2017-2018学年高中数学 课时达标训练(十二)新人教A版选修1-1

课时达标训练（十二）
[即时达标对点练]
题组1 抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A ．(6，＋∞)
B ．[6，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
2．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝－11x B ．y 2
＝11x C ．y 2
＝－22x D ．y 2
＝22x 题组2 抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y 2
＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64
4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则
k OA ·k OB 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．p 2
D ．－p 2
5．过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．
6．线段AB 是抛物线y 2
＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋
12＝0的距离为________．
题组3 直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2
＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点
8．设抛物线y 2
＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 B ．[－2，2]
C ．[－1，1]
D ．[－4，4]
9．在抛物线y 2
＝2x 上求一点P .使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
10．如图所示，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．
[能力提升综合练]
1．设AB 为过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p
2 B ．p C ．2p D ．无法确定
2．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
2
F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上
F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2
＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________．
6．抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若△ABF
为等边三角形，则p ＝________．
7．已知AB 是抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．
(1)证明：y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4；
(2)求1|AF |＋1
|BF |
的值．
8．如图，已知两条抛物线E 1：y 2
＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2
＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．
(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；
(2)过原点O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2
的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2
的值．
答 案 即时达标对点练
1. 解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p
2
＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p
2
，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 2. 解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－11
2
，
∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－112，0，即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2
＝－22x ，故选C.
3. 解析：选B 由抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2，0)， 得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2
＝8x 得(x －2)2
＝8x ， 即x 2
－12x ＋4＝0.
∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 4. 解析：选B k OA ·k OB ＝＝y 1x 1·y 2x 2＝
y 1y 2
x 1x 2
，
根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2
，
故k OA ·k OB ＝－p
2
p
24
＝－4.
5. 解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：8
6. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝7
2
，
∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝答案：9
4
7. 解析：选C ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)， ∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y 2
＝2px 的内部．
∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 8. 解析：选C 准线x ＝－2，Q (－2，0)， 设l ：y ＝k (x ＋2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，即交点为(0，0)，
当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1，1]．
9. 解：法一：设P (x 0，y 0)是y 2
＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝
|x 0－y 0＋3|2
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪y 2
02－y 0＋32
＝
||
（y 0－1）2＋522
，
当y 0＝1时，d min ＝524
，
∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.
法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2
－4×2m ＝0， ∴m ＝12
.
∴平行直线的方程为x －y ＋1
2
＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距
离，则d min ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－122＝
52
4，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.
10. 解：过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |，
又2|BF |＝|BC |，
∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°. 又|AF |＝3，
∴|AA ′|＝3，|AC |＝6，|FC |＝3. ∴F 到准线距离p ＝12|FC |＝3
2.
∴y 2
＝3x .
能力提升综合练
1. 解析：选C 当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 即为抛物线的通径，长度等于2p .
2. 解析：选B 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p
2
，代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2
＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2
2
＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2
＝4x ，准线方程为x ＝－1.
3. 解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1.
又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ， 同理∠BFB 1＝∠B 1FO . 于是∠AFA 1＋∠BFB 1
＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1， 故∠A 1FB 1＝90°.
4. 解析：选D 由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝4x ，y ＝2x －4得x 2
－5x ＋4＝0，
∴x ＝1或x ＝4.
5. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2
＝0， ∴x 1x 2＝4， ① ∵|FA |＝x 1＋p
2
＝x 1＋2，
FB |，
k ＝22
3.
⎭
⎪⎫，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 2
3＝1得|x |＝ 3＋p 2
4.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |
p
＝
3＋
p 2
4p
＝
33
，解得p 2
＝36，p ＝6. 答案：6
7. 解：(1)证明：过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 2或x ＝p
2.
当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －p 2时，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，
消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.由韦达定理得y 1y 2＝－p 2
. 又y 2
1＝2px 1，y 2
2＝2px 2，
∴x 1x 2＝y 212p ·y 22
2p ＝（y 1y 2）24p 2
＝p 2
4
. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时，x 1x 2＝p 2
4
，y 1＝p ，
y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2.
(2)设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2或x ＝p
2.
当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －p 2时，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.
∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.
∴x 1＋x 2＝p （k 2＋2）k 2，x 1x 2＝p 2
4
.
又|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p
2， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . |AF |·|BF |＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋p 2
＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 2(x 1＋x 2)＋p 2
2
＝p 2(x 1＋x 2＋p )＝p
2()|AF |＋|BF |， 即|AF |＋|BF |＝2
p
·|AF |·|BF |，
∴
1
|AF |＋1|BF |＝2p
. 当直线AB 的方程为x ＝p
2
时，
x 1＝x 2＝p
2
，y 1＝p ，y 2＝－p ，
∴|AF |＝|BF |＝p ，∴1|AF |＋1|BF |＝2
p
.
8. 解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，
则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，⇒A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，⇒A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1， 同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2， 所以
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，
2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，
2p 2k 2－2p 2k 1 ＝2p 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，
所以A 1B 1∥A 2B 2.
(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，A 1C 1∥A 2C 2，。