2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题7 数列》(原卷版)

专题7 数列
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2021年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合
.
一、单选题
1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三
个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A
B
C
．
D
．
2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则
1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-
B ．1-
C ．3
D ．1
3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.
C ．此人第三天走的路程占全程的
1
8
D ．此人后三天共走了42里路
若存在两项,m n a a
32=，则14
m n
+的最小值为 A ．
34
B ．
910
C ．32
D ．
95
5．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列,则5a =( ) A ．
23
B ．
32
C ．
43
D ．
34
二、多选题
6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-
B ．12a =
C ．4d =
D ．4d =-
7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路
B ．此人第三天走的路程站全程的
1
8
C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D ．此人后三天共走了42里路
8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）
A ．m ＝3
B ．7
67173a =⨯
C ．()1
313
j ij a i -=-⨯
D ．()()1
31314
n S n n =
+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．
0n S >时n 的最小值为8
10．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足
1111312,2ln
(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n
*
+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.
三、填空题
11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}n a 的通
项公式为___．
12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下(
)*
9,n n n N
≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}n
a 满足1
1a
=，且
()()11
2122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.
四、解答题
13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且
1n n n a b b +=+.
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1)(2)n n n n
n a c b ++=
+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满
足16b =，1
4n n n
b S a =+
+（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：1
2n
T ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，
39b =，11a b =，144a b =．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，
n n b a n =+.
（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若
2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12
11
1n n T S S S =
+++
，证明：34
n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知22
19a a =，
618S =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.
20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比
数列，246a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos
3
n n n a b a π+=，求数列{}n
b 的前2020项的和2020
S
.
21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n n
n b a =
,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1
250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.
22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .
23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*
12(1)()n n a a n N +=+∈.
（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和n T .
24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312
n
n a +=
- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3
n n
a b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .
25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列(){
}
n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．
（2）在（1
）的条件下，当k =1
2
241
+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253
n n n
a a a a ++++=----…．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132
a =
，且()1112,22n n n a a n n *
--=+≥∈N .
（1）求证：数列{}
2n
n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，
n n b a n =+.
（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.
30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()2
2ln 11
x f x x x =+++.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-.。