2018年高考数学(理)一轮复习文档 第四章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例 Word版含答案
高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)
【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得
cos ab , a b ab 2 ) 1 , 2 a b | | a | b |
sin 1 cos 2 1 (
【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(
【思路点拨】(1)将a·b表示为θ的三角函数，然后求得a·b 的最值，转化为解不等式的问题. (2)①由 | BC BA | 2 得到关于θ的关系式，两边平方可求解； ②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题
求解.
【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|= 因此a· b=mcos θ+nsin θ =
3. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM＝2MA， 则 CMCB 等于( (A)2 (B)3
) (C)4 (D)6
【解析】选B.由题意可知，
1 CM CB CA＋ AB)CB ＝( 3 1 ＝CACB ABCB ＋ 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形
【解析】选A.由 ( AB AC )BC 0 知△ABC为等腰三角形，且 AB | AC | AB＝AC.由 AB AC 1 知， 与AC 的夹角为60°，所以 AB 2 AB | AC |
高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)
【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，
2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3讲
知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示 1．设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cosθ＝________________． 2 2 x ＋ y 1 1 ． (2)模：|a|＝ a· a＝__________ → (3) 设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 A ， B 两 点 间 的 距 离 |AB| ＝ | AB | ＝ x1－x22＋y1－y22．
4．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120° ，则 b 在 a 方向上的投影为 导学号 30071274 ( A．2 C．－2
D
) 3 B．2 3 D．－2
3 [解析] b 在 a 方向上的投影为|b|cos120° ＝－2.故选 D．
7 5．已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝__________.
2 2 2 (6)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x1 ＋y2 1· x2＋y2．
• • • • • •
2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． [拓展] 两向量a与b的夹角为锐角⇒cos(a，b)>0且a 与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角 ⇒cos(a，b)<0，且a与b不共线．
知 识 梳 理
知识点一 向量的夹角 → → ∠AOB 叫做向量 a 两个非零向量 a 与 b，过 O 点作OA＝a，OB＝b，则__________
[0，π] 与 b 的夹角；范围是__________ ．
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 精品
所以BD AD=(A-B1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
考向一 平面向量基本定理及其应用
【典例1】(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那 么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基
底的是 ( )
A.e1与e1+e2 C.e1+e2与e1-e2
B.e1-2e2与e1+2e2 D.e1-2e2与-e1+2e2
【解析】选D.由题意得
P1P
1 3
或P1P2
P1P=2 (3,-3).
设P(x,y),则 P1=P(x-1,y-3),
当P1P 13时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-13),
3
所以x=2,y=2时,即P(2,2).
当P1P 23时P1P,2(x-1,y-3)=
(3,-23),
3
所以x=3,y=1,即P(3,1).
4 xy
AP AB BP AB② y BN,
xy
①×y+②×x得 AP x AB y AC，
x y 4(x y)
令 y 得 y2 =， x,代8入得m=
4(x y) 11
3
3. 11
答案: 3
11
【加固训练】 1.(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关 于向量a的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ, 使a=λb+μc;
3
3
故
2
t, 3
2 2
解得
t，
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算 Word版含解析
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．[导学心语]1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD→＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD→＝43AB →＋13AC → D.AD→＝43AB →－13AC → A [AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC→.故选A.]3．(2017·银川质检)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋P A →＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC→＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． b －a －a －b [如图，DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC→＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .] 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.－13 [由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]平面向量的有关概念①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB→＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB→＝DC→，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．][规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a为非零向量，则a|a|是与a同向的单位向量，－a|a|是与a反向的单位向量．[变式训练1]设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()【导学号：01772141】A．0 B.1C.2D.3D[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB的中点，则EB→＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD→ D.12BC →(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD→＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3 B.－13 C.13D.3(1)C (2)A [(1)如图，EB→＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →.(2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD→＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →， 所以n ＝－13，m ＝1，所以mn ＝－3.故选A.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM→ D.4OM→ (2)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)D (2)－2 [(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC→＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.(2)因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP→＝λPD →， 所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD→＝－2PD →，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，2分∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB→，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.5分 (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .9分 ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.12分 [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB→＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB→＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.(1)B (2)12 [(1)∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD→，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. [易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．。
2018高考数学(理)一轮复习课件 第四章 平面向量 第3讲分层演练直击高考
[答案] 5，5 3
10．(2017· 石家庄市教学质量检测)已知向量 a，b，c 满足|a| ＝ 2，|b|＝a· b＝3，若(c－2a)· (2b－3c)＝0，则|b－c|的最大
→ [解析] 由题意可设 A(1，1)，B(3，0)，C(x，y)，则 a＝OA， → → b＝OB，c＝OC＝(x，y)，因为(c－2a)· (2b－3c)＝0，所以(x －2)(6－3x)＋(y－2)(0－3y)＝0，(x－2)2＋(y－1)2＝1，即点 C 在 以 (2 ， 1) 为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 圆 上 ， 所 以 |b － c|≤ （3－2）2＋（0－1）2＋1＝1＋ 2， 故|b－c|的最大值是 1＋ 2.
－1)＋2＝0＋2＝2.
2． (2017· 山西省第二次四校联考)已知|a|＝1， |b|＝ 2， 且 a⊥(a －b)，则向量 a 与向量 b 的夹角为( π A． 6 π C． 3
B
)
π B． 4 2π D． 3
[解析] 因为 a⊥(a－b)，所以 a· (a－b)＝a2－a· b＝1－ 2 2cos〈a，b〉＝0，所以 cos〈a，b〉＝ ， 2
→ → [解析] 如图所示，OC表示 F1，OA表示 F2， → → 以OC与OA为邻边作矩形 OADC， → 则OD表示 F，在 Rt△OCD 中， ∠COD＝60°，|F|＝10(N)，
1 所以|F1|＝|F|cos 60°＝10× ＝5(N)， 2 3 → 所以|CD|＝|F|sin 60°＝10× ＝5 3(N)， 2 → 又因为|F2|＝|CD|，所以|F2|＝5 3(N)， 所以 F1 和 F2 的大小分别为 5 N 和 5 3 N.
7．(2016· 高考全国卷乙)设向量 a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则 m＝________． [解析] 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2 得 a⊥b ，则 m＋2＝0，所以 m＝ －2.
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标24 平面向量的概念及其线性运算
达标24 平面向量的概念及其线性运算理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标24 平面向量的概念及其线性运算理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标24 平面向量的概念及其线性运算理的全部内容。
课时达标24 平面向量的概念及其线性运算理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝（ A )A．错误!a－b B．错误!a＋b C．a－错误!b D．a＋错误!b 解析:AM→＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!错误!＝－b＋错误!a，故选A．2．（2017·河北石家庄模拟）已知a,b是两个非零向量，且|a＋b|＝｜a|＋｜b｜,则下列说法正确的是( D )A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析：因为a,b，是两个非零向量，且|a＋b｜＝｜a｜＋｜b|，则a与b共线同向,故D 正确．3．已知O，A，M，B为平面上四点，且错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!，实数λ∈(1,2),则( B )A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O,A，M，B一定共线解析：∵错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!，∴错误!－错误!＝λ（错误!－错误!)，∴错误!＝λAB，→.∵λ∈(1,2），∴点B在线段AM上．4．如图所示，在△ABC中，若错误!＝3错误!，则错误!＝( C )A．错误!错误!＋错误!错误!B．错误!错误!－错误!错误!C．错误!错误!＋错误!错误!D．错误!错误!－错误!错误!解析：错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!(错误!－错误!)＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，故选C．5．(2017·甘肃兰州模拟）已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5错误!＝错误!＋3错误!，则△ABM与△ABC的面积比为( C ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：由5错误!＝错误!＋3错误!得2错误!＝2错误!＋3错误!－3错误!，则2（错误!－错误!)＝3（错误!－错误!)，即2错误!＝3错误!,故错误!＝错误!错误!，故△ABM 与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5。
2018届高考数学一轮复习4.4
第四章
知识清单 基础自测
第四节
平面向量应用举例
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-8-
4.[2016· 西安交大附中第六次诊断]一个物体受到三个力的作用,三个力的大 小分别为1,2,3(单位:N),三个力两两之间的夹角均为60°,则物体所受的合 力大小为 N. 5 【解析】设三个力分别为F1,F2,F3,则|F1|=1,|F2|=2,|F3|=3,且
(������, ������) · (������, ������ − 2) = ������2 + ������2 − 2������ =
4 2 ������ 3
− 2������ − 1 =
4 3
− ,
7 4
由于函数在区间[ 3, +∞)上单调递增, 所以当������ = 3时, ������������ · ������������取最小值3 − 2 3 .
第四章
知识清单 基础自测
第四节
平面向量应用举例
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
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1.[2016· 武汉二月调研]△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中
b=3,c=2.O为△ABC的外心,则������������ · ������������ = (
13 A. 2 5 B. 2 5 C.2
第四章
知识清单 基础自测
第四节
平面向量应用举例
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
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1 2 ������ 2 2 3.[2016· 河南信阳高级中学四模]已知抛物线y= x 与双曲线 2 -x =1(a>0)有共同的 8 ������
最新-2018年高考数学一轮复习 第4章平面向量平面向量基本定理及坐标表示课件 精品
∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2,
BP=μBN=2μe1+μe2,
故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而BA=BC+CA=2e1+3e2,
{ λ+2μ=2
由基本定理，得 3λ+μ=3,
4 故AP= 5AM,即AP:PM=4:1.
{4
λ=
解得 μ=
5 .3
5
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(2)向量坐标的求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个 向量的坐标等于该向量的 终点 坐标减去 始点 的
坐标.
(3)平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b
a= λb
⇔x1y2-x2y1=0 .
⇔
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证明:∵P点在AB上，∴AP与AB共线. ∴AP=tAB(t∈R). ∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB. 令λ=1-t，μ=t，则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1 (λ,μ∈R).
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考点二 平面向量的坐标运算
已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且 CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.
考点一 平面向量基本定理的应用
如右图，在△ABC中，点M是 边BC的中点，点N在边AC上， 且AN=2NC.AM与BN相交于 点P，求AP:PM的值.
北京市2018届高三数学理一轮复习 4.1 平面向量的概念与线性运算课件 精品
跟踪训练
2．设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC. 若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1、λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________．
【解析】 D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C)＝－16A→B＋23A→C， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
第四章 平面向量与复数 第一节 平面向量的概念与线性运算
考纲解读
考试内容
平面向量的相关概念 向量加法与减法与向量的数乘
两个向量共线
要求层次
A
B
C
√
√
√
北 京 近 五 年 主 要 考 查．
1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理
解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意
才能得出三点共线)． (3)向量的加、减、数乘运算的结果仍是向量，如 a－a＝0,0·a＝0.Βιβλιοθήκη 考点分类突破考点一
平面向量的概念
1．①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行
四边形的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
解析 M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B
＝13A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16A→C，
∴x＝12，y＝－16.
名师点睛
1．必会结论
(1)三角形内角和定理：在△ABC 中，A＋B＋C＝π，其变式有
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1
答案：D
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 平面向量的线性运算[自主练透型] [例 2] (2017·武汉市武昌区调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点， 则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( ) A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
k－λ＝0， λk－1＝0，
解得λk＝＝11，
或kλ＝＝－－11，，
又∵λ>0，∴k＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
所以A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋A→D＋12A→B)＝34 A→B＋12A→D.
答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
考向三 共线向量定理及其应用[互动讲练型] [例 3] 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， A→E＝23A→D，A→B＝a，A→C＝b.
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 068 页] 考向一 平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
2018高考数学(理)一轮(课标通用)复习课件18平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
������ |������|
=
2.(2015课标Ⅱ,理13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实 数λ= .
【答案】
������ = ������, 【解析】 由题意知存在常数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b),得 解之 1 = 2������, 1 得 λ= .
2
基础诊断 考点突破 课堂总结
1 2
考点40
考点41
试做真题
高手必备 萃取高招
对点精练
3.(2013 四川,理 12)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,������������ + ������������=λ������������,则 λ= . 【答案】 2
【解析】 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,������������ + ������������ = ������������ =2������������, ∴λ=2.
【答案】 C 因为 以a与
������ |������|
=
������Leabharlann 成 |������|������ ������ ������ ,则向量 与 是方向相同的单位向量,所 |������| |������| |������| ������ ������ b 共线同向,即使 = 成立的充分条件为选项 C. |������| |������|
专题十八
平面向量的概念及线性运算、 平面向量的基本定理
基础诊断
考点突破
课堂总结
向量方法是一种全新的证明方法和解题手段,平面向量的线性运算 和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面向量知识一般不会在解答 题中独自命题,但是可能会与平面几何、三角函数、数列、导数等 结合在一起考查.在选择题中,经常出现在平面图形中已知部分几 何量求解平面向量的夹角与数量积等问题,而且往往这一部分题目 比较复杂,难以找到突破口,有较大难度,需要我们利用向量方法进 行解题.
高考数学一轮复习3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理1．向量的夹角(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°.特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．当θ＝180°时，a与b共线反向．当θ＝90°时，a与b互相垂直．2．向量的数量积(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．(2)数量积的几何意义条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．结论几何表示坐标表示向量的模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21夹角余弦cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x2＋y2a⊥b充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y2常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．常见误区1．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33D ．3解析：选B.a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6.3．(多选)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－2，4)，则( ) A ．a ∥b B ．(a ＋b )·a ＝－5 C ．b ⊥(a －b )D ．2|a |＝|b |解析：选ABD.因为1×4＝－2×(－2)，所以a ∥b ，又a ＋b ＝(－1，2)，所以(a ＋b )·a ＝－5.a －b ＝(3，－6)，b ·(a －b )≠0，所以C 错误，|a |＝5，|b |＝25，2|a |＝|b |，故选ABD.4．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ＝________． 解析：cos θ＝a·b |a||b|＝－632×6＝－32，又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6. 答案：5π65．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝12，因为a ⊥(a －λb )，所以a ·(a －λb )＝|a |2－λa ·b ＝1－λ2＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(1)(2021·内蒙古赤峰二中、呼市二中月考)已知向量a ，b 的夹角为π3，若c ＝a |a|，d ＝b |b|，则c ·d ＝( ) A.14B ．12 C.32 D ．34(2)(多选)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB→|，下列结论正确的是( ) A.CA→在CB →方向上的投影长为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA→在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC→ 【解析】 (1)c ·d ＝a |a|·b |b|＝|a||b|cos a ，b |a||b|＝cos π3＝12.故选B.(2)由OA→＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB→|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB→＝OA →·AC →＝－2，OB →·AB →＝OC →·AC→＝2，故B ，D 正确．【答案】 (1)B (2)BCD计算向量数量积的三个角度(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．1．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1，2)，则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55 B ．－55 C ．－255D ．－355解析：选D.由a ＝(1，2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2，所以a ·b ＝－3，所以向量b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－355.故选D.2．(2020·重庆第一中学月考)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a ，c 的数量积为( )A ．0B ．－2a 2C ．2a 2D ．－a 2解析：选A.由非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，所以a ·c ＝a ·[－(a ＋b )]＝－a 2－a ·b ＝－a 2－|a |·|b |·cosa ，b．由于a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，所以a ·c ＝－a 2－|a |·|b |cos 120°＝－|a |2－2|a |2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.故选A.3．(一题多解)(2020·武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝π2，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上一点，且BP ＝2P A ，那么CP →·CA →＋CP →·CB→＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4解析：选D.通解：由已知得|CA →|＝|CB →|＝2，CA →·CB→＝0，AP →＝13(CB →－CA →)，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(CA →＋AP →)·CA →＋(CA →＋AP →)·CB →＝|CA →|2＋AP →·CA →＋CA →·CB →＋AP →·CB →＝|CA →|2＋13(CB →－CA →)·(CB→＋CA →)＝|CA →|2＋13|CB →|2－13|CA →|2＝22＋13×22－13×22＝4. 优解：由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，2)，设P (x ，y )．因为BP ＝2P A ，所以BP →＝2P A →，所以(x ，y －2)＝2(2－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝23，所以CP →·CA →＋CP →·CB →＝(43，23)·(2，0)＋(43，23)·(0，2)＝4.故选D.平面向量数量积的应用角度一 求两平面向量的夹角(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935 C.1735D ．1935(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉＝( )A.73 B ．23 C.79D ．29【解析】 (1)由题意，得a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝25－6＝19，|a ＋b |＝a2＋2a·b ＋b2＝25－12＋36＝7，所以cosa ，a ＋b＝a·（a ＋b ）|a||a ＋b|＝195×7＝1935，故选D.(2)因为a ，b 是单位向量，所以|a |＝|b |＝1.又因为a ·b ＝0，c ＝7a ＋2b ，所以|c |＝（7a ＋2b ）2＝3，a ·c ＝a ·(7a ＋2b )＝7， 所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝73.因为〈a ，c 〉∈[0，π]，所以sin 〈a ，c 〉＝23.故选B. 【答案】 (1)D (2)B求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系．(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2x21＋y 21·x 2＋y 2.角度二 求平面向量的模(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB →与AC →的夹角为60°，则|MA→|＝________．【解析】 因为M 为BC 的中点，所以AM→＝12(AB →＋AC →)，所以|MA→|2＝14(AB →＋AC →)2 ＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝134， 所以|MA→|＝132. 【答案】 132求向量的模或其范围的方法(1)定义法：|a |＝a2＝a·a ，|a ±b |＝（a±b ）2＝a2±2a·b ＋b2. (2)坐标法：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x2＋y2.(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解．[提醒] (1)求形如m a ＋n b 的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算． (2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解．角度三 两平面向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP→＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， 所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】 712有关平面向量垂直的两类题型根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |＝( ) A ．22 B ．25 C.17D ．15解析：选 C.因为a －b ＝(3，2)，所以|a －b |＝5，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5－2a ·b ＝5，则a ·b ＝0，所以|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选C.2．(多选)设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 解析：选ABD.对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题； 对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |， 得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题． 对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0， 因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |， 所以D 不正确． 故选ABD.3．(一题多解)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE→，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________． 解析：方法一：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.方法二：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE →＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010向量数量积的综合应用在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．【解】 (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． Ｋ在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3. (2)由AD→＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD→＝CA →＋CB →， 两边平方得4|CD→|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝23.核心素养系列4 逻辑推理——平面向量与三角形的“四心”三角形的“四心”：设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA→＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔a OA→＋b OB →＋c OC →＝0. 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP→＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC→]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点【解析】 取AB 的中点D ，则2OD→＝OA →＋OB →， 因为OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， 所以OP→＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 【答案】 C类型二 平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP→＝xOB →＋yOC→，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463 C ．43D ．62【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463. 【答案】 B类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC→|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．【答案】 B类型四 平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO→＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫45，35 B ．⎝⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝⎛⎭⎪⎫－45，35 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－35，45【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC→， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB→. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB→＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB→＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB2→， 所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[A 级 基础练]1．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D ．32解析：选A.c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，所以k ＝－32.2．若向量OF1→＝(1，1)，OF2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A.10 B ．25 C.5D ．15解析：选 C.由于F 1＋F 2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝（－2）2＋（－1）2＝5.3．(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.109 B ．259 C.269D ．89解析：选A.方法一：因为|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即∠BAC ＝90°.所以AE →·AF →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13（AC →－AB →）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AC →－13（AC →－AB →）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB→＋13AC →·(23AC →＋13AB →)＝29AB →2＋29AC →2＝109，故选A.方法二：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，即AB→⊥AC →，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，1)，E (23，23)，F (43，13)，所以AE →·AF →＝(23，23)·(43，13)＝89＋29＝109，故选A.4．(多选)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A.AB→－AC →＝BC →B.AB→＋BC →＋CA →＝0 C ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形D ．若AC→·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形 解析：选BC.由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →；AB →＋BC →＋CA →＝0，故A 错，B对；因为(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB→|2＝|AC →|2，即AB ＝AC ， 所以△ABC 为等腰三角形，故C 对；因为AC →·AB →>0，所以角A 为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC. 5．(2020·安徽示范高中名校月考)已知a ，b ，c 均为单位向量，a 与b 的夹角为60°，则(c ＋a )·(c －2b )的最大值为( )A.32 B ．3 C ．2D ．3解析：选B.设c 与a －2b 的夹角为θ.因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，所以|a －2b |＝3，所以(c ＋a )·(c －2b )＝c 2＋c ·(a －2b )－2a ·b ＝1＋|c ||a －2b |cos θ－1＝3cos θ，所以(c ＋a )·(c －2b )的最大值为3，此时cos θ＝1.故选B.6．(2020·湖南、河南、江西3月联考)设非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，a ·(a －b )＝16，则|b |＝________． 解析：因为|a |＝3|b |，cos a ，b＝13，所以a ·(a －b )＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.答案：27．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 解析：因为|a |＝|a ＋2b |， 所以|a |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2， 所以a ·b ＝－|b |2， 令a 与b 的夹角为θ.所以cos θ＝a·b |a||b|＝－|b|23|b||b|＝－13. 答案：－138．(2020·新高考卷改编)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB→的取值范围是________． 解析：AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影，所以结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小．又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，AP →·AB→∈(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )． (1)若a ⊥(a ＋b )，求|b |的值；(2)若a ＋2b ＝(4，－7)，求向量a 与b 夹角的大小． 解：(1)由题意得a ＋b ＝(3，－1＋x )． 由a ⊥(a ＋b )，可得6＋1－x ＝0， 解得x ＝7，即b ＝(1，7)， 所以|b |＝50＝52.(2)由题意得，a ＋2b ＝(4，2x －1)＝(4，－7)， 故x ＝－3，所以b ＝(1，－3)，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22，因为〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 的夹角是π4.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC→＝0，求t 的值．解：(1)由题设知，AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)方法一：由题设知，OC→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.方法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115. [B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东九校联考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE→＋OC →＝0 C ．|OA→＋OB →＋OC →|＝32 D.ED→在BC →方向上的投影为76 解析：选BCD.由题意知E 为AB 的中点，则CE ⊥AB ，以E 为原点，EA ，EC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO→＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，因为BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ， 解得y ＝32，即O 是CE 的中点，则OE→＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA→＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确； 因为CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，所以选项A 错误；ED→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)． 故ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．故选BCD.12．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP→＝m AC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为( )A. 2 B ．43 C ．3D ． 3解析：选 D.令CP→＝k CD →(0<k <1)，则AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋k CD →＝AC →＋k (AD →－AC →)＝AC →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－AC →＝2k 3AB →＋(1－k )AC→＝m AC →＋12AB →，所以1－k ＝m ，2k 3＝12，所以m ＝14，因为△ABC 的面积为23，所以12|AC →|·|AB →|·32＝23，所以|AC →|·|AB→|＝8，所以|AP →|＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋18|AC →||AB →|＝1＋116|AC →|2＋16|AC →|2≥3，当且仅当|AC→|＝4时取“＝”，所以|AP →|的最小值为 3.故选D.13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB→⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →； (2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB→＝(n －8，t )， 因为AB→⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0. 又因为5|OA →|＝|AB →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， 所以OB→＝(24，8)或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC→＝(k sin θ－8，t )，因为AC→与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k . 因为k >4，所以0<4k <1，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ， 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)， 所以OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.14．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC→＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC→＋OD →|有最小值，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC→＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以当θ＝π8时，m ·n 取得最小值，为1－2.[C 级 创新练]15．在Rt △ABC 中，∠C 是直角，CA ＝4，CB ＝3，△ABC 的内切圆与CA ，CB分别切于点D ，E ，点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若CP →＝xCD →＋yCE →，则x ＋y 的值可以是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B.设△ABC 内切圆的圆心为O ，半径为r ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，所以3－r ＋4－r ＝5，解得r ＝1，故CD ＝CE ＝1，连接DE ，则当x ＋y ＝1时，P 在线段DE 上，但线段DE 均不在阴影区域内，排除A ；在AC 上取点M ，在CB 上取点N ，使得CM ＝2CD ，CN ＝2CE ，连接MN ，所以CP→＝x 2CM →＋y2CN→，则当点P 在线段MN 上时，x 2＋y 2＝1，故x ＋y ＝2.同理，当x ＋y ＝4或x ＋y ＝8时，点P 不在△ABC 内部，排除C ，D ，故选B.16．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin a ，b，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ，则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ>0，则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是________．解析：①恒成立，②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin a ，b，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sina ，b，当λ<0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立，③a ＝λb ，则sin a ，b＝0，故a ⊗b ＝0恒成立，④a ＝λb ，且λ>0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin b，c＋|b|·|c|sin b，c＝|1＋λ||b|·|c|sin b，c，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．答案：①③④。
最新2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第4章-第3节-平面向量的数量积与平面向量应用举例
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高三一轮总复习
平面向量数量积的运算
(1)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分
别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C的值为
A．－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
()
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则D→E·C→B的值为
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝ a·a
|a|＝ x21＋y21
数量积 夹角 a⊥b
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y12· x22＋y22
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x12＋y21· x22＋y22
所以∠ABC＝30°.故选 A.]
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高三一轮总复习
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1
B.0
C.1
D.2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
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高三一轮总复习 又B→C＝A→C－A→B， 则A→F·B→C＝12A→B＋34A→C·(A→C－A→B) ＝12A→B·A→C－12A→B2＋34A→C2－34A→C·A→B ＝34A→C2－12A→B2－14A→C·A→B. 又|A→B|＝|A→C|＝1，∠BAC＝60°， 故A→F·B→C＝34－12－14×1×1×12＝18.故选 B.
2018届高考数学一轮复习4.1
第一节
平面向量的概念与线性运算
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-9-
2.[2017· 包头学业水平测试与评估二]设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的 中点,则������������ + ������������ = ( A.������������ B.������������
1 2
第四章
知识清单 基础自测
第一节
平面向量的概念与线性运算
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-6-
第四章
知识清单 基础自测
第一节
平面向量的概念与线性运算
名师考点精讲 综合能力提升
主干知识回顾
-7-
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 b=λa. 4.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化化归思想.
+ ������������) = ������������.
3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,������������ + ������������=λ������������,则 λ= . 2 【解析】因为������������ + ������������ = ������������ = 2������������,所以λ=2.
������������ + (������������ − ������������) = ������������ + ������������, 即得������������ = ������������ + ������������ .
1 3
2 3
4 3
1 3
2018高考数学(理)一轮复习课件 第四章 平面向量 第3讲 课件
投影
|b|cosθ 影，__________ 叫做向量 b 在 a 方向上的
投影 几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cosθ 向上的投影____________ 的乘积
3．向量数量积的运算律 (1)a· b＝___________； (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝____________； (3)(a＋b)· c＝____________.
[解析] 由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝ 4×cos 120°＝－2.
－2
5．平面向量 a，b 的夹角为 60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2 3，
1 则|b|＝________ ．
[解析] 因为 a＝(2，0)，所以|a|＝2， 把|a＋2b|＝2 3两边平方可得 a2＋4a· b＋4b2＝12， 即|a|2＋4|a|· |b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝12， 1 代入数据可得 2 ＋4×2|b|× ＋4|b|2＝12， 2
【解析】 (1)a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)， 1 由题意得 3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则 m＝－ ，所以 a· b 2
1 5 ＝－1× －2 ＋2×1＝ . 2
→ → → → → 2→ → (2)法一： 取BA， BC为一组基底， 则AE＝BE－BA＝ BC－BA， 3 7 → → → → → → → → 5 → AF＝AB＋BC＋CF＝－BA＋BC＋ BA＝－ BA＋BC， 12 12 2→ → 7 → → → → 所以AE·AF＝3BC－BA·－12BA＋BC
a· b＝ 0
x1＋y1 |a|＝____________
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第四章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算 Word版含答案
第讲 平面向量的概念及线性运算
．向量的有关概念
．
模向量的大小叫做向量的，的量叫做向量方向向量：既有大小又有()
()零向量：长度为的向量，其方向是任意的．
的向量．
个单位单位向量：长度等于()
规定：与任一向量共线．
，又叫共线向量，的非零向量相反平行向量：方向相同或() 的向量．
相同相等向量：长度相等且方向()
的向量．
相反
相反向量：长度相等且方向
()
．向量的线性运算
．
λ
＝
使得
，
λ
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数
．辨明两个易误点()作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减
向量的终点指向被减向量的终点．()在向量共线的充要条件中易忽视“≠”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
．三点共线的等价关系，，三点共线⇔＝λ(λ≠)⇔＝(－)·＋(为平面内异于，，的任一点，∈)⇔＝＋(为平面
内异于，，的任一点，∈，∈，＋＝)．
下列结论正确的是( )
．若＝，则＝
．若，是两个单位向量，则＝
．若＝，＝，则＝
．若＝，则＝
根据向量的概念可知选.
.。
2018年高考数学(理)一轮复习文档第四章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算Word版含答案
第1讲 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．1．辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的充要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．1.教材习题改编 下列结论正确的是( ) A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →C 根据向量的概念可知选C.2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →A 因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →，BD →＝12BA →，所以CD →＝－BC →＋12BA →.3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形D 依题意得AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，故选D.4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.235.教材习题改编 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .b －a －a －b平面向量的有关概念给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0【解析】 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行． 【答案】 D对于向量的概念的三点注意(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零； ④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4C ①错误，两向量是否共线要看其方向，而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故两个向量不能比较大小，但两个向量的模均为非负实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，无论λ为何值，均有λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C.平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →(2)(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 (1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.(2)因为 AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为 BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)，所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【答案】 (1)A (2)12 －16向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．角度一 用已知向量表示未知向量1．(2017·唐山统一考试)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → B 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD→＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →，故选B.角度二 求参数的值2．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →， 又PA →＋BP →＋CP →＝0， 所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2. －2平面向量共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →D AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →，显然由PB →－BQ →得不出PQ →， 所以不能化简为PQ →的式子是D.2．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C ①式的等价式是AB →－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA →＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD →成立．3．(2017·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2PA →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34B 因为CP →＝2PA →，所以|CP →||PA →|＝21，又△PAB 在边PA 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △PAB S △PBC ＝|PA →||CP →|＝12.4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0D 因为a ＋b 与c 共线， 所以a ＋b ＝λ1c .① 又因为b ＋c 与a 共线， 所以b ＋c ＝λ2a . 由①得b ＝λ1c －a .所以b ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.5．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.6．(2017·石家庄市第一次模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(0，2)B 由题意可得OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．7．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →|≤13.8．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3 NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．由AN →＝3 NC →，得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )， AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .－14a ＋14b 9．(2017·唐山统考)已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________．因为a ＋λb 与－(b －3a )共线，所以存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3μ，λ＝－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝－13. －1310．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →， 所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 11．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC→＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →；(2)证明A ，M ，C 三点共线．(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝12a ＋b ， 又E 为AD 中点，所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ， 因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →，所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12a ＝34a ，又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ， 所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a ＝12a ＋12b . (2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ， 所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →， 又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．12．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．求证：A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.充分性：若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．必要性：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1. 所以A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.。
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第讲 平面向量的数量积及应用举例
．向量的夹角
．向量数量积的运算律 ()·＝·；
()(λ)·＝λ(·)＝·(λ)； ()(＋)·＝·＋·.
．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量＝
(，)，＝(，)，与的夹角为θ.
．辨明三个易误点
()①与实数的区别：＝≠，＋(－)＝≠，·＝≠；②的方向是任意的，并非没有方向，
与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． ()·＝不能推出＝或＝，因为·＝时，有可能⊥.
()·＝·(≠)不能推出＝，即消去律不成立．
．有关向量夹角的两个结论
()两个向量与的夹角为锐角，则有·>，反之不成立(因为夹角为时不成立)；
()两个向量与的夹角为钝角，则有·<，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
．(·高考全国卷甲)已知向量＝(，)，＝(，－)，且(＋)⊥，则＝( )
．－
．－
．
．
由向量的坐标运算得＋＝(，－)，
由(＋)⊥，
得(＋)·＝－(－)＝，
解得＝，故选.
．(·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠＝( )
．°
．°
．°
．°
由两向量的夹角公式，
可得∠＝＝＝，则∠＝°.
．在边长为的等边△中，设＝，＝，＝，则·＋·＋·＝( )
．－
．
．
依题意有·＋·＋·＝＋＋＝－，故选.
已知＝，＝，与的夹角θ＝°，则向量在向量方向上的投影为．
由数量积的定义知，在方向上的投影为θ＝×°＝－.
－
．平面向量，的夹角为°，＝(，)，＋＝，则＝．
因为＝(，)，所以＝，
把＋＝两边平方可得＋·＋＝，
即＋·〈，〉＋＝，
代入数据可得＋××＋＝，
整理可得＋－＝，解得＝.
平面向量数量积的运算
()设向量＝(－，)，＝(，)，如果向量＋与－平行，那么与的数量积等于( )
．－
．－。