平面向量与三角函数教案

第十讲 平面向量及其应用
例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →
＝ （ ） 例题2.如图，在直角梯形ABCD 中，,1,3AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ∆内运动，
（含边界）， 设(),AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围是 .
例3.设P 是ABC ∆内一点，满足
()()()21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r
.则x 的取值范围是 .
.已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，
设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =u u u r u u u r ，AQ qQC =u u u r u u u r ，则（ⅰ）pq
p q
=+ ， （ⅱ）
1
2
S S 的取值范围是 .
例1. 在ABC V 中，60,3,B AC ∠==o 则2AB BC +的最大值为_________． 例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________．
例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b
+的
取值范围是____________． 例4.
在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若,CP AB PA PB ⋅=⋅uu r uu u r uu r uu r
则实数λ的值是
_________． 例5.
在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心，则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r
”，设a ，b ，c
分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB cMC ++=uuu r uuu r uuu
r r ，
则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________．
例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r
，x + 2y = 1，则cos B = _________．
例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r
的夹角为150°，
且
1
OA OB ==u u u r u u u r
，
23
OC =u u u r
．若
()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
，，则λμ+的值为_________．
例8. 在□ABCD 中，AB = 5，AD = 4，点P 在△BCD 内（包括周
界），设AP xAB y AD =+uu u r uu u r uuu r
，则一切点（x ，y ）形成区域的面积为_________．
例9. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD =uu u r uu u r ，||AD uuu r = 1，则AC AD ⋅uuu r uuu r = _________．
例10. 在△ABC 中，已知AB = 3，O 为△ABC 的外心，且OA BC ⋅uu r uu u r
= 1，则AC =
例11.
已知平面上三点,,A B C ，满足||2,||3AB BC ==u u u r u u u r
，
||4,CA =u u r
则23_________.AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
例12.
直线l 与函数sin ([0,])y x x π=∈的图像相切于点A ，切//l OP ，O 为坐标原点，P 为图
像的极值点，l 于x 轴交于B 点，过切点A 做x 轴的垂线，垂足为C ，则________BA BC ⋅=u u u r u u u r
P
D
C
B
A
x
A O
B
C
x
y
1 2
3 5.0-
3-
3-
例13.
在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥u u u r u u u r
，M 是BC 中点
（1）若||||AB AC =u u u r u u u r
，求向量2AB AC +u u u r u u u r 与向量2AB AC +u u u r u u u r 的夹角的余弦值；
（2）若O 是线段AM 上任意一点，且||||2AB AC ==u u u r u u u r
，求OA OB OC OA +u u u r u u u r u u u r u u u r g
g 的最小值； （3）若点P 是BC 边上的一点，且22AP AC AP AB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，||2AP =uuu r ，求||AB AC AP ++u u u r u u u r u u u r
的最
小值.
13.如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.
参考答案：
1.解析：2222|5a b |=(5a b)=25a 10a b +b ---⋅r r r r r r r r ，221
2511013()3492
⨯-⨯⨯⨯-+=，
故|5a b |7-=r r
.
2.解析：a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），∴a ＋b ＝（1，m －1），
又（a ＋b ）∥c ，∴2＋m －1＝0，∴m ＝－1.
3.解析：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图所示的坐标系.
由OA=2，0120=∠AOx ，所以(
)
()
,31-A ,120sin 2,120cos 20
0，即A ，
易求()()3,0C 1-0B ，，
，设 ()
()().
31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21
122121⎪⎩
⎪⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧==+=+=，，，，即OC OB
c b a 3
1
3--=.
4.解析：设向量a 与b 的夹角θ，有cosθ=
b
a • =
2
222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=－
10
10 ∴a 在b 方向上的投影=｜a ｜cosθ=5×（－
1010）=－2
2 5.解析：令c a b λμ=+r r r
，则(6,5)(2,4)(1,3)λμ=-+-.(6,5)(2,43)λμλμ=--+，
∴26435λμλμ-=⎧⎨-+=⎩，∴23217λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩
， ∴23212171522p a b a b a b =+--=--u r r r r r r
r .
6.解析：由题意，1a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为0
120，所以，01cos1202
a b a b ⋅==-r r r r ，
2c c c =⋅=r r r
Q (2)(2)a b a b -⋅-r r r r 22447a a b b =-⋅+=r r r r ，
7c ∴=r
，同理可得13d ∴=r .
而c d ⋅=r r 2217
(2)(3)7322
a b b a a b b a -⋅-=⋅--=-r r r r r r r r ，
设θ为c r 与d r
的夹角，则
.
7.解析：设点D 的坐标为（x ，y ），∵AD 是边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC
又∵C 、B 、D 三点共线，∴BC ∥
又=（x －2，y －1）， =（－6，－3），=（x －3，y －2）
∴⎩
⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x
解方程组，得x =
59
，y =5
7 ∴点D 的坐标为（
59，57），AD 的坐标为（－5
1
，52）. 8.解析：不妨设(,)C m n =u r
，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-r r r r ，对于()
//c a b +r r r ，
则有3(1)2(2)m n -+=+；又()
c a b ⊥+r r r ，则有30m n -=，则有77
,93m n =-=-
9.解析：所求五个力的合力为→
+→+→+→+→PE PD PC PB PA ，如图所示，
以PA 、PE 为边作平行四边形PAOE ，则→
+→=→PE PA PO ，
由正六边形的性质可知b |PA ||PO |=→
=→，且O 点在PC 上，
以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ，则→
+→=→PD PB PF ，
由正六边形的性质可知b 3|PF |=→
，且F 点在PC 的延长线上. 由正六边形的性质还可求得b 2|PC |=→
故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 6b 3b 2b =++，方向与→
PC 的方向相同.
10.解析：＝－＝（2 e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2，
∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋k e 2＝λ（e 1－4e 2） 于是可得⎩⎨
⎧-==λ
λ
42k ，解得k ＝－8.
11.证明：设＝a ，＝b ，＝c ，则＝c －b ，＝a －c ，＝b －a .
∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋|AB |2 ∴a 2＋（c －b ）2＝b 2＋（a －c ）2＝c 2＋（b －a ）2
即c ·b ＝a ·c ＝b ·a ，故AB ·OC ＝（b －a ）·c ＝b ·c －a ·c ＝0.
BC ·OA ＝（c －b ）·a ＝c
·a －b ·a ＝0，∴AB ⊥OC ，BC ⊥OA ，
∴点O 是△ABC 的垂心.
12.解析：设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，1AP a λ=u u u r r ，2AQ b λ=u u u r r
，因为G 是△ABC 的重心，
故1()3
AG a b =+u u u r r r ，
又111()33
PG AG AP a b λ=-=-+u u u r u u u r u u u r r r ，21PQ AQ AP b a λλ=-=-u u u
r u u u r u u u r r r ，
因为PG uuu r 与PQ uuu r 共线，所以PQ PG λ=u u u r u u u r ，即1121
1[()]()033
a b λλλλλ-++-=r r r ，
又a r 与b r 不共线，所以111()3
λλλ-=-及21
3λλ=，消去λ，得12123λλλλ+=.
（ⅰ）
121111
(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故
1pq p q
=+； （ⅱ）12111
()313
λλλλ=
≠-，
那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC S AB AC BAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠ 2112211113931()24
λλλλλ===
---+， 当P 与B 重合时，11λ=，当P 位于AB 中点时，112λ=，故11
[,1]2
λ∈， 故
12S S 41[,].92∈但因为P 与B 不能重合，故12S S 41
[,).92
∈ 13.解析：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
Q
,,,
()()
AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
θ
与
方向相同
即
=
=θ
时
故当⋅
最大
,
.
)
(0
cos其最大值为,1
.0。