2017届广东徐闻第一中学高三考文科数学试题及答案

2017届徐闻第一中学高三月测 文科数学 2017-11-30 林武升
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：1.锥体的体积公式13
V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是
锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数12y x =-的定义域为集合A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则A B = ( )
A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦
B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1
,2⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2．执行如图的程序框图，则输出的T 值等于( ) A ．91 B ． 55 C ．54 D ．30
3．函数()22x x f x -=-是 （ ）
A ．奇函数且在R 上是减函数
B ．奇函数且在R 上是增函数
输出T 开 始 T =0,i =1 结束
i >5?
是
i =i +1
否
T =T +i 2
C ．偶函数且在()0,+∞上是减函数
D ．偶函数且在()0,+∞上是增函数 4.已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S =（ ） A.15 B.24 C.27 D.54 5．已知α为第二象限角，且3sin 5
α=，则tan()απ+的值是
A ．43
B. 34
C. 43
- D.
34-
6．函数错误！未找到引用源。

的零点所在的区间是（ ）
A.错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

7．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面， 则a α⊥的一个充分条件是（ ） A ．//a β且αβ⊥ B ．a β⊂且αβ⊥ C ．a b ⊥且//b α D ．a β⊥且//αβ
8 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走
余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
9．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在
d d 0 t 0 t
O A ．
d d 0 t 0 t
O B ．
d d 0 t 0 t
O C ．
d d 0 t 0 t
O D ．
AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是
（ ）
A ．4π Ｂ．2π Ｃ．3π D ．π
10 有限数列A ＝（a 1，a 2，a 3……a n ），S n 为其前n 项和，定义：
123n
s s s s n
+++ 为A 的“四维光军和”。

若有99项的数列(a 1,a 2,a 3……
a 99)的“四维光军和”和1000，则有100项的数列（1，a 1,a 2，……
a 99）的“四维光军和”是（ ）
Ａ．991 Ｂ．882 Ｃ．981 Ｄ．893
二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，多选的按第14小题给分，共20分）
11．已知变量错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

的最小值是__________．
12． 若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S =
.
13．已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABC 的
面积为33,3,43
a B π
==,则b = ．
14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 1ρθθ+=所表示的曲线上一动点，点Q 的坐标为(2,)3
π
，
则PQ 的最小值为____________．
15．（几何证明选讲）如图，以4AB =为直径的圆与
C B
A
E
F
ABC ∆的两边分别交于,E F 两点，60ACB ∠= ，则
EF = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16（本小题满分12分）
已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值； （Ⅱ）若α为锐角，且()2f α=，求α的值．
17、（本小题满分12分）
设递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13=a ，4a 是3a 和7a 的等比中项，
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18（本小题满分14分）
已知四棱锥P ABCD -如图5-1所示，其三视图如图5-2所示，其中
正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.
（Ⅰ）求此四棱锥的体积；
(Ⅱ)若E是PD的中点，求证：AE 平面PCD；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面.
19、（本小题满分14分）
m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙围建一个面积为3602
（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m),修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）
（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.
20（本小题满分14分） 已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R . (Ⅰ)若2a =,求曲线()y f x =
在1x =处切线的斜率;
(Ⅱ)求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)设2()22g x x x =-+,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]20,1x ∈,使得
12()()f x g x <,求a 的取值范围.
21、（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，点()n S n P ,()N n ∈在函数()2x x f -=
x 7+的图象上．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及n S 的最大值； (Ⅱ)令()*2N n b n
a n ∈=，求数列{}n n
b 的前n 项的和；
(Ⅲ)设()()
n n n a a c --=971
，数列{}n c 的前n 项的和为n R ，求使不等
式57
k
R n >
对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值．
2017届徐闻第一中学高三月测答案 一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B
B
C
D
C D
B
A
A
二、填空题：
11. _2_ 12. 63 13. 7 14. 6
2
15. 2 三、解答题：
16. 解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+
sin 2cos 21x x =++
π
2sin(2)14
x =++． ┅┅┅┅┅┅ 3
（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2π
π2
=，
函数
()
f x 的最小值为
12-． ┅┅┅┅┅┅ 7分
（Ⅱ）由()2f α=得π2sin(2)124
α++=．
所以π2
sin(2)42α+=
． 又因为π(0,)2
α∈，所以ππ5π
24
4
4
α<+<
，┅┅┅┅┅┅ 10分
所以π3π24
4α+=． 所以π
4
α=． ┅┅ 12分
17、解：在递增等差数列{}n a 中，设公差为0>d ，
⎩⎨
⎧=⨯=137324a a a a ⎩⎨⎧=++⨯=+⇒1
2)
6(1)3(1121d a d a d a ┅┅┅┅┅┅ 4分 解得 ⎩⎨
⎧=-=2
3
1d a ┅┅┅┅┅┅ 7分
522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n n n n n S n 42
)
523(2-=-+-=
∴所求52-=n a n ，n n S n 42-= ┅┅┅┅┅┅ 12分
18. 解：（Ⅰ）由题意可知，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其面积224ABCD S =⨯=，高2h =，所以1
18423
3
3
P ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯= ┅┅┅┅ 4分
(Ⅱ)由三视图可知，PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥ ┅┅┅┅┅┅ 5分
∵ABCD 是正方形，∴CD AD ⊥ ┅┅┅┅┅┅ 6分 又PA AD A = ，PA ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ∴CD ⊥平面PAD ， ┅┅┅┅┅┅ 7分 ∵AE ⊂平面PAD ，∴AE CD ⊥ ┅┅┅┅┅┅ 8分
又PAD ∆是等腰直角三角形，E 为PD 的中点，∴AE PD ⊥┅┅┅┅┅┅ 9分
又PD CD D = ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AE ⊥平面PCD . ┅┅┅┅┅┅ 10分
(Ⅲ)∵,E F 分别是,PD PC 的中点，∴//EF CD 且12
EF CD = 又∵//CD AB 且CD AB =，∴//EF AB 且12
EF AD =
∴四边形ABFE 是梯形， ┅┅┅┅┅┅ 13分
,AE BF 是梯形的两腰，故AE 与BF 所在的直线必相交。

所以，直线AE 和直线BF 既不平行也不异面. ┅┅┅┅┅┅ 14分 19.解：（1）设矩形的另一边长为a m ，
则y=45x+180(x-2)+180*2a=225x+360a-360┅┅┅┅┅┅ 3分
由已知360,xa =得360,a x
=
()2
3602253602.y x x x ∴=+->┅┅┅ 6分
()22
22
36036022,225222510800,36036022536010440.225=24m 10440x x x x x
y x x x x
x >∴+≥⨯=∴=+-≥= 当且仅当时，等号成立.
即当时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是元.
┅┅┅┅┅┅ 14分
20错误！未指定书签。

．错误！未找到引用源。

解:(Ⅰ)由已知
1
()2(0)f x x x
'=+
>, ┅┅┅┅┅┅ 1分
(1)213f '=+=.
故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3 ┅┅┅┅┅┅ 3分
(Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x
x
+=+=>
①当0a ≥时,由于0x >,故10ax +>,'()0f x > 所以,()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ ②当0a <时,由'()0f x =,得1x a
=-.
在区间1(0,)a
-上,()0f x '>,在区间1(,)a
-+∞上()0f x '<,
所以,函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a
-,单调递减区间为1(,)a
-+∞. ┅
┅┅┅┅┅ 8分
(Ⅲ)由已知,转化为max max ()()f x g x < ┅┅┅┅┅┅ 9分
max ()2g x = ┅┅┅┅┅┅ 10分
由(Ⅱ)知,当0a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递增,值域为R ,故不符
合题意.
(或者举出反例:存在33(e )e 32f a =+>,故不符合题意.) 当0a <时,()f x 在1(0,)a -上单调递增,在1(,)a -+∞上单调递减, 故()f x 的极大值即为最大值,11()1ln()1ln()f a a a
-=-+=----, 所以21ln()a >---, 解得31e a <-
┅┅┅┅┅┅ 14分 21.解：（1）因为点()n S n P ,()N n ∈在函数()2x x f -= x 7+的图象上． 所以n n S n 72+-=，
当2≥n 时，821+-=-=-n S S a n n n 当1=n 时，611==S a 满足上式，所以82+-=n a n ．┅┅┅┅┅2分
又n n S n 72+-=449272
+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n ，且*N n ∈ 所以当3=n 或4时，n S 取得最大值12．┅┅┅┅┅┅ 4分
（2）由题意知n n n b -+-==48222┅┅┅┅┅┅ 5分
所以数列{}n nb 的前n 项的和为()45232212221+-+-⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n n T 所以()34222122212
1+-+-⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n n T ，┅┅┅┅┅┅ 7分
相减得3423222221+-+-⨯-+++=n n n n T ，┅┅┅┅┅┅ 8分
所以()()
*442232*********N n n n T n n n n ∈⨯+-=⨯--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--．┅┅┅┅┅┅ 9分
（3）由（1）得()()n n n a a c --=
971()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=1211212112121n n n n ┅┅ 10分
所以⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n R n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n ┅┅ 12分
易知n R 在*N n ∈上单调递增，所以n R 的最小值为311=R 不等式57k R n >
对一切*N n ∈都成立，则5731k >，即19<k ．┅┅┅┅┅┅ 14分。