数学高二-选修2-2素材 例题与探究 第一章2综合法和分析法

高手支招3综合探究
1.综合法和分析法
综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施.
分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.
2.用“分析——综合法”证明问题
既然是分析——综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来.“分析——综合法”又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为“分析——综合法”,其方法结构如图所示.
高手支招4典例精析
【例1】设a ＞0,b ＞0,a+b=1.求证:a 1+b 1+ab 1≥8. 思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察,可用综合法证之.
证明：∵a ＞0,b ＞0,a+b=1,∴1=a+b≥2ab ,∴ab ≤
21,∴ab 1≥4. ∴a 1+b 1+ab 1=(a+b)(a 1+b 1)+ab 1≥2ab ·2ab
1+4=8, ∴a 1+b 1+ab
1≥8. 【例2】已知α、β≠kπ+2
π(k ∈Z ),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin 2β. 求证:)
tan 1(2tan 1tan 1tan 12222ββαα+-=+-. 思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角θ,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.
证明：因为(sinθ+cosθ)2-2sinθ·cosθ=1,
将已知代入上式得:4sin 2α-2sin 2β=1.①
另一方面,要证)
tan 1(2tan 1tan 1tan 12222ββαα+-=+-,
即证)cos sin 1(
2cos sin 1cos sin 1cos sin 122222222β
βββαααα+-=+-, 即证cos 2α-sin 2α=
21(cos 2β-sin 2β), 即证1-2sin 2α=2
1(1-2sin 2β),即证4sin 2α-2sin 2β=1. 由于上式与①式相同,于是问题得证.
【例3】 已知x+y+z=1,求证:x 2+y 2+z 2≥3
1. 思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.
证法一(综合法):∵x 2+y 2+z 2=
3
1［3(x 2+y 2+z 2)］ =31［x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)］≥31(x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx)=31(x+y+z)2=3
1, ∴x 2+y 2+z 2≥3
1. 证法二(分析法):∵x+y+z=1,为了证明x 2+y 2+z 2≥31, 只需证明3x 2+3y 2+3z 2≥(x+y+z)2,
即3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx,
即2x 2+2y 2+2z 2≥2xy+2yz+2zx,
即(x 2-2xy+y 2)+(y 2-2xy+z 2)+(z 2-2zx+x 2)≥0,
即(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0.
∵(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0成立,
∴x 2+y 2+z 2≥3
1成立. 【例4】（2006辽宁高考，理18文19）已知正方形ABCD,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将△ADE 沿DE 折起,如图所示.记二面角A-DE-C 的大小为θ(0＜θ＜π).
(1)证明BF ∥平面ADE;
(2)若△ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.
思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.
(1)解：证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点,
∴EB ∥FD,且EB=FD.
∴四边形EBFD 是平行四边形.
∴BF ∥ED.
∵ED ⊂平面AED,而BF ⊄平面AED.
∴BF ∥平面AED.
(2)解法一:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,
过点A 作AG ⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC 、GD.
∵△ACD 为正三角形,
∴AC=AD.∴GC=GD.
∴G 在CD 的垂直平分线上.
又∵EF 是CD 的垂直平分线,
∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.
过G 作GH ⊥ED,垂足为H.连结AH,则AH ⊥DE,∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ. 设原正方形ABCD 的边长为2a,连结AF.
在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,
∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF.
∴AG=23a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE.
∴AH=52a
.∴GH=52a
.
∴cosθ=AH GH =4
1. 解法二:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,
连结AF,在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′.
∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点.
∴AF ⊥CD.
又∵EF ⊥CD,∴CD ⊥平面AEF.
∵AG′⊂平面AEF,∴CD ⊥AG′.
又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD ⊂平面BCDE,EF ⊂平面BCDE.
∴AG′⊥平面BCDE.
∴G′为A 在平面BCDE 内的射影G.
∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.
过G 作GH ⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH ⊥DE.
∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD 的边长为2a,
在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,
∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF. ∴AG=2
3a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE,
∴AH=52a
.∴GH=52a
.
∴cosθ=4
1=AH GH . 解法三:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.
连结AF ，在平面AEF 内过点A 作AG′⊥EF,垂足为G′.
∵△ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,
∴AF ⊥CD.
又∵EF ⊥CD,∴CD ⊥平面AEF.
∵CD ⊂平面BCDE,
∴平面AEF ⊥平面BCDE.
又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,
∴AG′⊥平面BCDE,即G′为A 在平面BCDE 内的射影G.
∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上.
过G 作GH ⊥DE,垂足为H,连结AH,则AH ⊥DE.
∴∠AHG 是二面角A-DE-C 的平面角,即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD 的边长为2a.
在折后图的△AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,
∴△AEF 为直角三角形,AG·EF=AE·AF. ∴AG=2
3a. 在Rt △ADE 中,AH·DE=AD·AE.
∴AH=52a
.∴GH=52a
.
∴cosθ=4
1=AH GH . 【例5】(2007海南、宁夏高考，理22（A ）)如图1,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是
⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
图1 图2
(1)证明A,P,O,M四点共圆;
(2)求∠OAM+∠APM的大小.
思路分析：利用四点共圆的判定定理即四边形对角互补,可证明出四点共圆,再利用圆中同弧所对角相等,找到角的相等关系,即可求得结果.
(1)证明:如图2，连结OP,OM，
因为AP与⊙O相切于点P,
所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点,
所以OM⊥BC.
于是∠OPA+∠OMA=180°,
由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,
所以A,P,O,M四点共圆.
(2)解:由(1)得A,P,O,M四点共圆,
所以∠OAM=∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.
所以∠OAM+∠APM=90°.
高手支招5思考发现
1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式,但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要保证不等号的方向始终如
一.
2.综合法是“由因导果”,分析法则是“执果索因”,这两种方法是对应统一的.解题时往往是综合法和分析法联合使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.
3.在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.
4.分析法是从结论出发,不断探寻,直到判定一个明显成立的条件.应用分析法,容易找到解题途径,但叙述较繁琐,不及综合法简明,这是它的缺点.
5.分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛.。