(整理)空间曲线的主法线曲面的几何性质

空间曲线的主法线曲面的几何性质目录
第一章绪论 (1)
第二章空间曲线的主法线曲面的曲率 (1)
2.1 第一基本形式 (1)
2.2 第二基本形式 (2)
2.3 法曲率 (2)
2.4 主曲率 (2)
2.5 高斯曲率 (3)
2.6 平均曲率 (3)
第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 (3)
3.1 渐近线 (3)
3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 (3)
3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 (4)
3.2 曲率线 (5)
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 (5)
3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 (5)
3.3 测地线 (6)
3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程 (6)
3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 (7)
3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 (7)
第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 (8)
4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 (8)
4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 (8)
第五章特殊曲线的主法线曲面的性质 (9)
5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 (9)
5.2正螺面的几何性质 (10)
致谢： (11)
参考文献： (12)
附录：............................................................................................ 错误!未定义书签。

第一章 绪论
本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入化的研究。

通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。

因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。

了解了曲面的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。

所以我们首先就是要给出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss 曲率、平均曲率等来刻画曲面的弯曲程度。

再通过研究曲面上的特殊曲线：渐近线、曲率线、测地线并给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件等等来说明主法线曲面的特殊性质。

最后通过研究特殊曲线的主法线曲面来深化以上的性质，使我们对于主法线曲面有更形象更深刻的认识。

第二章 空间曲线的主法线曲面的曲率
2.1 第一基本形式
第一基本形式描述了曲面的度量性质，它可以使我们计算出曲面上曲线的长度与区域的面积。

设任意空间曲线的自然参数表示为()r s ，α
βα••=为曲线上任意一点P 的主法
向量，则曲线()r s 的主法曲面为(,)()()x s t r s t s β=+。

根据空间曲线的伏雷内
（Frenet ）公式，即 ()()()()k s k s s s αβ
βτγγτβ•
••⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩
，则有
()[()()()()](1())()()()s x s t k s s s s tk s s t s s αατγατγ=+-+=-+，()t x s β=， 则曲面的第一基本量22()()(1())(())E r s r s tk s t s τ=•=-+，0F =，1G =。

因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是：
Ⅰ=2222222[(1())(())]Eds Fdsdt Gdt tk s t s ds dt τ++=-++。

2.2 第二基本形式
正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与挠率。

对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。

因此，我们引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。

曲面的单位法向量s t s t x x n x x ⨯=
==⨯， 22(())()(()(())(()))()()()
ss x t k s s k s t k s t s s t s s ατβτγ••=-+--+，
()()()()st x k s s s s ατγ=-+，
0tt x = 则有第二基本量分别为：
22ss L r n •••=•=
st M r n =•=，
0tt N r n =•=
因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是：
Ⅱ
222•••+。

2.3 法曲率
由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。

所以，我们用法曲率n k 刻画曲面上一点在方向ds dt
上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为：
2222
2222n Lds Mdsdt Ndt k Eds Fdsdt Gdt •••
++==++2.4 主曲率
曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的变量，在这些变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率1k 、2k 。

根据主曲率的计算公式222()(2)()0N N EG F k LG MF NE k LN M ---++-=。

即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为：
22222222()[(1())(())]0
(1())(())N N s tk s t s k k tk s t s τττ•••-+--=-+解之得：
1k = ，
2k = 2.5 高斯曲率
1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是
22
12222()[(1())(())]
M s K k k E tk s t s ττ--===-+， 它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总的弯曲程度。

当曲面的高斯曲率是常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。

不难发现，曲面上任意一点都有0K ≤，则空间曲线的主法线曲面上的点不可能是椭圆点。

同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面。

特别地，当且仅当对于曲面上任意一点0K ≡时，有挠率()0s τ≡，即空间曲线()r s 为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。

2.6 平均曲率
1k 、2k 是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是：
2212223/2()()()()()222[(1())(())]k k L t s k s t s t k s s H E tk s t s ττττ•••
++-===-+。

它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。

第三章 空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族
3.1 渐近线
3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程
空间曲面上渐近曲线的微分方程是2220Lds Mdsdt Ndt ++=。

由空间曲线的
主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是
220Lds Mdsdt +=，
即
2220•••+=
所得渐近线的微分方程为0ds =以及
22[()()()()()]2()0t s k s t s t k s s ds s dt ττττ•••
+-+= （3.1）。

整理（3.1）可得：2[()()()()]11()02()2()s k s k s s ds s ds dt s t s t τττττ•••-++=。

令1u t =，则有()()()()()2()2()du s s k s s k s u ds s s τττττ•••
-=--，可以发现上式是一次线性非齐次方程。

因此，根据常微分方程的常数变易法可得到（3.1）的通解为：
1t u ••
==。

综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为1s c =（其中1c 为常数），
t ••
=。

特别地，空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。

因为空间曲线的主
法线曲面的法向量是s t s t x x n x x ⨯===⨯，而曲线()r s 的主法向量是()s β，故n 与()s β的夹角是2
π，则曲线上任意一点处沿切方向的法曲率0n k =，即空间曲线()r s 在它的主法线曲面上是渐进曲线。

3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 由3.1.1可知空间曲线的主法线曲面的渐近网的方程是220Lds Mdsdt +=，而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。

因此，若该曲面的曲纹坐标网是渐近网，则必可推出0L =。

同样的，若0L =，则曲纹坐标网的方程与渐近网的方程相同，即该曲面的曲纹坐标网就是渐近网。

由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是0L =，即
220•••=， 则可以得到[()()()()]()0t s k s k s s s τττ•••-+=，由t 的任意性可知：
()0()()()()0
s s k s k s s τττ•
••⎧=⎪⎨⎪-=⎩，由微分知识可知()s τ和()k s 均为常数。

我们知道常见曲线——一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即
2
()()k s c s τ=（其中2c 为常数）的空间曲线称为一般螺线。

故我们有以下结论：
定理1 空间曲线()r s 的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是()r s 为空间的一般螺线。

3.2 曲率线
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程
空间曲面上曲率线的微分方程是
22()()()0EM LF ds EN LG dsdt FN MG dt -+-+-=。

由空间曲线的主法线曲面的第一、二基本量可知，此类曲面上的曲率线的微分方程是220EMds Ldsdt Mdt --=，即
222222[(1())(())]()[()()()()()]()0tk s t s s ds t s k s t s t k s s dsdt s dt ττττττ•••
-+-+--= 特别地，由球面的第一、二基本量22cos E R θ=，0F = ，2G R = ，2cos L R θ=-，0M =，N R =-可知1E G L M
==-，且L 、M 、N 不同时为零，故球面上的每一点都是圆点。

同时，平面上每一点处都有0L M N ===，故平面上每一点都是平点。

因此，我们可以知道平面上和球面上任意曲线都是曲率线。

3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 由3.2.1可知空间曲线的主法线曲面的曲率线网的方程是：
220EMds Ldsdt Mdt --=，
而曲纹坐标网的方程是0dsdt =，即0ds =或0dt =。

因此，若该曲面的曲纹坐标网是曲率线网，则必可推出0EM =，0M =。

同样的，若0M =，则曲纹坐标网的方程与曲率线网的方程相同，即该曲面 `的曲纹坐标网就是曲率线网。

由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 0M =
0=，解得()0s τ=。

我们知道()0s τ=的曲线是
平面曲线。

故此充要条件可以表述为：空间曲线()r s 的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是曲线()r s 为平面曲线。

3.3 测地线
3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程
因为空间曲线的主法线曲面(,)x s t 的第一基本量中0F =，所以(,)x s t 上的曲纹坐标网是正交网,则根据刘维尔（liouville ）公式可以得到该曲面上测地线（C ）11()()
s s s t t s =⎧⎨=⎩（其中1s 为（C ）的自然参数）的一阶微分方程为：
11
1
d ds ds ds dt ds ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩θθθθθ。

将2.1和2.2中的第一、二基本量带入可得
2211
1
1ln((1())(()))cos 2
sin d tk s t s ds t ds ds dt ds ⎧∂-+=⎪∂⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩θτθθθ， 特别地，我们可以知道空间曲线()r s 不可能为其主法线曲面(,)x s t 上的测地线。

由于空间曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线主法向量β与曲面的
法向量n 共线。

所以，如果空间曲线()r s 是其主法线曲面(,)x s t 上的测地线，则
必有0s n x •=，0t n x •=，并且有00
s t x x ββ•=⎧⎨•=⎩。

而对于空间曲线的主法线曲面而
言， 0s x β•≡，10t x β•≡≠，故空间曲线()r s 不可能为其主法线曲面(,)x s t 上的测地线。

3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 半测地坐标网的定义为：曲面上的坐标网，其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线。

因为空间曲线的主法线曲面上0F =，即曲纹坐标网是正交网，那么只要有s -曲线是测地线，则t -曲线必是其正交轨线，此时空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网。

当s -曲线是测地线时，有s -曲线的方程是0dt =。

由1
sin 0dt ds θ==得到，0θ=。

并且由刘维尔公式可知22ln((1())(()))0tk s t s t
τ∂-+=∂，即E 与t 无关，则有1E =。

而反过来，如果1E =时，那么s -曲线0dt =使得1
sin 0dt ds θ==，即0θ=。

代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s -曲线是测地线。

由此，我们可以知道：
定理2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网的充要条件是1E =。

3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 如果空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网，那么就是说s -曲线和t -曲线都是测地线。

又因为0F =可以知道该曲纹坐标网是测地网同时也必是半测地坐标网，即该曲面的第一基本形式是Ⅰ=22ds dt +。

s -曲线的方程为0dt =，由 1
sin 0dt ds θ==得到0θ=。

代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s -曲线是测地线。

同样的，t -曲线的方程为0ds =，由1cos 0ds ds θ==得到2
πθ=，则代入刘维尔方程可得0g k =，即t -曲线使测地线。

由此可知：
定理3 对于空间曲线的主法线曲面而言，若其曲纹坐标网是测地线网的充要条件与是半测地坐标网的充要条件一致，即1E =。

第四章 主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件
4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件
若空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面，即高斯曲率K 是常数，则得方程式 00K t K s
∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩，解之得()0s τ=。

在学习空间曲线的相关性质时，我们知道挠率恒等于零的空间曲线是平面曲线。

相反地，对于()0s τ≡的空间曲线()r s 而言，其所对应的主法线曲面(,)x s t 的高斯曲率是恒等于零的，即(,)x s t 是常曲率曲面。

即
定理4 空间曲线()r s 的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件是()r s 为空间的平面曲线，即()0s τ≡。

4.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件
定义1 当曲面的平均曲率是零时，我们就称此曲面是极小曲面。

极小曲面刻画的是过空间光滑闭曲线（C ）的曲面S ，使得（C ）包围的曲面区域面积最小。

如果空间曲线的主法线曲面(,)x s t 是极小曲面，那么必有
22223/2()()()()()02[(1())(())]
t s k s t s t k s s H tk s t s ττττ•••
+-==-+，即[()()()()]()0t s k s k s s s τττ•••-+≡。

故()()()()0()0s k s k s s s τττ•••⎧-=⎪⎨⎪=⎩，则()s τ和()k s 均为常数。

在3.1.2中我们也提到一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即
2
()()k s c s τ=（其中2c 为常数）的空间曲线称为一般螺线。

因此有以下结论： 定理5 空间曲线()r s 的主法线曲面是极小曲面的充要条件是()r s 为空间的一般螺线。

第五章 特殊曲线的主法线曲面的性质
通过以上四章的研究，我们知道了一般曲线的主法线曲面的许多重要的几何性质。

下面我们将通过讨论特殊曲线的主法线曲面的几何性质来深化对主法线曲面的几何性质的理解。

5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质
因为曲率()k s 和挠率()s τ均为常数，则不妨设3()k s c =，4()s c τ=（其中3c 、4c 为常数），那么此特殊曲线必定是一般螺线，并有()0k s •=和()0s τ•
=。

同时，可以计算得第一基本量是：2234(1)()E tc tc =-+，0F =，1G =，第二基本量是：
0,0L M N ===，故有第一、二基本形式分别为：
Ⅰ=222222342[(1)()]Eds Fdsdt Gdt tc tc ds dt ++=-++，Ⅱ
= 。

为了研究该类曲面的弯曲性，我们将进一步研究它们的法曲率、主曲率、高斯曲
率以及平均曲率。

根据空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式可得：
422341(1)()
c k tc tc ==-+
，4222342(1)()
c L k E tc tc ==--+。

则高斯曲率是2422234[(1)()]
c K tc tc =--+，平均曲率是0H =。

由此可知这一类的曲面都是极小曲面，并且当且仅当4()0s c τ==时，即该曲线是平面曲线时，该曲面才是可展曲面。

下面我们将通过讨论这类主法曲面上的特殊曲线渐近线、曲率线以及测地线来研究其几何性质。

根据空间曲面上的渐近曲线的方程可得s m =，t n =（其中
,m n 为常数）
，即曲面上的s -曲线和t -曲线都是渐近线，由此也可以推出其曲纹坐标网一定是渐进网。

同样的，根据空间曲面上的曲率线的方程可得：
22223444[(1)()]0tc tc c ds c dt -+-=
，解得：ds dt =或()0s τ≡。

则由此结果可以知道平面曲线生成的主法线曲面上的所有曲线都是曲率线。

如果此类曲面上的测地网是曲纹坐标网，那么就有2234(1)()1E tc tc =-+=，由t 的任意性可知必有34,c c 均为零，即()r s 为直线的时候此类主法线曲面上的曲纹坐标网才是测地线网。

5.2正螺面的几何性质
正螺面是微分几何曲面论中重要研究对象，其本身具有很多重要的几何性质。

我们下面就通过考察正螺面上某些特殊曲线的性质，使得正螺面的一些特征更加形象生动。

正螺面的方程为：{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则可以计算得第一、二基本量是1E =，0F =，22G u b =+
，0,0L M N ===，故有第一、二基本形
式分别为：Ⅰ=2222222()Edu Fdudv Gdv du u b dv ++=++，Ⅱ。

从
第二章的研究中可以知道，高斯曲率和平均曲率可以体现曲面的总体曲率，因此为了进一步探究正螺面的曲率，我们首先求得主曲
率1k =
和
2k =2
22b K u b -=+，平均曲率0H =。

由此可以说明正螺面是一个特殊的直纹面，而Ⅱ
0= ，即0du =或0dv =是沿着直纹
面的直母线。

因为0L N ==，由主法线曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件可知，正螺面的曲纹坐标网是渐近网，则一族渐近线是{}00cos ,sin ,r u v u v bv =，而另一族渐近线是{}000cos ,sin ,r u v u v bv =，所以正螺面上一族渐近线是直线，另一族是圆柱螺线。

并且由平均曲率0H =可知正螺面是极小曲面。

致谢：
本文是在杨明升老师的亲切关怀和精心指导下，在周围同学的热情帮助以及自己的不懈努力下完成的。

首先我要感谢数学科学学院四年来对我的培养，感谢学院老师和领导，是他们的谆谆教诲让我在南京师范大学这样好的学习实践的平台成长，使我在这四年中源源不断的汲取新的知识，不断进步。

然后我要感谢我的论文指导老师杨明升老师，他严谨的治学态度、渊博的知识、刻苦的钻研精神，开阔了我的眼界，并且鞭策我不断前进使我受益匪浅。

最后我要感谢我的家人，他们一直在我的背后默默的支持和鼓励着我，让我有了前进的动力。

参考文献：
（1）陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社，1990.
（2）梅向明、黄敬之，微分几何，第四版，高等教育出版社，2008.
（3）陈省身、陈维桓，微分几何讲义，北京大学出版社，1983.
（4）王幼宁，微分几何讲义，北京师范大学出版社，2003.
（5）孟道骥、梁科，微分几何，科技出版社，1999.
（6）苏步青、胡和生等，微分几何，人民教育出版社，1979.
（7）吴大任，微分几何，第三版，高等教育出版社，1979.
（8）虞言林、郝凤歧，微分几何讲义，高等教育出版社，1989
（9）王申怀、刘继志，微分几何，北京师范大学出版社，1988.
（10）宋鸿藻，微分几何及其应用，河南大学出版社, 1993.
（11）姜国英，黄宣国，微分几何一百例，高等教育出版社，1992.
（12）Ｈ. 霍普夫著.，吴大任译.，整体微分几何，科学出版社, 1987
（13）袁媛，刘立会，曲线的主法线曲面，东北大学学报，28（2007），NO.1, 145-148.
(14)M.do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc. 1976.
（15）K. Kenmotsu,Surfaces with constant mean curvature[J], Translations of Mathematical Monographs , 221(2003), 21-65.。