北京高考数学文科试题及答案.doc

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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）
一、
本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 （A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i
⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 （A ）
45 (B)35 （C ）25 (D)15
⑷若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是 （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为：
(6)给定函数①12
y x =，②12
log (1)y x =+，③|1|y x =-，④1
2x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减
的函数序号是
（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ （7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为
（A ）2sin 2cos 2αα-+； （B ）sin 3αα+
（C ）3sin 1αα-+ （D ）2sin cos 1αα-+
（8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2， 动点E 、F 在棱11A B 上。

点Q 是CD 的中点，动点 P 在棱AD 上，若EF=1，DP=x ，1A E=y(x,y 大于零)， 则三棱锥P-EFQ 的体积：
（A ）与x ，y 都有关； （B ）与x ，y 都无关； （C ）与x 有关，与y 无关； （D ）与y 有关，与x 无关；
第Ⅱ卷（共110分）
二、
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
（9）已知函数
2log ,2,
2, 2.{
x x x x y ≥-=右图表示的是给
定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图， ①处应填写 ；②处应填写 。

（10）在ABC ∆中。

若1b =，c =23
c π
∠=
，则a= 。

（11）若点p （m ，3）到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式2x y +＜3表示的平面区域
内，则m= 。

（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a= 。

若要从身高在 [120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动 ，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数 应为 。

（13）已知双曲线22
221x y a b
-=的离心率为2，焦点与椭圆
221259x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点p （x ，y ）的纵坐标与横坐标的函数关系是
()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ； ()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴
所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动。

三、
解答：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分） 已知函数2
()2cos 2sin f x x x =+
（Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 （16）（本小题共13分）
已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式
（17）（本小题共13分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;
(18) （本小题共14分） 设定函数3
2()(0)3
a f x x bx cx d a =
+++，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

（19）（本小题共14分）
已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，椭圆C 交与不
同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； （Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当变化时，求y 的最大值。

（20）（本小题共13分）
已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，
12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…
A 与
B 之间的距离为111
(,)||i d A B a b -=
-∑
（Ⅰ）当n=5时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)A B ==，求A B -，(,)d A B ； （Ⅱ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; (Ⅲ) 证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数
绝密 使用完毕前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
⑴ B ⑵ C ⑶ D ⑷ A ⑸ C ⑹ B ⑺ A ⑻ C
二、提空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
⑼ 2x < 2log y x = ⑽ 1 ⑾ -3 ⑿ 0.030 3 ⒀ (4,0±
) 0y += ⒁ 4 1π+ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）
⒂（共13分）
解：（Ⅰ）22()2cos
sin 3
33f π
ππ=+=31144
-+=- （Ⅱ）2
2
()2(2cos 1)(1cos )f x x x =-+- 2
3cos 1,x x R =-∈
因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =±时()f x 取最大值2；当c o s 0x =时，()f x 去最小值-1。

⒃（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-=
所以1126
50
a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=
所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-
所以824q -=- 即q =3
所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-=
=-- ⒄（共13分）
证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。

因为EF ∥AG,且EF=1，AG=1
2
AG=1 所以四边形AGE F 为平行四边形 所以AF ∥EG
因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG 。

因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CE FG 为菱形。

所以CF ⊥EG. 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE. (18)(共14分) 解：由3
2()3
a f x x bx cx d =
+++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 因为2
()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩
（*）
（Ⅰ）当3a =时，又由（*）式得260
8120
b c b c +-=⎧⎨++=⎩
解得3,12b c =-=
又因为曲线()y f x =过原点，所以0d = 故3
2
()312f x x x x =-+
（Ⅱ）由于a>0,所以“3
2()3
a f x x bx cx d =
+++在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2
()20f x ax bx c '=++≥在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得295,4b a c a =-=。

又2
(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--
解0
9(1)(9)0
a a a >⎧⎨
∆=--≤⎩ 得[]1,9a ∈
即a 的取值范围[]1,9 （19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为
3
c a =
，且c =
1a b === 所以椭圆C 的方程为2
213
x y += （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<
由22
13
y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
得x =所以圆P
解得t =±
所以点P 的坐标是（0
， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2
2
2
()3(1)x y t t +-=-。

因为点(,)Q x y 在圆P 上。

所
以y t t =≤+设cos ,(0,)t θθπ=∈
，则cos 2sin()6
t π
θθθ+=+=+
当3
πθ=
，即1
2
t =
，且0x =，y 取最大值2. (20)(共13分)
（Ⅰ）解：(01,11,01,00,10)A B -=-----=（1,0,1,0,1） (,)0111010010d A B =-+-+-+-+-=3
(Ⅱ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈ 因为11,{0,1}a b ∈，所以11{0,1}(1,2,,)a b i n -∈=⋅⋅⋅ 从而1122(,,)n n n A B a b a b a b S -=--⋅⋅⋅-∈ 由题意知,,{0,1}(1,2,,)i i i a b c i n ∈=⋅⋅⋅ 当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-
当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1
(,)(,)n
i i
i d A C B C a b
d A B =--=
-=∑
(Ⅲ)证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n n A a a a B b b b C c c c S =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈
(,),(,),(,)d A B k d A C l d B C h ===
记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈由（Ⅱ）可知
(,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,)(,)d A B d A A B A d B A k d A C d A A C A d C A l d B C d B A C A h
=--=-==--=-==--= 所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k,(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数。

则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数
即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数。