2025年高考数学一轮复习-5.3.1-两角和与差的三角函数【课件】

考法
化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测
高考可能会与三角恒等变换结合考查.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos αcos β+sin αsin β
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=___________________;
cos αcos β-sin αsin β
A.-
3
2
B.
3
2
1
C.2
)
1
D.
2
【解析】选D.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin
1
30°= .
2
3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
π
4
2 2cos(α+ )sinβ,则(
)
A.tan(α-β)=1
B.tan(α+β)=1
tan−tan
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=
;
1+tantan
tan+tan
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=
.
1−tantan
2.辅助角公式
asin α+bcos α=
2
+
2 sin(α+φ),其中sin
常用结论
两角和与差的公式的常用变形:
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
5
2
1
(π-β)= ,
2
则tan (α-β)的值为(
)
2
A.11
11
D.2
2
B.
11
11
C.
2
π
【解析】选A.因为α∈( ,π),所以cos
2
tan
3
α=- ,又tan
4
Байду номын сангаас
所以tan
1
(π-β)= ,所以tan
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.( √ )
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.( √ )
(3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.( × )
(4)公式asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.( × )
C.tan(α-β)=-1
D.tan(α+β)=-1
π
4
【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cos(α+ )sin β,
所以
π
2sin(α+β+ )=2
4
π
4
π
2cos(α+ )sin
4
β,
π
4
π
4
π
4
π
4
即sin(α+β+ )=2cos(α+ )sin β,所以sin(α+ )cos β+sin βcos(α+ )=2cos(α+ )sin β,
且sin α=-
1−cos 2 =-
π
因此,sin(α+ )=sin
4
4 2 3
1−(− ) =- ,
5
5
π
αcos +cos
4
3
2
4
2 7 2
(- )× +(- )× =- .
5
2
5
2
10
αsin
π
=
4
)
(2)(2024·湛江模拟)已知cos
1
A.
3
1
B.
2
C.
2
2
【解析】选D.因为cos
所以cos
提示:当α=β=0时,sin(α+β)=sin α+sin β,所以(1)正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成
立的条件可知,(2)正确,(3)错误;由辅助角公式可知,asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ)中φ的取值
与a,b的值有关,所以(4)错误.
2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(
所以cos
1
φ= ,sin
2
φ=
3
,
2
π
因为0≤φ<π,所以φ= .
3
1
x=2( sin
2
x-
3
cos
2
x),
核心考点·分类突破
考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用
[例1](1)若cos
7 2
A.
10
7 2
B.10
4
π
α=- ,α是第三象限角,则sin(α+ )=(
5
4
2
C.10
2
D.
10
【解析】选B.因为α是第三象限角,所以sin α<0,
第五章
第三节
三角函数
三角恒等变换
第1课时 两角和与差的三角函数
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向
高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=___________________;
sin αcos β-cos αsin β
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=___________________;
sin αcos β+cos αsin β
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=___________________;
即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,
所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,
故tan(α-β)=-1.
4.(记错公式形式导致错误)若将sin x- 3cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则
φ=


.
【解析】因为sin x- 3cos
π
4
π
4
所以sin(α+ )cos β-sin βcos(α+ ) =0,
π
所以sin(α+ -β)
4
π
4
π
=0,所以α+ -β=kπ,k∈Z,
4
所以α-β=kπ- ,所以tan(α-β)=-1.
方法二:由题意可得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β,
= 3(
=
1
α+ cos
2
3
cos
2
α+
1
α+ sin
2
π
3cos(α- )=1,
6
π
3
所以cos(α- )= .
6
3
D.
3
3
π
α+cos(α- )=1,
3
3
sin
2
α)
π
π
α+cos(α- )=1,则cos(α- )等于(
3
6
3
α= cos
2
α+
3
sin
2
α
)
(3)已知sin
3
π
α= ,α∈( ,π),tan
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
tan αtan β=1-
tan+tan tan−tan
tan(+)
=
tan(−)
-1.
φ=

2 + 2
,cos φ=

2 + 2
.