2018年届河南开封市高中三年级上学期定位考试(10月)数学(理)

2018届河南省开封市高三上学期定位考试（10月）
数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集
，
，
，则
（ ）
A. B. C.
D. （0,1）
2.复数
，则 ( )
A. z 的共轭复数为
B. z 的实部为 1
C.
D. z 的虚部为
3．下列选项中，说法正确的个数是( )
(1)若命题p :0x R ∃∈，2000x x -≤，则p ⌝：20000x x x ∃∈->，R ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1
sin 2
A >
”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1541016a a +==，S ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-+，
当(0,2]x ∈时，2()2log x f x x =+，则(2015)f =（ ）
A ．5
B ．
2
1
C ．2
D ．-2 6.已知实数,x y 满足约束条件20
2201
x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪≤⎩
，则21()2x y z -=的最大值
是（ ） A ．
132 B ．116
C. 32 D ．64 7.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.
执行该
程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的
（ ）
A. 0
B. 25
C. 50
D. 75
8.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲共有多少种选考方法（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．19
9. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
10.如果存在正整数ω和实数ϕ
使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图所
示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11. 过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点(),0F c -作圆222x y a +=的切线，切点
为E ，延长FE 交抛物线2
4y cx =于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A 1
12.函数()(,2)x f x x e x =⋅∈-∞，，函数1()1[2,2][2,2]g x ax x x =+∈-∀∈-，，，
总存在唯一0(,2)x ∈-∞，使得01()()f x g x =成立，则实数的取值范围为 （ ）
A ．11(,)22-
B. 11[,]22-
C. 11(,)22e e e e ++-
D. 11
[,]22e e e e
++-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知平面向量a ，b ，c ，(1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k = ． 14.在平面区域Ω={（x ，y ）|≤x ≤
，0≤y ≤1}内任取一点P ，则点P 落在曲线y=cosx
15. 在
中，角，，的对边分别为，，，tan tan 2tan b B b A c B +=，且5a =，
的面积为的值为__________．
16.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 此时四面体ABCD 外接球的表面积为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足11a =,且122(1)(1)n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1
n n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）
如图，在三棱锥D-ABC 中，AB=2AC=2，CD=3，平面ADC ⊥平面ABC. （Ⅰ）证明：平面BDC ⊥平面ADC ； （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：
且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5
6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆E
截抛物线的准线所得弦长为
3
． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两个不同的点，线段AB 的中点为C ，O 为坐标原点，若
△OAB ，求||||AB OC ⋅的最大值．
21. （本小题满分12分）
已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；
（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.
22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:
cos sin x t y t α
α
=⎧⎨=⎩
()t 为参数 ，圆2C ：()
2
22y 4x -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程和交点坐标A (非坐标原点)； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设2C 与3C 的交点为B (非坐标原点),求
△OAB 的最大面积(O 为坐标原点) .
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣m|，m ＜0．
（Ⅰ）当m=-1时，求解不等式f （x ）+f （-x ）≥2-x ；
（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，求m 的取值范围．
高三数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. -8 14. 15. 7 16. 7π
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由已知可得
11
12
n n a a n n +-=+， ∴数列{
}n a n 是以1为首项，1
2
为公差的等差数列， ．．．．．．．．．．．．3分 ∴(1)
2
n n n a +=
. ．．．．．．．．
．．．．6分 （Ⅱ）211
2()(1)1
n b n n n n =
=⨯-++， ．
．．．．．．．．．．．8分11111
2[(1)()()]
2231n S n n =⨯-+-++-+…… ．．．．．．．．．．．．10分
122(1)11
n n n =⨯-
=
++ ．．．．
．．．．．．．．12分
18.解：（Ⅰ）由已知可得BC ⊥AC ， ．．．．．．．．．．．．2分
∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴BC ⊥平面ADC
，．．．．．．．．．4分 又∵BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥ADC. ．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
∵平面ADC ⊥平面ABC ，过D 作'DD CA ⊥的延长线于'D ，∴'DD ABC ⊥平面，
由余弦定理可得2cos 3ACD ∠=
，∴sin 3
ACD ∠=， ∴'sin DD CD ACD =⋅∠='s 2CD CD co ACD =⋅∠=，
C （0,0,0），A （1,0,0），B （0），
D （2,0
∵BC ⊥平面ADC
，∴n CB ==为平面ADC 的法向量，．．．．．．．．．．．．7分 设(,,)m x y z =为平面ADB
的一个法向量，AD =
，(AB =-
∴00
m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，可取(m =，．．．．．．．．．．．．9分
cos ,||||m n m n m n ⋅<>=
=⋅B-AD-C
的余弦值为23. ．．．．．．12分 19.解：（Ⅰ）0.3
0.2a b =⎧⎨=⎩
；．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅱ）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 可得等级系数2X 的概率分布列如下：
．．．．．．．．．．．．4分
∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；．．．．．．．．
．．．．6分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为6
16=，．．．．8分 ∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.8
1.24
=，．．10分 据此，乙厂的产品更具可购买性. ．．．．．．．．．．．．12分
20.解：
（Ⅰ）由题意得c =23
b a =
，∴1a b ==. ∴椭圆E 的方程为2
213
x y +=． ············································· 4分
（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
(1)当l 的斜率不存在时，A ，B 两点关于x 轴对称，
由△OAB 面积1||||2OAB S AB OC ∆=
⋅=，可得||||AB OC ⋅= ················· 5分 (2)当l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+，
联立方程组22
,1,3
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，得()
222316330k x kmx m +++-=，
由2212(31)0k m ∆=-+>得2231m k <+，
则122631km
x x k -+=+，21223331
m x x k -=+，（*） ····································· 6分
||AB = 原点O 到直线l
的距离d =
所以△OAB
的面积1||2S AB d =⋅=， 整理得222224(31)(31)m k m k +-=+，即222222(31)4(31)(2)0k m k m +-++=
所以222(312)0k m +-=，即22312k m +=，满足2212(31)0k m ∆=-+>， ········· 8分 结合（*）得123k x x m -+=，2212123(21)1
()222k m y y k x x m m m m m m
---+=++=+=+=，
则C 31(,)22k m m -，所以222
222
913(21)131||4422k m OC m m m +-+===-
， 222222222
222222
23121221||12(1)12(1)(33)2(1)(31)(2)k m m m m AB k k k k m m m m
-+-+=+⋅=+⋅=+==++， ········································································ 10分 所以2
22
2222
11[(3)(1)]11
||||(3)(1)44
m m AB OC m m -
++⋅=-+≤=，
当且仅当22
11(3)(1)m m -
=+，即m ＝±1时，等号成立，故||||2AB OC ⋅≤， 综上||||AB OC ⋅的最大值为2 ．．．．．．．．．．．．12分
21.解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．
∵当1a >时，ln 0a >，()
1ln x
a a -在R 上是增函数， ∵当01a <<时，ln 0a <，()
1ln x
a a -在R 上也是增函数，
∴当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数， ．．．．．．．．．．．．2分 又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞，
∴函数()f x 在x=0处取得极小值为1． ．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）∵存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，
∴只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ．．．．．．．．．．．．5分
又∵x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：
∴()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值
()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 ．．．．．．．．．7分
∵1
1
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121
()1(1)0g a a a a '=-=->+，
∴1
()2ln g a a a a
=--在()0,a ∈+∞上是增函数．
而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；
当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ．．．．．．．．．．．．9分 ∴当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，
函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥； 当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即
1
ln e 1a a
+-≥， 函数
1ln y a a =
+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e a <≤． ．．．．．．．．．．．．11分
综上可知，所求a 的取值范1
(0,][e,)
e a ∈∞+． ．．．．．．．．．．．12分
22.解：（Ⅰ）1C :
=θαρ∈（R ） ；2C ：=4cos ρθ ；交点坐标A ()4cos ,αα.（写出
直角坐标同样给分） ……………5分 （Ⅱ）4B π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，
∴14cos sin 24OAB S παα⎛⎫=
⋅⋅- ⎪⎝⎭=224πα⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
故△OAB 的最大面积是 ……………10分
23. 解：（Ⅰ）设()2(1)112(11)2(1)x x F x x x x x x -<-⎧⎪
=-++=-≤<⎨⎪≥⎩
)2G
x x =-（ 可解得{}
20x x x ≤-≥或 ……………5分 （Ⅱ）f （x ）+f （2x ）=|x ﹣m|+|2x ﹣m|，m ＜0．
当x ≤m 时，f （x ）=m ﹣x+m ﹣2x=2m ﹣3x ，则f （x ）≥﹣m ； 当m ＜x ＜
2m 时，f （x ）=x ﹣m+m ﹣2x=﹣x ，则﹣2
m
＜f （x ）＜﹣m ； 当x 2
m ≥
时，f （x ）=x ﹣m+2x ﹣m=3x ﹣2m ，则f （x ）≥-2m ．
则f （x ）的值域为[-
2
m
，+∞）， 不等式f （x ）+f （2x ）<1的解集非空，即为1＞-
2
m
，解得，m ＞-2， 由于m ＜0，则m 的取值范围是（-2，0）． ……………10分。