高考数学-导数进阶篇答案

进阶篇
一、切线问题全搞定
【练习1】
【练习2】
【解析】y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，
y ′|x ＝0＝1，∴所求切线方程为x －y ＋1＝0.
【答案】
x －y ＋1＝0
【练习3】
【解析】f ′(x )＝3x 2＋2f －1，令x ＝23，可得f ′＋2f ×23
－1，
解得f ′1，所以f (x ) 1.
答案
－1【练习4】
二、求函数表达式【练习1】
四、无参证明题
【练习1】
【答案】（Ⅰ）)0(1ln )(>+='x x x f ．
令0)(>'x f ，即01ln >+x ，得e x 1>，故)(x f 的增区间为),1(+∞e ；令0)(<'x f ，即01ln <+x ，得e x 1<，故)(x f 的减区间为)1,0(e ；∴)(x f 的单调增区间为),1(+∞e ，)(x f 的单调减区间为1,0(e
．（Ⅱ）)0(1ln )(F 2
>++=x x ax x ，)0(1212)(F 2>+=+='x x ax x ax x 当0≥a 时，恒有0)(F >'x ∴)(F x 在),0(+∞上为增函数，故)(F x 在),0(+∞∈x 上无极值；
当0<a 时，令0)(F ='x ，得a x 21-=,当)(F 0)(F )21,0(x x a
x ，，>'-∈单调递增，当)(F 0)(F )21(x x a
x ，，，<'∞+-∈单调递减．∴a a x 21ln 21)21(F )(F -+=-
=极大值，)(F x 无极小值；综上所述：0≥a 时，)(F x 无极值；0<a 时，)(F x 有极大值a
21ln 21-+,无极小值．
（Ⅲ）证明：设，)0(ln )(>-=x x e x g x 则即证2)(>x g ，只要证2)(min >x g ．∵，x e x g x 1)(-='∴027.12)5.0(21
<-<-='e g ，01)1(>-='e g 又x
e x g x 1)(-='在),0(+∞上单调递增∴方程0)(='x g 有唯一的实根t x =，且)1,5.0(∈t ．
∵当),0(t x ∈时，0(t)g )(='<'x g ；当),(+∞∈t x 时，0(t)g )(='>'x g ．∴当t x =时，t e x g t ln )(min -=．
∵0)(='t g 即t e t 1=，则t e t -=，∴t e t x g --=ln 1)(min 12t t =+>=，∴命题
得证．
【练习2】令()()()2g x x x f x '=+，所以()()11ln x x g x x x x e +=
--，()0,x ∈+∞，因此，对任意0x >，()21g x e -<+等价于()21ln 11
x
e x x x e x ---<++，由()1ln h x x x x =--，()0,x ∈∞，得()ln 2h x x '=--，()0,x ∈+∞，因此，当()20,x e -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；()2,x e -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()h x 的最大值为()221h e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+．设()()1x x e x ϕ=-+，
()1x x e ϕ'=-，所以()0,x ∈+∞时，
()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=，故()0,x ∈+∞时，()()10x
x e x ϕ=-+>，即11x
e x >+，所以()2
21ln 111x e x x x e e x ----≤+<++．因此，对任意0x >，()221e f x x x -+'<+恒成立．
五、讨论单调性
【练习1】【答案】：单调递增区间为),33(+∞，单调递减区间为3
30(，【练习2】
【答案】：(0，＋∞)
【练习3】
【答案】：(－2－2，－2＋2)
【练习4】
【答案】f′(x)＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x
，x ∈(0，＋∞)．由f′(x)>0，得，
x 2＋x ＋1>0，
解得0<x<1＋52
.故f(x)【练习5】
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x
.(1)当a ＝0时，f′(x)＝x －1x
，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.
∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a>0时，f′(x)＝
x x a a x a )1(1-++）（，∵a>0，∴a ＋1a >0.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.
∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
六、含参恒成立问题（简单的分析法和分参法）
【练习1】
【解析】
f(x)=-1/2x 2+a ln(x+2)在区间(-1,+∞)上为减函数
则：f'(x)=-x +a/(x+2)≤0,x∈(-1,+∞)
a/(x+2)≤x 因x+2>0
a≤x(x+2)
又U=x(x+2)=(x+1)2-1在x∈(-1,+∞)上的满足U>-1
所以a≤-1
【练习2】
【解析】
七、数列思想在导数证明中的应用
【练习1】
【练习2】
【练习3】
【解析】
八、放缩秒杀导数大题【练习1】
【练习2】
九、一种特殊的证明恒成立的方法【练习1】
【解析】原不等式
2ln 0x x x --< 设
2
()ln h x x x x =--则
2222122(2)(1)'()1x x x x h x x x x x -++--+=-+==max (0,2),'()0,()(2,'()0,()(2)ln 230
x h x h x x h x h x h ∈>∈+<==-<单调递增∞），单调递减故h(x)【练习2
】。