_2.3.2离散型随机变量的方差(一)

DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
( xi EX ) pi 为随机变量X的方差。
2
称 X
i 1
DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 尚 于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求 的分布列及期望E 。
尚
5.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财 产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内， 万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（a>100）， 问a如何确定，可使保险公司期望获利？
尚
3
2 10
4
1 10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 1 2 2 2 2 s [( x1 x ) ( xi x ) ( xn x ) ] n
1 2 2 2 2 2 s [(1 2) (1 2) (1 2) (1 2) ( 2 2) 10 加权平均 ( 2 2) 2 ( 2 2) 2 ( 3 2) 2 ( 3 2) 2 ( 4 2) 2 ] 1
课后练习：
1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元？
x
P
1000 0.97
1000－a 0.03
E x = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射 击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)
DX (0 2) 0.1 (1 2) 0.2 ( 2 2) 0.4
2 2 2
( 3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
X DX 1.2 1.095
尚
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。
8 0.41
P
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
尚
三、新课分析
（一）、随机变量的方差 1、定性分析 除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？ （1）分别画出 X1 , X 2 的分布列图.
2.3.2离散性随机变量的方差
学习目标
1.理解方差的定义式及作用。
2.掌握求方差的两大类方法。（定义式法和 特殊分布列的公式法）
尚
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X P
x1
x2
p1
p2
· · · · · ·
xi
pi
· · xn · · pn · ·
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
尚
相关练习：
1 1、 已 知 3x ， 且Dx 13, 则D 117 8
2、已知 ～B(n, p)，EX 8, DX 1.6, X 则n 10 p 0.8 ,
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。 2，1.98
x
p
1 0.7
Ex =1.43
2
3
4
5 0.34
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
3．计算随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 X
.
1
1 6
;
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
从而 EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5 6 6 6 6 6 6
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E (aX b) aEX b
尚
3、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0
P
p
1－p
则
EX p
4、如果随机变量X服从二项分布，即
X～ B（n,p），则
EX np
nM EX N
5、如果随机变量X服从超几何分布，
即X～ H（n,M,N）则
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
P
P
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 5 6 7 8 9 10 X 1 O 5 6 7 8 9 X2 （2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
尚 第二名同学的成绩更稳定.
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？ （1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差 （2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢？ （3）随机变量 X 的方差
尚
4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统 计，顾客采用的分起付款期数 x 的分布列为：
x
P
1 0.4
2 0.2
3 0.2
4 0.1
5 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5 期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的 利润。
练习
1.已知随机变量x的分布列为则Ex与Dx的值为( D ) (A) 0.6和0.7 (C) 0.3和0.7 (B)1.7和0.3 (D)1.7和0.21
x P 1 0.3 2 0.7
50 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. 25 5 99 E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____ 100 10
尚
二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03
5 0.01
6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20
8 0.31
9 0.27
10 0.10
9 0.33
第二名同学击中目标靶的环数
X 2的分布列为
尚
例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1
1800 2200 0.2 0.1
2
4 3 2 1 2 2 2 s (1 2) ( 2 2) ( 3 2) (4 2)2 10 10 10 10
2
尚
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X P
则称
n
x1
x2
p1
p2
· · · · · ·
xi
pi
· · xn · · pn · ·
1 1 1 1 2 2 2 DX (1 3.5) (2 3.5) (3 3.5) (4 3.5) 6 6 6 6 1 1 2 2 (5 3.5) (6 3.5) 2.92 6 6
2
X DX 1.71
尚
尚
六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式
D(aX b) a 2 DX
若X服从两点分布，则 p(1 p) DX
若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
nM ( N M )( N n) 若X~H(n,M,N) 则D(X)＝ N 2 ( N 1) 尚
解： 离散型随机变量X的分布列为：
X P c 1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
尚
三.方差的性质
1 D(C)=0 2、记住几个常见公式
D(aX b) a 2 DX
若X服从两点分布，则 p(1 p) DX
若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
nM ( N M )( N n) 若X~H(n,M,N) 则D(X)＝ N 2 ( N 1) 尚
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
尚
基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
求DX和σX。 解： 0 0.1 1 2 EX
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
尚
解：EX 1 1400 EX 2 1400 ,
DX1 40000, DX 2 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单位。
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
尚
五、方差的应用
例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 X1， X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
8 0.2
9 0.6
10 0.2
X2 P
8 0.4
9 0.2
10 0.4
EX 1 9, EX 2 9
DX1 0.4, DX2 0.8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？ 问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？ 问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX 1 9, EX 2 9
DX1 0.4, DX2 0.8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。 尚
X1 P
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量.
尚
(二)、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 10 4 3 2 1 1 2 3 4 2 10 10 10 10
X P 1
4 10
2
3 10