高二数学 不等式教案

2018-2019学年高二数学学好乐教育专属教案
不等式
（真题篇）
2018年11月17日
第一讲不等式的性质与解法
高考真题
题组1不等式的性质
1.[2015浙江,3,5分] 设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2015浙江,6,5分] 有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是() A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
3.[2013北京,2,5分] 设a,b,c∈R,且a>b,则()
A.ac>bc
B.<
C.a2>b2
D.a3>b3
题组2不等式的解法
4.[2017全国卷Ⅰ,5,5分]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
5.[2013重庆,7,5分] 关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=
()
A. B. C. D.
6.[2015广东,11,5分] 不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)
7.[2014江苏,10,5分] 已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.
名校模拟题
1.[2018贵阳市摸底考试,1]设集合A={x|(x-1)(x+2)<0},B={x|<0},则A∪B=()
A.(-2,1)
B.(-2,3)
C.(-1,3)
D.(-1,1)
2.[2018豫南九校第二次联考,8]若0<b<a<1,则下列结论不成立的是()
A.<
B.>
C.a b>b a
D.log b a>log a b
3.[2018武汉市部分学校调研测试,7]已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有()
A.>
B.sin ax>sin by
C.log a x>log b y
D.a x>b y
4.[2018惠州市二调,4]“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()
A.m>
B.0<m<1
C.m>0
D.m>1
5.[2018全国名校第二次联考,15]已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x+2,那么不等式f(x)+1<0的解集是.
6.[2018长春市高三第一次质量监测,13]已知角α,β满足-<α-β<,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是.
第二讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考真题
题组1二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.[2016浙江,4,5分] 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()
A. B. C. D.
2.[2015重庆,10,5分] 若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()
A.-3
B.1
C.
D.3
3.[2014安徽,13,5分] 不等式组表示的平面区域的面积为.
4.[2013山东,14,4分] 在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.
题组2线性目标函数的最值及取值范围问题
5.[2017全国卷Ⅰ,7,5分] 设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为()
A.0
B.1
C.2
D.3
6.[2017全国卷Ⅱ,7,5分] 设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是()
A.-15
B.-9
C.1
D.9
7.[2017全国卷Ⅲ,5,5分] 设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是()
A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
8.[2014新课标全国Ⅰ,11,5分] 设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=
()
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3
9.[2014山东,10,5分] 已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为 ()
A.5
B.4
C.
D.2
10.[2014广东,3,5分]若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=()
A.8
B.7
C.6
D.5
11.[2014安徽,5,5分]x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一
．．．,则实数a的值为()
A.或-1
B.2或
C.2或1
D.2或-1
12.[2014北京,6,5分]若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()
A.2
B.-2
C.
D.-
13.[2016全国卷Ⅲ,13,5分] 设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.
题组3线性规划的实际应用
14.[2017天津,16,13分] 电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 连续剧播放时长/分钟广告播放时长/分钟收视人次/万甲70 5 60
乙60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(Ⅰ)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
名校模拟题
1.[2018广东七校联考,3]设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是
()
A.3
B.4
C.6
D.8
2.[2018惠州市一调,5]点P(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的动点,则的最小值为()
A.-
B.-2
C.-3
D.-
3.[2018武汉市部分学校调研测试,8]某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克,B原料3千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克,每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元,公司在每天消耗A,B原料都不超过12千克的条件下,生产这两种产品可获得的最大利润为()
A.1 800元
B.2 100元
C.2 400元
D.2 700元
4.[2018武汉市部分重点中学高三起点考试,9]若x,y满足条件,则目标函数z=x2+y2的最小值是()
A. B.2 C.4 D.
5.[2017长沙五月模拟,3]已知变量x,y满足则z=8x·2y的最大值是 ()
A.33
B.32
C.35
D.34
6.[2017合肥市第三次质量监测,10]设x,y满足若z=2x+y的最大值为,则a的值为()
A.-
B.0
C.1
D.-或1
7.[2017甘肃兰州高考实战模拟,6]已知M(-4,0),N(0,-3),P(x,y)的坐标x,y满足则△PMN面积的取值范围是()
A.[12,24]
B.[12,25]
C.[6,12]
D.[6,]
第三讲基本不等式
高考真题
题组1利用基本不等式比较大小
1.[2015陕西,9,5分]设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=( f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()
A.q=r<p
B.p=r<q
C.q=r>p
D.p=r>q
题组2利用基本不等式求最值
2.[2015福建,5,5分] 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()
A.2
B.3
C.4
D.5
3.[2014重庆,9,5分] 若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是()
A.6+2
B.7+2
C.6+4
D.7+4
4.[2013山东,12,5分]设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()
A.0
B.1
C.
D.3
5.[2017山东,12,5分] 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.
6.[2017天津,13,5分] 若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.
7.[2015山东,14,5分] 定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.
8.[2015重庆,14,5分] 设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.
名校模拟题
1.[2018长春市高三第一次质量监测,7]已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为()
A.8
B.9
C.12
D.16
2.[2018合肥市高三调研,11]已知a>b>0,则a++的最小值为 ()
A. B.4 C.2 D.3
3.[2018湖北省部分重点中学高三联考,9]已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是()
A. B. C. D.-
4.[2017湖南省湘中名校高三联考,9]若正数a,b满足:+=1,则+的最小值为()
A.2
B.
C.
D.1+
5.[2017河北省石家庄市高三一检,14]已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为.
第一讲答案
真题
1.D若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.选D.
2.B采用特值法进行求解验证即可,若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=14,az+by+ cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=1
3.由此可知最低的总费用是az+by+cx.选B.
3.D对于A选项,若c<0,结论显然不正确;对于B选项,若a>0,b<0,则<显然不正确;对于C 选项,若a=1,b=-3,则a2>b2显然不正确.选D.
4.D∵f(x)为奇函数,且f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1,∵函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且-1≤f(x-2)≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,故选D.
5.A由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故
(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,解得a=,故选A.
6.(-4,1)-x2-3x+4>0⇒(x+4)(x-1)<0⇒-4<x<1.
7.(-,0)因为f(x)<0对于x∈[m,m+1]恒成立,所以解得
-<m<0.
模拟题
1.B A={x|-2<x<1},B={x|-1<x<3},所以A∪B={x|-2<x<3},故选B.
2.D对于A, 函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以当0<b<a<1时,<恒成立;对于B, 函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以当0<b<a<1时,>恒成立;对于C, 函数y=a x(0<a<1)单调递减,函数y=x a(0<a<1)单调递增,所以当0<b<a<1时,a b>a a>b a恒成立;当a=,b=时,log a b=2,log b a=,log a b>log b a,D选项不成立,故选D.
3.D对于A选项,不妨令x=8,y=3,a=5,b=4,显然=<=,A选项错误;
对于B选项,不妨令x=π,y=,a=2,b=,此时sin ax=sin 2π=0,sin by=sin =,显然sin ax<
sin by,B选项错误;
对于C选项,不妨令x=5,y=4,a=3,b=2,此时log a x=log35,log b y=log24=2,显然log a x<log b y,C选项错误;
对于D选项,∵a>b>1,x>y>0,∴a x>b x,b x>b y,∴a x>b y,D选项正确.
综上,选D.
4.C不等式x2-x+m>0在R上恒成立⇔Δ<0,即1-4m<0,∴m>,同时要满足“必要不充分”,在选项中只有“m>0”符合.故选C.
5.{x|x>0}由题意知,函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=-x+2,则当x>0时,-x>0,所以f(-x)=x+2,又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x-2,即f(x)=因
此不等式f(x)+1<0等价于或或解得x>0.
故不等式f(x)+1<0的解集为{x|x>0}.
6.(-π,2π)设3α-β=m(α-β)+n(α+β)=(m+n)α+(n-m)β,则解得
因为-<α-β<,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π.
第二讲答案
真题
1.B不等式组表示的平面区域如图D 7-2-9中阴影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),当这两条平行直线间的距离最小时,这两平行直线分别过点A,B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是分别过点A,B的两条平行直线间的距离,易得|AB|=,即这两条平行直线间的距离的最小值是,故选B.
图D 7-2-9
2.B作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-10中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由得即A(1-m,1+m).由得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.
图D 7-2-10
3.4作出不等式组表示的平面区域如图 D 7-2-11中阴影部分所示,可知S△ABC=×2×(2+2)=
4.
图D 7-2-11
4.作出不等式组表示的可行域,如图D 7-2-12中阴影部分所示,因此|OM|的最小值为点O 到直线x+y-2=0的距离,所以|OM|min==.
图D 7-2-12
5.D作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-13中阴影部分所示,平移直线y=-x,当直线经过点A(3,0)时,z=x+y取得最大值,所以z max=3+0=3.故选D.
图D 7-2-13
6.A依题意,在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域及直线2x+y=0(图略),平移直线y=-2x,当直线经过点(-6,-3)时,其在x轴上的截距最小,此时z=2x+y取得最小值,所以z min=2×(-6)+(-3)=-15,故选A.
7.B作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-14中阴影部分所示,作出直线l0: y=x,平移直线l0,当直线z=x-y过点A(2,0)时,z取得最大值2,当直线z=x-y过点B(0,3)时,z取得最小值-3,所以z=x-y的取值范围是[-3,2],故选B.
图D 7-2-14
8.B联立方程解得代入x+ay=7中,解得a=3或a=-5,当a=-5时,z=x+ay
的最大值是7;当a=3时,z=x+ay的最小值是7,故选B.
9.B解法一作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-15所示,根据目标函数的几何意义
可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2,两端平方得4a2+b2+4ab=20,又4ab=2×a×2b≤a2+4b2,所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4,
当且仅当a=2b,即b=,a=时等号成立.
图D 7-2-15
解法二由解法一可知2a+b=2,把2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a2+b2的最小值是坐标原点到直线
2a+b=2距离的平方,即()2=4.
10.C作出可行域(如图D 7-2-16中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z的值最大,由得则m=z max=2×2-1=3.当直线y=-2x+z经过点B 时,z的值最小,由得则n=z min=2×(-1)-1=-3.故m-n=6.故选C.
图D 7-2-16
11.D由题中条件画出可行域如图D 7-2-17,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2).
解法一则z A=2,z B=-2a,z C=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A=z B>z C或z A=z C>z B或z B=z C>z A,解得a=-1或a=2.
解法二目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.
图D 7-2-17
12.D作出线性约束条件的可行域.当k>0时,如图D 7-2-18(1)所示,此时可行域为y轴上方、直线x+y-2=0的右上方、直线kx-y+2=0的右下方的区域,显然此时z=y-x无最小值.当k<-1时,z=y-x取得最小值2;当k=-1时,z=y-x取得最小值-2,均不符合题意.当-1<k<0
时,如图 D 7-2-18(2)所示,此时可行域为点A(2,0),B(-,0),C(0,2)所围成的三角形区域,当直线z=y-x经过点B(-,0)时,z有最小值,即-(-)=-4⇒k=-.故选D.
(1)(2)
图D 7-2-18
13.-10作出不等式组表示的平面区域,如图D 7-2-19中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,z min=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.
图D 7-2-19
14.(Ⅰ)由已知,x,y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图D 7-2-20(1)中的阴影部分中的整点.
(1) (2)
图D 7-2-20
(Ⅱ)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y 轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.因为x,y满足约束条件,所以由图D 7-2-20(2)可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得即点M的坐标为(6,3).
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
名校模拟题
1.C解法一作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-20中阴影部分所示,作直线x+y=0,平移该直线,当直线经过点A(6,0)时,z取得最大值,即z max=6,故选C.
图D 7-2-20
解法二目标函数z=x+y的最值在可行域的顶点处取得,易知三条直线的交点分别为(3,0),(6,0),(2,2).当x=3,y=0时,z=3;当x=6,y=0时,z=6;当x=2,y=2时,z=4.所以z max=6,故选C.
2.D作出不等式组所表示的平面区域如图 D 7-2-21中阴影部分所示.由
可得故A(3,-1).的几何意义为直线OP的斜率,故当点P与点A重合时直线OP的斜率最小,此时k OP=-.
图D 7-2-21
3.C设生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,每天的利润为z元,x,y∈N.根据题意,有
z=300x+400y.
作出所表示的可行域,如图D 7-2-22中的阴影部分中的整点所示,
作出直线3x+4y=0并平移,当直线经过点A(0,6)时,z有最大值,z max=400×6=2 400,故选C.
图D 7-2-22
4.B作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-23中阴影部分所示.过原点O(0,0)作直线x+y-2=0的垂线,垂线段的长度d==,易知z min=d2=2,故选B.
图D 7-2-23
5.B因为z=8x·2y=23x+y,所以求z的最大值时,可先求出3x+y的最大值,设t=3x+y,作出不等式组表示的可行域如图 D 7-2-24中阴影部分所示,作直线3x+y=0,平移该直线,当直线经过点B(1,2)时,t取得最大值,t max=3+2=5,则z max=25=32.
图D 7-2-24
6.C解法一由z=2x+y存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符合题意.作出不等式组
所表示的平面区域,如图 D 7-2-25或图 D 7-2-26中阴影部分所示,作出直线
2x+y=0,并平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由得把代入2x+y=,解得a=1,故选C.
图D 7-2-25
解法二由z=2x+y存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符合题意.作出不等式组
所表示的平面区域,如图D 7-2-25或图D 7-2-26中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,并平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由
得把代入ax-y-a=0,解得a=1,故选C.
图D 7-2-26
7.C作出不等式组表示的平面区域如图D 7-2-27中阴影部分所示.又过点M(-4,0),N(0,-3)的直线的方程为3x+4y+12=0,而它与直线3x+4y=12平行,其距离d==,
所以当点P在原点O处时,△PMN的面积最小,其面积为△OMN的面积,此时S△OMN=×3×4=6;当点P在线段AB上时,△PMN的面积最大,为××=12,故选C.
图D 7-2-27
第三讲答案
高考真题
1.B因为0<a<b,所以>,又f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,故f()<f(),即q>p,因为r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln =f()=p,所以p=r<q.故选B.
2.C解法一因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且
仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.
解法二因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.
3.D因为log4(3a+4b)=log2,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且即
a>0,b>0,所以+=1(a>0,b>0),所以a+b=(a+b)(+)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号,故选D.
4.B==≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=2y2,+-=-+=-(-1)2+1≤1,当且仅当y=1时等号成立,故选B.
5.8∵直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴+=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)(+)
=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=2,b=4时等号成立,∴2a+b的最小值为8.
6.4=++,因为ab>0,所以由基本不等式可得++≥2+=4ab+≥4,当且仅当=,4ab=同时成立时等号成立.
7.因为x>0,y>0,所以x⊗y+(2y)⊗x=+==(+)≥,当且仅当=,即x=y时取等号.故x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.
8.3(+)2=a+b+4+2·≤9+2·=9+a+b+4=18,所以
+≤3,当且仅当a+1=b+3且a+b=5,即a=,b=时等号成立.所以+的最大值为3.
名校模拟题
1.B由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)(+)=++1+4≥2+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”,故选B.
2.D因为a>b>0,所以a++=(a+b++a-b+)≥+
=2+=3,当且仅当即a=,b=时等号成立.故选D.
3.D∵不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2), ∴在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的
关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+=4a+.∵a<0, ∴-(4a+)≥2=,即4a+≤-,故x1+x2+的最大值为-.故选D.
4.A由a,b为正数,且+=1,得b=>0,所以a-1>0,所以+=+=+
≥2=2,当且仅当=,即a=b=3时等号成立,所以+的最小值为2,故选A.
5.5+2因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=>0,所以a-3>0,所以
a+b=a+=a-3++5≥5+2=5+2,当且仅当a-3=,即a=3+,b=2+时等号成立.。