2019届高考数学大一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和配套练习文北师大版201805053

第2讲 等差数列及其前n 项和
一、选择题
1．(2017·汉中调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于
( )
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．－4 解析 法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 1＋6d ＝－8，
a 1＋d ＝2，
解得a 1＝5，d ＝－3.
法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C
2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为
( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A
3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有
( )
A ．a 1＋a 101＞0
B ．a 2＋a 100＜0
C ．a 3＋a 99＝0
D ．a 51＝51
解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝
a 1＋a 101
2
×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋
a 99＝0.
答案 C
4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于
( )
A ．0
B ．37
C ．100
D ．－37
解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，
∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.
答案 C
5．(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n
取最小值时，n ＝
( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d
，由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＝－11，
a 5＋a 9＝－2，
得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－13，d ＝2.
∴a n ＝－15＋2n .
由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤15
2.又n 为正整数，
∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题
6．(2017·南昌模拟)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1
－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N ＋且n ≥2)，则a 61＝________.
解析 由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2
，所以a 61＝S 61－S 60＝1212
－1192
＝480. 答案 480
7．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2
n ＝a 2
n ＋1＋a 2
n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则a 7＝________.
解析 由2a 2
n ＝a 2
n ＋1＋a 2
n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，可得数列{a 2
n }是等差数列，公差d ＝a 2
2－a 2
1＝3，首项a 2
1＝1，所以a 2
n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19. 答案
19
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.
解析 法一 由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝
m a 1＋a m
2
＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以
a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.
法二 因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以
公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝na 1＋n n －1
2
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
ma 1
＋m
m －1
2
＝0， ①
m －1
a 1＋
m －1
m －2
2
＝－2. ②
由①得a 1＝1－m 2
，代入②可得m ＝5.
法三 因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 也为等差数列．
所以
S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3
m ＋1
＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解． 答案 5 三、解答题
9．(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，
由题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝1，d ＝2
5
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35
. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2n ＋35.
当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋3
5<2，b n ＝1；
当n ＝4,5时，2≤2n ＋3
5<3，b n ＝2；
当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋3
5<4，b n ＝3；
当n ＝9,10时，4≤2n ＋3
5
<5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． (1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.
(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.
令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，
由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．
11．(2016·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小的一份为
( )
A.53
B.103
C.56
D.116
解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，
a ＋2m ，则有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
5a ＝100，a ＋a ＋m ＋a ＋2m ＝7a －2m ＋a －m ，
解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a
12
＝
53，即其中最小一份为5
3，故选A. 答案 A
12．(2017·郑州模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( )
A ．36
B ．6
C ．4
D ．2
解析 在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，令x >0，y >0，由基本不等式可得x ·y ≤⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立．又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a 6＋a 722
＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．即a 6·a 7的最大值为4，故选C.
答案 C
13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝
2n －3
4n －3
，则
a 9
b 5＋b 7＋
a 3
b 8＋b 4
的值为________．
解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9
b 5＋b 7＋
a 3
b 8＋b 4
＝
a 92
b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6
b 6
. ∵
S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝19
41
， ∴a 6b 6＝1941
. 答案
1941
14．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，
C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N ＋)，若对于任意n ∈N ＋，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．
解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列． ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，
整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.
(2)|a n |＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，
记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ≤2时，S n ＝
n 5＋8－3n
2＝－3n 2
2＋13
2
n ；
当n ≥3时，S n ＝7＋
n －2
1＋3n －82＝3n 2
2－13
2
n ＋14，
综上，S n
＝⎩⎨⎧
－3
2n 2
＋13
2n ，n ≤2，
32n 2
－13
2n ＋14，n ≥3.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主
动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。