2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT

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(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实



数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
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(1) x + y + 6 x = 0,
2
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(2) x + y - 2by = 0,
2
2
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(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆
(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
(3) (x+a)2+y 2 =a2 +b2 , 当a2 +b2 =0时 , 表示一个点
(0, 0);当a2 +b2 ≠0时 , 表示圆心坐标是(-a, 0) ,半径是
+ 的圆.
思考？圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的
一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，
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这就是点M的轨迹方程，它表
32
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(x ) ( y ) 1

示以(, )为圆心，半径为1的圆.
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轨迹及轨迹方程指的是什么?
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x , y)满足的关系
式 . 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形 . 在解析
几何中 , 我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
分析：如图，点A运动引起点M运动，而点
y M B
A
A在已知圆上运动，
点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4
o
x
建立点M与点A坐标之间的关系 , 就可以利
用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式 ,
求出点M的轨迹方程 .
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆
(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)
∵ O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.
∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D, E ,
F的三元一次方程组: F 0
D = -8,


解得 E = 6,
D E F 2 0
(3)圆心坐标(a, a) ,半径为|a| .
2.如图 , 在四边形中ABCD，AB=6，CD=4，且AB//CD ,
AD=BC , AB与CD间距离为3, 求这个等腰梯形ABCD的外
接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径 .
(2, 3)
解: 设圆的方程为: x 2 y 2 Dx Ey F 0
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
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2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它
们的坐标都满足上述方程 , 于是
2
2
2
2
2
a + b -10a - 2b + 26 = r .
例4也使用了待定系数法，这里选用圆的一般方程，
与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.
因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方
程组 . 若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二
次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一次方程比解
二次方程容易 .
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是:
3
9
3
85
2
半径:
圆心: (0, )
3
3
3. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射，
其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线
l 所在直线的方程. (1)入射及反射光线与x轴夹角相等.
y
A(-3，3)
•
C(2, 2) (2)点P关于x轴的对称点Q在反射光线
求解轨迹方程的一般方法是什么?
1.直接法:
利用几何关系，直接列式求出.
2.相关点法:
利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，
找到关系式，列式求出.
练习 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是

的点的轨迹求此曲线的轨迹方程，并画出曲线
.

解：在给定的坐标系里，设点M(x, y)是曲线上的任意
的方程不一定是圆的方程.
思考? 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的 D, E, F满足什么条
件时 , 这个方程表示圆？
把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方整理后，得：
2
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D 2
E 2 D E 4F
(x ) ( y )
……①
2
2
4
(1) 当D2+E 2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以


(- , -) 为圆心， + − 为半径的圆.
D 2
E 2 D E 4F
(x ) ( y )
……①
2
2
4
(1) 当D2+E 2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以


(- , -) 为圆心， + − 为半径的圆.
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
( x 3) 2 y 2 2
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆。

观察上面的式子 , 我们发现 , 三式两两相减 , 可以消去
a2, b2, r2得到关于a , b的二元一次方程组
a = 2,
a - 2b = 8,
2=25.
解此方程组，得
代入上式，得r


b
=
-3.
a
+
b
=
-1.


2
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所以, △ABC的外接圆的标准方程是 x - 2 + y + 3 = 25 .
我们知道 , 方程(x-1)2+(y+2) 2=4表示以(1, -2)为圆心 , 2
为半径的圆 . 可以将此方程变形为
x2+y2-2x+4y+1=0.
一般地 , 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式.
思考? 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等
变形变为圆的标准方程吗?
例如 , 对于方程x2+y2-2x-4y+6=0 , 对其进行配方 , 得到
(x-1)2+(y-2) 2=-1 , 因为任意一个点的坐标(x, y)都不满足这
个方程 , 所以这个方程不表示任何图形 .
所以 , 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒
等变形变为圆的标准方程. 这表明, 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
F = 0.
4 D 2 E F 20 0


∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0. 圆心坐标为(4, -3).
1
2
2
半径r
D E 4 F 5.
2
思考：与圆的标准方程这一节中例2的方法比较, 有什
么体会?
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
并求这个圆的半径长和圆心坐标.
分析:将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，
可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解：设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)
∵ O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.
∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D, E ,
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
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(1) x + y = 0
2
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(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
F的三元一次方程组:
D = -8,
F 0


解方程组 , 得 E = 6,
D E F 2 0
F = 0.
4 D 2 E F 20 0


例4 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程,
并求这个圆的半径长和圆心坐标.
因为A, B, C都在圆上, 所以其坐标都满
(3,0)
( 3,0)
足圆的方程,即
9 3D F 0
4
D 0, E
, F 9
9 3D F 0
3
13 4 D 3 E F 0
2 2 85
4
2
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2
即: x ( y )
圆的方程: x y y 9 0
方程的代数特征非常明显.
x y Dx Ey F 0
2
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一般方程突出了代数结构:
(1) x2和y2系数相同，都不等于0.
(2) 没有xy这样的二次项.
(3)当 D2+E2-4F>0 时，方程才表示一个圆.
例4 求过三点O(0, 0) , M1(1, 1) , M2 (4, 2)的圆的方程,
2
5 - a 2 + 1 - b 2= r
2 2
2
2
7 - a + -3 - b = r 即a + b -14a + 6b + 58 = r .
2
2
2
a 2 + b 2 - 4a + 16b + 68 = r 2 .
2 - a + -8 - b = r