的定义
子集
一个
我们将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件，并把只包含______样
中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，得到摸到红球次数为6 000次.估计从袋
0.75
15
中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为_____;估计袋中红球的个数为____.
[解析]由题意得 × =
，所以摸到红球的频率为
= . .
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近概率，所以估计从袋中任意摸出1个球，
425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为 = .故选B.
[对点训练2] 活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）
的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两
人一组，共20组.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋
3 6 36 4
[解析]由题意，连续抛掷两次骰子共有 × = 种情况.向上的面上的点数之差的
绝对值大于3的情况有 , ， , ， , ， , ， , ， , ，共6种，所以绝
对值不大于3的情况有 − = 种，故所求概率 =
=
.故选B.
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
[解析]每个同学参加的情形有3种，故两位同学参加兴趣小组的情形有9种，而参加
同一组的情形只有3种，故所求的概率 = =
.故选A.
4.将一枚骰子连续抛掷两次，则向上的面上的点数之差的绝对值不大于3的概率是
( B )
2 5 29 3
A. B. C. D.
主题四 概率与统计
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布
第三节 随机事件的概率与古典概型
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性;了解概率的意义以及频率与概率的区别;
课 了解两个互斥事件的概率加法公式.
标 2.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概
+
性质3：如果事件与事件互斥，那么 ∪ =_____________.
1−
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 = 1 − ， =__________.
性质5：如果 ⊆ ，那么 ≤ ，由该性质可得，对于任意事件，因为
⌀ ⊆ ⊆ Ω，所以0 ≤ ≤ 1.
恰好是红球的概率为0.75.
设袋中红球的个数为，根据题意得
+
= . ，解得 = ，
经检验 = 是原方程的解，所以估计袋中红球的个数接近15.故答案为0.75;15.
规律方法
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，
通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间Ω包含个样本点，事件包含其中的个样
Ω
本点，则定义事件的概率 =_____= .
其中， 和 Ω 分别表示事件和样本空间Ω包含的样本点个数.
七、概率的性质
性质1：对任意的事件，都有0 ≤ ≤ 1.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 Ω = 1， ⌀ = 0.
对于A选项，“至少有一个黑球”包含“一黑一红”和“两个球都是黑球”，A选项中的两
个事件不是互斥事件；
对于B选项，“一个红球也没有”表示“两个球都是黑球”，B选项中的两个事件是相等
事件；
对于C选项，“至少有一个红球”包含“一黑一红”和“两个球都是红球”，C选项中的两
个事件不是互斥事件；
对于D选项，“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不可能同时发生，这两个事件为互斥事
B.3件都是次品
C.至少有1件次品
D.至少有1件正品
[解析] 从10件正品，2件次品中任意抽取3件，
对于A，3件都是正品是随机事件；对于B，3件都是次品是不可能事件;
对于C，至少有1件次品是随机事件；对于D，因为只有2件次品，所以从中任意抽取3
件必然会抽到正品，即至少有1件正品是必然事件.故选D.
2.如果打靶3次，事件 表示“击中发”，其中 = 0，1，2，3.那么 = 1 ∪ 2 ∪ 3 表
示() B
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
[解析] ∪ ∪ 所表示的含义是 ， ， 这三个事件中至少有一个发生，即
可能击中1发，2发或3发.故选B.
3.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组
的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
[解析]袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有
如下几类：①取出的两球都是黑球；②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白.
事件包括①③两类情况，所以事件是事件的子事件，故A不正确.事件与事件
互斥且对立，所以C正确，D不正确.事件与事件互斥，但不是对立事件，所以选