高中椭圆练习题

高中椭圆练习题
一、填空题（每空1分，共20分）
1. 椭圆的焦距为10，离心率为$\frac{2}{3}$，则椭圆的长轴长为
______________。

2. 椭圆的焦点在第一象限，离心率为0.8，焦距为4，则椭圆的标准方程为______________。

3. 椭圆的离心率为0.6，焦距为6，过焦点$F$作$PH$垂直于长轴于
点$H$，则直线$FH$的斜率为______________。

4. 椭圆的焦距为8，离心率为$\frac{1}{2}$，则椭圆的短轴长为
______________。

5. 椭圆的中心为$(2, -3)$，离心率为$\frac{3}{5}$，焦点在$y$轴上，则椭圆的方程为______________。

6. 已知椭圆的长轴长为10，焦点在$x$轴上，离心率为
$\frac{3}{5}$，则椭圆的焦距为______________。

7. 椭圆的长轴长为12，离心率为0.7，焦点在原点，则椭圆的方程
为______________。

8. 椭圆的离心率为$\frac{4}{5}$，焦距为6，则椭圆的焦点到直径
的距离为______________。

9. 椭圆的中心为$(3, -2)$，焦距为10，离心率为$\frac{3}{4}$，则
椭圆的方程为______________。

10. 矩形$WXYZ$是椭圆$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{4} = 1$内的一
对角线，点$P(1, 2)$在$WXYZ$内部，则点$P$到矩形的最短距离为
______________。

二、计算题（每题10分，共30分）
1. 椭圆的离心率为0.6，焦距为8，求椭圆的标准方程。

2. 已知椭圆的长轴长为12，离心率为$\frac{1}{2}$，求椭圆的焦点
坐标和方程。

3. 椭圆的离心率为0.8，焦距为10，求椭圆的长轴和短轴长度。

三、证明题（每题20分，共40分）
1. 设直线$l:y=x-1$与椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交
于点$P$和$Q$，其中$a>b>0$，且两点都在第一象限内。

证明：焦点到直线$l$的距离等于焦点到点$P$和点$Q$的距离之和。

2. 设直线$l:y=kx$与椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交
于点$P_1$和$P_2$，其中$a>b>0$，$k>0$。

证明：
$\overline{P_1P_2}$的斜率关于$k$的取值范围是$(-\frac{b}{a},
\frac{b}{a})$。

四、应用题（每题20分，共30分）
1. 某地区一座足球场为椭圆形，已知长轴长为100米，短轴长为80米。

今有两位运动员，在场边两焦点处开始奔跑（不与足球场碰撞）。

若两位运动员的速度分别为10米/秒和8米/秒，且初始时刻两位运动
员与一个焦点的距离均为60米，求两位运动员相遇的时间。

2. 设椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，$F_1(x_1, y_1)$和$F_2(x_2, y_2)$为椭圆的焦点。

现有一动点$P(x, y)$，满足$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=k(a+b)$，其中$k$为常数。

求动
点$P$的轨迹方程。

五、思考题（每题20分，共20分）
1. 椭圆$C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的长轴与直线$l_1:x-
3y+6=0$相切，短轴与直线$l_2:x+y-4=0$相切。

a）求椭圆的方程；b）
求两直线$l_1$和$l_2$的交点坐标。

答题完成后，将答案写在答题卡上，并交给监考老师。

祝您顺利！。