数值分析试题及答案汇总

数值分析试题
一、 填空题（2 0×2′）
1.
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，
f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，
‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代
函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商
公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n
i i x a 0)( 1 ；所以
当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使
20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收
敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差
r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。

13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)
的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)>0 。

14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。

二、判断题（10×1′）
1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。

( ×)
2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

( ?)
3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

( ×)
4、样条插值一种分段插值。

( ?)
5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

( ?)
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差
及舍入误差。

( ?)
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。

( ×)
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步
迭代计算的舍入误差。

( ×)
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截
断误差＝舍入误差。

( ?)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

( ×)
三、计算题（5×10′）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

解答：
（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行： L 21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：
（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行： L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为： 回代得：
⎪⎩⎪
⎨⎧-===00010.1 99999.500005.33
21x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

解答： 做差商表
P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭
代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

解答：
交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：
雅克比迭代公式： 《计算机数学基础(2)》数值分析试题 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2
…a n ×10s (a 1
?0)的绝对误差?x *－x ??( )．
(A) 0.5×10 s
－1－t
(B) 0.5×10 s －
t (C) 0.5×10
s ＋1－t
(D) 0.5×10 s ＋
t
2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．
(A) ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡------21001210012100
12，
(B)⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡2100141101410125 (C) ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--2100
14121241
0125 (D) ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-513
114120141112
4 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )
(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201
23
x x x x (B)
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤<+-≤≤+32103201
23
2x x x x (C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3
2103201
23
x x x x (D)
⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3
24201
2
3
x x x x 4. 等距二点的求导公式是( )
(A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f
(B) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f
(C) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)
(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f
(D)
5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么y p ,y c 分别为( )．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+-=-+=-+-=+-65 8 4 3 3 1
2431432321421x x x x x x x x x x x x
(A) ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c
k k k p y x hf y y y x hf y y (B)
⎪⎩⎪⎨
⎧+=+=+),()
,(1p k k c
k k k p y x hf y y y x hf y y
(C) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)
,(),(p k k c k k k p y x f y y y x f y y (D)
⎪⎩⎪⎨
⎧+=+=+)
,()
,(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 设近似值x 1,x 2满足?(x 1)=0.05，?(x 2)=0.005，那么?(x 1x 2)= ．
7. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已知)，k =0,1,2,…,n ，且满足
S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．
8. 牛顿－科茨求积公式
∑⎰
=≈n k k k b
a
x f A x x f 0
)(d )(，则∑=n
k k A 0
＝ .
9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数?(x )满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．
10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是 预报值：
),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ．
三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 用简单迭代法求线性方程组
的X (3)．取初始值(0,0,0)T ，计算过程保留4位小数．
12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶
均差f (4，1，3)．
13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分
⎰
+3
1
2d 1x x ，计算过程保留4位小数．
14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分)
15. 证明求常微分方程初值问题
在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为
y (x k +1)?y k +1=y k +
2
h
[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)] 其中h =x k +1－x k (k =0,1,2,…n －1)
《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 0.05?x 2?+0.005?x 1? 7. 3次多项式
8. b －a 9. ???(x )??r <1 10. y k +)],(),([2
11+++k k k k y x f y x f h
hf (x k ＋1, 1+k y ) ． 三、计算题(每小题15分，共60分)
11. 写出迭代格式 X (0)=(0,0,0)T .
得到X (1)＝(2.5，3，3)T
得到X (2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T
得到X (3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T .
12.
f (0,1,3,4,6)=
15
f (4, 1, 3)=6 13. f (x )=
21x +,h =
25.08
2
=．分点x 0=1.0，x 1=1.25，x 2=1.5，x 3=1.75，x 4=2.0，x 5=2.25，x 6=2.50，x 7=2.75，x 8=3.0.
函数值：f (1.0)=1.414 2，f (1.25)=1.600 8，f (1.5)=1.802 8，f (1.75)=2.015 6，f (2.0)=2.236 1，f (2.25)=2.462 2，f (2.50)=2.692 6，f (2.75)=2.926 2，f (3.0)=3.162 3．
))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分)
=
2
25
.0×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6 +2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)]
=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1
14. 设x 为所求，即求x 2－115=0的正根．f (x )=x 2－115． 因为f ?(x )=2x ，f ?(x )=2，f (10)f ?(10)=(100－115)×2<0，f (11)f ?(11)=(121－115)×2>0
取x 0=11． 有迭代公式
x k +1=x k －)
()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115
221152
+
=--(k =0,1,2,…) x 1=
11
2115211⨯+＝10.727 3 x 2=
3727.102115
23727.10⨯+＝10.723 8 x 3=
8
723.102115
28723.10⨯+＝10.723 8
x *?10.723 8
四、证明题(本题10分)
15. 在子区间[x k +1,x k ]上，对微分方程两边关于x 积分，得
y (x k +1)－y (x k )=
⎰
+1
d ))(,(k k
x x x x y x f
用求积梯形公式，有
y (x k +1)－y (x k )=
))](,())(,([2
11+++k k k k x y x f x y x f h
将y (x k ),y (x k +1)用y k ,y k +1替代，得到
y (x k +1)?y k +1=y k +
2
h
[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1) 数值分析期末试题
一、 填空题（20102=
⨯分）
（1)设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251
A ，则
=∞A ______13_______。

（2)对于方程组⎩⎨
⎧=-=-3
4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡05.25.20。

（3)
3
*x 的相对误差约是*x 的相对误差的3
1
倍。

（4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)
('1)
(1n n n n n x f x f x x x +--
=+。

（5）设1)(3
-+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。

（6）设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=
)(G ρi n
i λ≤≤1max 。

（7）已知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1021A ，则条件数=∞)(A Cond 9
（8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2--
x x 改写为)1ln(2++-x x 。

（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。

（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(313
1
∑==i i x f y 。

二、 （10分）证明：方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=++=+-1
2112321
321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。

证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
J B 的特征多项式为
J B 的特征值为01=λ，i 25.12=λ，i 25.13-=λ，故25.1)(=J B ρ＞1，因而迭代法不收
敛性。

三、 （10分）定义内积
试在{}
x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p 。

解：1)(0≡x ϕ，x x ≡)(1ϕ，
1
),(1
00==
⎰
dx ϕϕ，
2
1),(1
01=
=
⎰
xdx ϕϕ，
3
1),(1
211=
=
⎰
dx x ϕϕ，
3
2
),(1
0==
⎰
dx x f ϕ，5
2),(1
1=
=
⎰
dx x x f ϕ。

法方程 解得1540=
c ，15
121=c 。

所求的最佳平方逼近元素为 x x p 15
12
154)(+=，10≤≤x 四、 （10分）给定数据表
试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。

解:3
32
210)(x c x c x c c x y +++=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=84211111000111118421A ， ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
130034003401034010001005A A T 法方程
的解为4086.00=c ，39167.01=c ，0857.02=c ，00833.03=c 得到三次多项式
误差平方和为000194.03=σ
五. (10分) 依据如下函数值表
建立不超过三次的Lagrange 插值多项式，用它计算)2.2(f ，并在假设1)()4(≤x f 下，估计计算误差。

解:先计算插值基函数
所求Lagrange 插值多项式为
12
1445411)(3)(23)(9)()()()(2332103
03+-+-
=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而
0683.25)2.2()2.2(3=≈L f 。

据误差公式))()()((!
4)
()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=
ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：
六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组
解 设
由矩阵乘法可求出ij u 和ij l 解下三角方程组
有51=y ，32=y ，63=y ，44=y 。

再解上三角方程组
得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x 。

七. (10分) 试用Simpson 公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差。

解：
截断误差为
八. (10分) 用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求
81
10--<-k
k k x x x 。

解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

设
则 x x f 11)('-
=， 21
)(''x
x f = Newton 法迭代公式为
1)
ln 1(112ln 1-+=
-
---
=+k k k k
k k k k x x x x x x x x ， ,2,1,0=k 取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

九. (10分) 给定数表
求次数不高于5的多项式)(5x H ，使其满足条件
其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i 。

解：先建立满足条件
)()(3i x f x p =， 3,2,1,0=i
的三次插值多项式)(3x p 。

采用Newton 插值多项式
[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+
再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ，由 得 解得36059-
=a ，360
161
=b 。

故所求的插值多项式。