华东师大版八年级数学上册《第十四章总复习》练习题教学课件PPT初二公开课

数学·华东师大版·八年级上册
第14章　勾股定理
14.1　勾股定理
课时1　直角三角形三边的关系
1.易错题在Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若∠A=90°,则 ( )
A.a2+b2=c2
B.b2+c2=a2
C.c2+a2=b2
D.b+a=c
答案
1.B
易错分析
本题易忽视∠A=90°,受思维定式的影响,想当然地认为∠C为直角,从而错选A.解答此类简单题时,一定不能掉以轻心.
2.原创题2020年9月11日,第九届应氏杯世界职业围棋锦标赛八强战收官,太原籍棋手赵晨宇晋级四强.如图是一个围棋棋盘的局部.若棋盘是由边长为1的小正方形组成的,则黑、白两棋子的距离为 ( )
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
答案
2.C　【解析】　如图,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,由勾股定理
得,AB=B2+B2=32+42=5.故选C.
3.[2021山东青岛城阳区期中]如图,阴影部分是一个长方形,它的面积是 ( )
A.14 cm2
B.16 cm2
C.18 cm2
D.20 cm2
答案
3.D　【解析】　由勾股定理得,长方形的长为62+82=10(cm),所以阴影部分的面积=10×2=20(cm2).故选D.
4.在Rt△ABC中,斜边BC的长为3,则AB2+AC2+BC2的值为 ( )
A.18
B.12
C.9
D.6
答案
4.A　【解析】　根据题意得,AB2+AC2=BC2. ∵BC=3,∴AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=32+32=18.故选A.
5.[2021江苏南京玄武区模拟]如图,在△ABC中,AB⊥BC,以点C为圆心、CB的长为半径作弧交AC于点D,再以点A为圆心、AD的长为半径作弧交AB于点E.若AC=13,BC=5,则EB的值是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.D　【解析】　∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.在Rt△ABC
中,∵AC=13,BC=5,∴AB=B2−B2=12.∵CD=BC=5,∴AE= AD=AC-CD=13-5=8,∴BE=AB-AE=12-8=4.故选D.
6.一个直角三角形的周长为24,斜边长与一直角边长之比为5∶4,则这个直角三角形的面积是 .
答案
6.24　【解析】　设斜边长是5k(k>0),一直角边长是4k,根据勾股定理,得另一条直角边长是3k.因为该直角三角形的周长为24,所以4k+5k+3k=24,解得k=2,所以该直角三角形的三边长分别是6,8,10,所以这个直角三角形的面积为
12×6× 8=24.
7.[2021吉林长春期末]如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB于点M.若OC=17,OM=15,则点C到射线OA的距离为 .
答案
7.8　【解析】　如图,过点C作CF⊥OA于点F.∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,
CF⊥OA,∴CM=CF.在Rt△OCM
中,∵OC=17,OM=15,∴CM=172−152=8,∴CF=8, ∴点C到射线OA的距离为8.
8.如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后,恰好能与△ACP'完全重合.若AP=1,则PP'的长为 .
答案
8.2　【解析】　根据旋转的性质,得AP'=AP=1,∠BAP=∠CAP',∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAP',∴∠PAP'= ∠BAC=90°.在Rt△PAP'中,根据勾股定理,得PP'=12+12=2.
9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15.
(1)求AB的长;
(2)求CD的长.
答案
9.【解析】　(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,所以AB=202+152=25,所以AB的长是25.
(2)因为S△ABC=12AC·BC=12AB·CD,
所以AC·BC=AB·CD,所以20×15=25CD,
所以CD=12.
1.[2020江苏常州期中]如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=9,BC=4,则正方形ABDE的面积为 ( )
A.18
B.36
C.65
D.72
答案
1.C　【解析】　在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=9,BC=4,根据勾股定理,得AB2=AC2-BC2=92-42=65,则S正方形
=AB2=65.故选C.
ABDE
2.易错题[2021江苏无锡惠山区期中]若实数m,n满足|m-3|+−4=0,且m,n恰好是Rt△ABC的两条边长,则△ABC的周长是 ( )
A.12或7+7
B.5
C.12
D.5或7
答案
2.A　【解析】　根据题意得,|m-3|=0,−4=0,∴m=3,n=4.当4是直角边长时,斜边长=32+42=5,则△ABC的周长=3+ 4+5=12;当4是斜边长时,另一条直角边长=42−32=7,则△ABC的周长=3+4+7=7+7.故选A.
3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,若按如图方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则CE的长为 ( )
A.52
B.254
C.72
D.74
答案
3.D　【解析】　根据题意,得BE=AE.设CE=x,则AE=BE=8-x.在Rt△BCE中,由勾股定理,得x2+62=(8-x)2,所以x=7
4.故选D.
4.[2021四川成都锦江区期中]如图,分别以直角三角形的三边为一边的等边三角形的面积从小到大依次记为S1,S2,S3,则S
,S2,S3之间的关系是 ( )
A.S1+S2>S3
B.S1+S2<S3
C.S1+S2=S3
D.12+22>32
答案
4.C　【解析】　设三个等边三角形的边长从小到大依次为a1,a2,a3,所以三个等边三角形的面积依次为
S1=3412,S2= 3422,S3=3432.因为12+22=32,所以S1+S2=S3.故选C.
5.[2021山东青岛期末]如图,AB=AC,则数轴上点C所表示的数为 .
答案
5.5-1　【解析】　由勾股定理得,AB=22+12=5,∴AC=5.∵点A表示的数是-1,∴点C表示的数是5-1.
6.如图是一株美丽的勾股树,图中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是 .
答案
6.47　【解析】　因为以正方形A,B的各一边为直角边的直角三角形的斜边的平方为32+52=34,以正方形C,D的各一边为直角边的直角三角形的斜边的平方为22+32=13,所以最大正方形E的面积为34+13=4
7.
7.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 .
答案
7.245　【解析】　过点A作BC边上的高AD,由等腰三角形三线合一的性质知BD=12BC=3,由勾股定理得AD= B2−B2=52−32=4.当BP⊥AC时,BP最短,此时12AC·BP=12AD·BC,所以BP的最小值是245.
8.[2020浙江温州中考]如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,∠B=∠DCE=90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB∥DE.
(1)求证:△ABC≌△DCE.
(2)连接AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.
答案
8.【解析】　(1)∵AB∥DE,∴∠BAC=∠D.
又∵∠B=∠DCE=90°,AC=DE,∴△ABC≌△DCE.
(2)∵△ABC≌△DCE,∴CE=BC=5.
又∵AC=12,∠ACE=90°,
∴AE=B2+B2=52+122=13.
14.1　勾股定理
课时2　勾股定理的验证及简单应用
1.曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.如图是他用两个全等的直角三角形拼出的图形,该图形整体上拼成了一个直角梯形,所以它的面积有两种表示方法,既可以表示为 ,又可以表示为 .对比两种表示方法可得 ,化简,可得a2+b2=c
2.他的
这个证法也成了数学史上的一段佳话. 知识点1 勾股定理的验证
答案
1.
12(a+b)2　12ab+12c2+12ab　12(a+b)2=12ab+12c2+12ab
用拼图法验证勾股定理
拼图法是探究勾股定理的有效方法,一般应遵循以下步骤:拼出图形 找出图形面积的不同表达式 根据面积关系列等式 恒等变形 推导勾股定理.
归纳总结
2.如图是用四个能够完全重合的直角三角形拼出的图形,其中直角边长分别为a,b,斜边长为c,用含a,b,c的代数式表示:
(1)大正方形的边长为 ,面积为 ;
(2)小正方形的边长为 ,面积为 ;
(3)四个直角三角形的面积和为 ,根据图中面积关系,可列出a,b,c之间的关系式为 .
答案
2.(1)a+b　(a+b)2;(2)c　c2;(3)2ab　a2+b2=c2
3.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”,Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题.
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.
答案
3.【解析】　(1)∵大正方形的面积为c2,直角三角形的面积为12ab,小正方形的面积为(b-a)2,
∴c2=4×12ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即c2=a2+b2.
(2)由题意可知,(b-a)2=2,4×12ab=10-2=8,
∴2ab=8,∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18.
4.如图,将长为12 cm的橡皮筋放置在数轴上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升4.5 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长为 ( )
A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.15 cm
答案
4.D　【解析】　在Rt△ACD中,AC=12AB=6 cm,CD=4.5 cm,根据勾股定理,得AD=B2+B2=7.5 cm,所以AD+BD= 2AD=15 cm.故选D.
5.[2021山东青岛二十九中期中]如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 ( )
A.145 mm
B.150 mm
C.155 mm
D.160 mm
答案
5.B　【解析】　由题图可知AC=150-60=90(mm),BC=180-60=120(mm),∠C=90°.由勾股定理,得
AB2=AC2+BC2=902+ 1202=22 500,所以AB=150 mm.故选B.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.
(1)若a=12,b=5,则c= ;
(2)若c=41 cm,b=9 cm,则a= .
答案
6.(1)13;(2)40 cm　【解析】　(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=12,b=5,∴c=122+52=13.(2)在Rt△ABC 中,∵∠C=90°, c=41 cm,b=9 cm,∴a=412−92=40(cm).
7.[2020湖南长沙长郡教育集团期末]如图,某种货车的车高AC 为4 m,卸货时货车后面的支架AB 弯折落在地面A 1处,经测量A 1C =2 m,则弯折点B 与地面的距离为 m.
答案
7.3
2　【解析】　由题意得AB =A 1B ,∠BCA 1=90°.设BC =x m,则AB =A 1B =(4-x )m.在Rt △A 1BC 中,根据勾股定理得,A 1C 2+ BC 2=A 1B 2,即22+x 2=(4-x )2,解得x =32,所以弯折点B 与地面的距离为32 m.
利用勾股定理构建方程模型
勾股定理中含有等量关系,在几何问题的求解过程中,可以利用勾股定理构建方程模型,通过解方程求线段的长度,从而使问题得到解决.
名师点睛
8.如图是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯,测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6 cm,则吸管的长至少为 cm.
答案
8.17.6　【解析】　设吸管如题图位置放置时玻璃杯内部分长x cm.由勾股定理,得x=122+52=13,所以吸管的长至少为x+4.6=13+4.6=17.6(cm).
1.[2020陕西宝鸡期中]如图,在高为3 m,斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少为 ( )
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
1.C　【解析】　在Rt△ABC中,AC=B2−B2=52−32=4(m),故地毯的长度至少为AC+BC=7(m).故选C.
2.如图,笑笑将一张A4纸(尺寸为210 mm×297 mm,AC>AB)剪去一个直角三角形后,量得CF=90 mm,BE=137 mm,则剪去的直角三角形的斜边长为 ( )
A.80 mm
B.120 mm
C.160 mm
D.200 mm
答案
2.D　【解析】　如图,延长BE,CF交于点D,则△EFD是直角三角形,根据勾股定理得EF2=
(210-90)2+(297-137)2=1202+1602=40 000,所以EF=200 mm.故选D.
3.[2021湖北武汉模拟]在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是:如图,推开双门(AD 和BC ),门边缘的D ,C 两点到门槛AB 的距离均为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD 为2寸,则门的宽度(两扇门的宽度和)AB 为 ( )
A.100寸
B.101寸
C.102寸
D.103寸
答案
3.B 【解析】　设OA =OB =AD =BC =r 寸,如图,过D 作DE ⊥AB 于点E ,则DE =10
寸,OE = 1
2CD =1寸,AE =(r -1)寸.在Rt △ADE 中,根据勾股定理得,AE 2+DE 2=AD 2,即(r -
1)2+102=r 2,解得r =50.5,所以2r =101,所以门的宽度(两扇门的宽度和)AB 为101寸.故选
B.
注意挖掘隐含条件解题
本题的隐含条件是OA =OB =AD =BC ,这可依据生活常识进行挖掘,离开这个条件,本题将无法求解.
名师点睛
4.一艘小船早晨8:00出发,它以每小时8海里的速度向正东方向航行,1小时后,另一艘小船从同一地点以每小时12海里的速度向正南方向航行,上午10:00时,两艘小船相距 海里.
答案
4.20　【解析】　如图所示,射线OB的方向是正东方向,射线OA的方向是正南方向.设两艘小船从点O出发,上午10:00分别到达点B,A处.在直角三角形OAB中,因为OB=2×8=16(海里),OA=12海里,所以AB=122+162=20(海里),所以上午10:00时,两艘小船相距20海里.
5.易错题[2021河南省实验中学月考]已知CD是△ABC的边AB上的高.若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 .
答案
5.12或28　【解析】　分两种情况:①当△ABC是锐角三角形时,如图
1.∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°.∵CD=3,AD=1, ∴AC=
2.∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=AB-AD=4-
1=3,∴BC=B2+B2=(3)2+32=12.②当△ABC是钝角三角形时,如图2,同理得
AC=2,AB=4,∴BD=BA+AD=4+1=5,∴BC=B2+B2=(3)2+52=28.综上所述,BC的长为12或28.
6.[2020江苏无锡期中]如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸(假设绳子是直的),开始时绳子BC的长为17 m,此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,求船向岸边移动的距离.
答案
6.【解析】　在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m,
根据勾股定理得,AB=B2−B2=172−82=15(m).
∵此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,
∴CD=17-1×7=10(m),
∴AD=B2−B2=102−82=6(m),
∴BD=AB-AD=15-6=9(m),
∴船向岸边移动了9 m.
素养提升
7.[2021河南南阳期末]勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程.
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
证明:如图1,连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
证明:连接　.
∵S五边形ACBED=　,
S五边形ACBED=　,
∴　,
∴a2+b2=c2.
答案
7.【解析】　证法一　连接BD,过点B作DE边上的高BF,如图,则BF=b-a.∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△AED=12ab+12b2+12ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
证法二　连接BD,BE,过点B作DE边上的高BF,如图,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED=12b(a+b)+12ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),
∴12b(a+b)+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
14.1　勾股定理课时3　直角三角形的判定
1.给出下列长度的四组线段:①1,2,3;②3,4,5;③6,7,8;④a-1,a+1,4a(a>1).其中能构成直角三角形的有 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
答案
1.A　【解析】　①12+(2)2=(3)2,故长度为1,2,3的线段能构成直角三角形;②42+32=52,故长度为3,4,5的线段能构成直角三角形;③62+72≠82,故长度为6,7,8的线段不能构成直角三角形;④(a-1)2+(a+1)2≠(4a)2,故长度为a-1,a+1,4a 的线段不能构成直角三角形.所以能构成直角三角形的是①②.故选A.
2.若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+(b+c)2=2bc+2c2,则△ABC为 ( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案
2.A　【解析】　因为a2+(b+c)2=2bc+2c2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,由于条件不足,故D项中的结论无法得到.故选A.
归纳总结
判断一个三角形是不是直角三角形
(1)利用定义从角上判断,即如果已知条件与角度有关,判断是否有一个角度为90°,若有,则是直角三角形,若没有,则不是直角三角形;(2)利用勾股定理的逆定理从边上判断,即若已知条件与边有关,一般通过计算得出三边的数量关系,看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方,若相等,则是直角三角形,若不相等,则不是直角三角形.
3.[2020广东深圳期中]如图,将△ABC放在网格中(每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,则∠ABC的度数为 °.
答案
3.45　【解析】　由勾股定理得AC2=12+22=5,BC2=12+32=10,AB2=12+22=5,∴AB=AC,AC2+AB2=BC2,∴△ACB是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°.
4.在△ABC中,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数),则△ABC是直角三角形吗?若是,哪条边所对的角是直角?请说明理由.
答案
4.【解析】　△ABC是直角三角形.理由如下:
在△ABC中,∵AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n>1),
∴AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2=AC2,
即BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,边AC所对的角是直角.
5.[2021天津和平区月考]如图,已知CD =3,AD =4,BC =12,AB =13,∠ADC =90°,求图中阴影部分的面积.
知识点1 勾股定理的逆定理
答案
5.【解析】　在Rt △ADC 中,由勾股定理得,
AC =B 2+B 2=42+32=5.
∵AC =5,AB =13,BC =12,
∴AC 2+BC 2=AB 2,∴∠ACB =90°,
∴S 阴影=S △ACB -S △ADC =1AC ·BC -1AD ·CD =1×5×12-1
×4×
3=24.
6.[2021广东佛山南海区期末]下列各组数中,是勾股数的是 ( )
A.0.3,0.4,0.5
B.9,40,41
C.2,3,4
D.1,2,3
答案
6.B　【解析】　0.3,0.4,0.5,2,3不是正整数,故选项A,D不符合题意;92+402=412,且9,40,41是正整数,故选项B符合题意;2,3,4是正整数,但22+32≠42,所以2,3,4不是勾股数,故选项C不符合题意.故选B.
7.[2021四川成都期中]若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个正整数a,n,n+1我们称为一组“完美勾股数”.当n<150时,这样的“完美勾股数”共有 组.
答案
7.8　【解析】　∵(n+1)2-n2=2n+1,∴a2=2n+1.∵n<150,∴a2=2n+1<301.在0与301之间的非偶数完全平方数有9,25,49, 81,121,169,225,289,一共8个,∴这样的“完美勾股数”共有8组.
8.木工师傅要做一个长方形桌面,做完后他测得桌面的长为60 cm、宽为25 cm,对角线长为65 cm,则这个桌面 . (填“合格”或“不合格”)
答案
8.合格　【解析】　因为602+252=652,所以这个桌面合格.
9.A,B,C三地的两两距离如图所示,A在B的正东方向,则C在B的 方向.
答案
9.正北　【解析】　∵AB=12 km,BC=5 km,AC=13
km,∴BC2+AB2=52+122=25+144=169,AC2=132=169,∴BC2+AB2= AC2,∴∠CBA=90°.∵A在B的正东方向,∴C在B 的正北方向.
10.在城阳区“五水绕城”生态环境提升项目中,有一块三角形空地要进行绿化.如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上的一点,CE=25 m,BC=65 m,BE=60 m.
(1)判断△ABE的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长.
答案
10.【解析】　(1)△ABE是直角三角形.理由如下:
∵BC2=652=4 225,BE2=602=3 600,CE2=252=625,
∴BE2+CE2=BC2,∴∠BEC=90°,∴∠BEA=90°,
∴△ABE是直角三角形.
(2)设AB=AC=x m,则AE=(x-25)m.
由(1)可知△ABE是直角三角形,∠BEA=90°,
∴BE2+AE2=AB2,
∴602+(x-25)2=x2,解得x=84.5.
故△ABC的周长为AB+AC+BC=84.5×2+65=234(m).
1.如果三条线段m,n,b满足b2=(m+n)(m-n),那么这三条线段组成的三角形是 ( )
A.等腰三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.等边三角形
D.以m为斜边的直角三角形
答案
1.D　【解析】　∵b2=(m+n)(m-n),∴b2=m2-n2,∴b2+n2=m2,∴这三条线段组成的三角形是以m为斜边的直角三角形.故选D.
2.[2021广东深圳罗湖区期中]如图,在一个由边长为1的小正方形组成的6×6的网格纸上,有A,B,C,D,E,F,G七个点(均在格点上),则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是 ( )
A.点A、点B、点C
B.点A、点D、点G
C.点B、点E、点F
D.点B、点G、点E
答案
2.C　【解析】　AB2=12+62=37,AC2=42+52=41,BC2=12+32=10,37+10≠41,不可以构成直角三角形,故选项A不符合题意;同理可得选项B,D也不符合题意;BE2=62+42=52,BF2=52+52=50,EF2=12+12=2,50+2=52,可以构成直角三角形,故选项C符合题意.故选C.
3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,则∠BPC的度数为 ( )
A.120°
B.135°
C.140°
D.145°
答案
3.B　【解析】　如图,过点C作CE⊥CP,并截取CE=CP,连接BE,PE,∴△PCE为等
腰直角三角形,∴∠CPE=45°,PE2=PC2+CE2=8.
∵∠ACP+∠PCB=∠BCE+∠PCB=90°, ∴∠ACP=∠BCE. 又∵AC=BC,
CP=CE,∴△APC≌△BEC,∴BE=PA=3.∵PB2=1,
BE2=9,∴PE2+PB2=BE2,∴△BPE是直角三角形,且∠BPE=90°,∴∠BPC=∠CPE+
∠BPE=45°+90°=135°.故选B.
4.[2021广东佛山南海区期中]如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,将△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,则DC的长为 .
答案
4.103　【解析】　因为52+122=132,即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形,∠C=90°.根据题意,得
AE=AC=5,DC=DE, ∠AED=∠BED=∠C=90°.设DC=x,则DE=x,BD=12-x.在Rt△BDE中,由勾股定理,得x2+(13-5)2=(12-x)2,解得x=103.。