2020北京通州高一(上)期末数学

2020北京通州高一（上）期末
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）函数f（x）＝log2x是（）
A．（0，+∞）上的增函数B．（0，+∞）上的减函数
C．R上的增函数D．R上的减函数
2．（5分）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）
A．y＝log0.5x B．y＝sin x C．y＝cos x D．y＝tan x
3．（5分）函数f（x）＝lnx+3x﹣4的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，4）
4．（5分）在0°～360°范围内，与﹣80°角终边相同的角是（）
A．80°B．100°C．240°D．280°
5．（5分）若角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα等于（）
A．4 B．﹣3 C．D．﹣
6．（5分）把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数g（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
7．（5分）“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c 的取值范围是（）
A．（1，2019）B．（1，2020）C．（2，2020）D．[2，2020]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为．
10．（5分）函数y＝sin x+cos x的最小值是．
11．（5分）三个数1.70.3，log0.51.1，sin1按由小到大的顺序排列是．
12．（5分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）在[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a的值为．
13．（5分）能说明“若f（x）是奇函数，则f（x）的图象一定过原点”是假命题的函数是f（x）＝．
14．（5分）已知函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中，a，ω为常数，且ω＞0）有且仅有3个零点，则a 的值为，ω的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3．
（Ⅰ）设集合A＝{x|f（x）＞0}，B＝{x|f（x）＝0}，C＝{x|f（x）＜0}，分别指出2，3，4是A，B，C中哪个集合的元素；
（Ⅱ）若∃a∈R，∀x1，x2∈[a，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），求实数a的取值范围．
16．（13分）已知函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x）（a＞0，a≠1），
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（0.5）≈0.42，求f（﹣0.5）的值（精确到0.01）．
17．（13分）已知α是第二象限角，且sinα＝，
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（14分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调区间；
（Ⅲ）若对任意x1，x2∈[0，π]都有|f（x1）﹣f（x2）|＜m，求实数m的取值范围．
19．（13分）如表为北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）．
阶梯户年用水量
（立方米）水价其中
自来水费水资源费污水处理费
第一阶梯0﹣180（含） 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯181﹣260
（含）
7.00 4.07
第三阶梯260以上9.00 6.07
（Ⅰ）试写出水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少？
20．（14分）如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C，D为半圆上的点．（Ⅰ）请你为C点确定位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；
（Ⅱ）已知AD＝DC，设∠ABD＝θ，当θ为何值时，
（ⅰ）四边形ABCD的周长最大，最大值是多少？
（ⅱ）四边形ABCD的面积最大，最大值是多少？
2020北京通州高一（上）期末数学
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．【分析】对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1），定义域为（0，+∞）；当a＞1时在（0，+∞）上为增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上为减函数．
【解答】解：y＝log a x（a＞0且a≠1），定义域为（0，+∞）；
当a＞1时，在（0，+∞）上为增函数，
当0＜a＜1时，在（0，+∞）上为减函数．
本题a＝2＞1，故y＝log2x在（0，+∞）上为增函数．
故选：A．
【点评】本题是考查对数函数的定义域以及单调性，需要掌握对数函数的基础知识．
2．【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：由于选项：A不是周期函数．
选项B不是偶函数，选项D不是偶函数，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对定义的应用能力．
3．【分析】由函数的解析式求得f（2）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+3x﹣4在其定义域上单调递增，
∴f（2）＝ln2+2×3﹣4＝ln2+2＞0，f（1）＝3﹣4＝﹣1＜0，
∴f（2）f（1）＜0．
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（1，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．
4．【分析】与﹣80°角终边相同的角的集合是：{α|α＝k•360°+280°，k∈Z}．由此能求出结果．【解答】解：与﹣80°角终边相同的角的集合是：{α|α＝k•360°+280°，k∈Z}．
∴在0°～360°范围内，与﹣80°角终边相同的角是280°．
故选：D．
【点评】本题考查终边相同的角的求法，考查终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】直接利用三角函数的定义即可得出．
【解答】解：∵x＝﹣3，y＝4，
∴|OP|＝＝5，
∴sinα＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的定义，属于基础题．
6．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由题意，将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当时，成立．
当α＝时，满足，但不成立．
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础．
8．【分析】作出函数的图象，由已知f（a）＝f（b）＝f（c），且a≠b≠c，结合函数的图象可得0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜2019，且πa+πb＝π，从而可求．
【解答】解：由已知f（a）＝f（b）＝f（c），且a≠b≠c
结合函数的图象可得0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜2019，
且πa+πb＝π即a+b＝1，
∴a+b+c＝1+c∈（2，2020）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数与方程的综合应用，解题的关键是要根据已知函数的解析式做出函数的图象，进而根据函数的图象及三角函数的性质可得且πa+πb＝π，还要熟练掌握对数函数的性质．体现了数形结合的思想在解题中的应用．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为＝π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
10．【分析】运用三角函数的辅角公式将函数解析式化简即可得到答案．
【解答】解∵y＝2sin（x+），∴y的最小值是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式．辅角公式在每年的高考中必考，要灵活运用．
11．【分析】利用三角函数、指数函数对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：三个数1.70.3＞1，log0.51.1＜0，sin1∈（0，1）．
∴三个数1.70.3，log0.51.1，sin1按由小到大的顺序排列为：log0.51.1＜sin1＜1.70.3．
故答案为：log0.51.1＜sin1＜1.70.3．
【点评】本题考查了三角函数、指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．【分析】利用对数函数的单调性，当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数，所以y＝log a x在[1，4]上最大值为log a4，最小值为log a1；
当0＜a＜1，时，y＝log a x在（0，+∞）上为减函数，所以y＝log a x在[1，4]上最大值为log a1，最小值为log a4．
【解答】解：，当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数，
所以y＝log a x在[1，4]上最大值为log a4，最小值为log a1；
当0＜a＜1，时，y＝log a x在（0，+∞）上为减函数，
所以y＝log a x在[1，4]上最大值为log a1，最小值为log a4．
故有log a1+log a4＝2
即log a4＝2
a2＝4
a＝±2
又a＞0，所以a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数函数的单调性以及对数指数运算．
13．【分析】只需找出一个函数是奇函数，同时不过原点即可．
【解答】解：依题意，所求函数只需满足是奇函数，同时不过原点即可，
显然，函数满足条件．
故答案为：．
【点评】本题考查命题及函数的奇偶性，考查逻辑推理能力，熟悉常见函数的性质是解题的关键，属于基础题．
14．【分析】分析可知，x＝0必为函数的一个零点，由此求得a＝﹣1，再根据三角函数图象变换性质，可求得ω的取值范围．
【解答】解：函数y＝a+cosωx在[﹣π，π]上为偶函数，又函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]有且仅有3个零点，故必有一个零点为x＝0，且函数的零点个数必为奇数，
∴a+cos0＝0，
∴a＝﹣1；
又函数y＝cosωx﹣1，x∈[﹣π，π]的零点个数，即函数y＝cosωx与直线y＝1的图象在[﹣π，π]上交点的个数，
而函数y＝cosωx相当于函数y＝cos x纵坐标不变，横坐标扩大（或缩小）为原来的倍，
当ω＝1时，函数y＝cos x与直线y＝1在[﹣π，π]上仅有一个交点，则ω＞1，；
当ω＝2时，函数y＝cos2x与直线y＝1在[﹣π，π]上恰有3个零点，如图，
故ω≥2；
当ω＝4时，函数y＝cos2x与直线y＝1在[﹣π，π]上恰有5个零点，如图，
故ω＜4；
综上，ω的取值范围是[2，4）．
故答案为：﹣1，[2，4）．
【点评】本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及逻辑推理能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．【分析】（Ⅰ）根据题意，由一元二次不等式的解法求出x2﹣2x﹣3＞0的解集，即可得集合A、B、C，据此分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，
若x2﹣2x﹣3＞0，解可得x＞3或x＜﹣1，
则A＝{x|x＞3或x＜﹣1}，B＝{x|x＝﹣1或3}，C＝{x|﹣1＜x＜3}；
则2∈C，3∈B，4∈A；
（Ⅱ）因为二次函数f（x）的图象是开口朝上的抛物线，且对称轴是x＝1，
所以f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在[1，+∞）单调递增．
因为∃a∈R，∀x1，x2∈[a，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[a，+∞）上单调递增．
所以[a，+∞）⊆[1，+∞），
所以a≥1，即a的取值范围是{a|a≥1}．
【点评】本题考查二次函数的性质，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．
16．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可；
（Ⅱ）判断f（﹣x）＝f（x），从而求出f（﹣0.5）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（1+x）+log a（1﹣x），
得解得﹣1＜x＜1；
所以函数f（x）的定义域是（﹣1，1）；
（Ⅱ）因为f（﹣x）＝log a[1+（﹣x）]+log a[1﹣（﹣x）]
＝log a（1﹣x）+log a（1+x）
＝f（x），
所以f（﹣0.5）＝f（0.5）≈0.42．
【点评】本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题，是基础题．
17．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．
（Ⅱ）由题意利用二倍角公式、诱导公式，求出的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵α是第二象限角，且sinα＝，
∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．
（Ⅱ）＝1﹣2sin2α﹣sinα＝1﹣2×﹣＝﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．
18．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的部分图象求出T、ω和φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，再求函数在x∈[0，π]上的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出函数f（x）在[0，π]的最大值和最小值，得出|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，从而求得m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，
由图可知，，所以T＝π；
又，ω＞0，所以；
又，所以．
因为，
所以，
所以，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因为当x∈[0，π]时，，
所以当，即时，f（x）单调递增；
当，即时，f（x）单调递减；
当，即时，f（x）单调递增；
所以函数f（x）单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数f（x）在[0，π]的最大值为，最小值为，所以对任意x1，x2∈[0，π]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|2﹣（﹣2）|＝4，
且当x1＝，时，|f（x1）﹣f（x2）|取到最大值4．
因为对任意x1，x2∈[0，π]，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜m成立，
所以m＞4，即m的取值范围是{m|m＞4}．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19．【分析】（Ⅰ）由北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米），能求出水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式．
（Ⅱ）由于函数y＝f（x）在各区间段为单调递增函数，当x∈[0，180]时，y≤f（180）＝900＜1040当x∈（180，260]时，900＜y≤f（260）＝1460＞1040．所以180＜x≤260．令1040＝7（x﹣180）+900，解得x ＝200．即该用户当年用水量为200立方米．由此能求出其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少．
【解答】解：（Ⅰ）由北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）．
得到水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式为：
（5分）
（Ⅱ）由于函数y＝f（x）在各区间段为单调递增函数，
所以当x∈[0，180]时，y≤f（180）＝900＜1040
当x∈（180，260]时，900＜y≤f（260）＝1460＞1040．
所以180＜x≤260．
令1040＝7（x﹣180）+900，解得x＝200．即该用户当年用水量为200立方米．
自来水费为2.07×180+4.07×20＝454（元）
水资源费为1.57×200＝314（元）
污水处理费1.36×200＝272（元）．
【点评】本题考查函数表达式的求法，考查居民年交水费中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少的求法，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
20．【分析】（Ⅰ）解法一：由点C在半圆上，AB是直径，得出a2+b2＝c2；利用基本不等式a+b≤c，求得△ABC周长的最小值以及点C是半圆的中点．
解法二：由点C在半圆上，AB是直径，利用三角函数求出a＝c•cosα，b＝c•sinα，计算△ABC周长的最小值以及对应点C是半圆的中点．
（Ⅱ）（ⅰ）利用三角函数值表示四边形ABCD的周长p，再求p的最大值；（ⅱ）利用三角函数值表示出四边形ABCD的面积s，再求s的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）点C在半圆中点位置时，△ABC周长最大；理由如下：
解法一：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，
所以，即△ABC是直角三角形；
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，显然a，b，c均为正数，则a2+b2＝c2；
因为a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，
所以2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，
所以，
所以△ABC周长为L＝，当且仅当a＝b时等号成立；
即△ABC为等腰直角三角形时，周长取得最大值为2+2；此时点C是半圆的中点．
解法二：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，
所以，即△ABC是直角三角形；
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，，
则a＝c•cosα，b＝c•sinα，
所以△ABC周长为L＝a+b+c＝c•cosα+c•sinα+c＝2（cosα+sinα）+2＝，因为，所以；
所以当，即时，△ABC周长取得最大值为；
此时点C是半圆的中点．
（Ⅱ）（ⅰ）因为AD＝DC，
所以∠ABD＝∠DBC＝θ；
所以AD＝DC＝AB•sinθ，CB＝AB•cos2θ；
设四边形ABCD的周长为p，
则p＝AD+DC+CB+AB＝2AB sinθ+AB cos2θ+2＝；
显然，所以当时，p取得最大值5．
（ⅱ）过O作OE⊥BC于E，设四边形ABCD的面积为s，四边形AOCD的面积为s1，△BOC的面积为s2，
则＝＝sin2θ+cos2θ•sin2θ＝sin2θ（1+cos2θ）；
所以s2＝sin22θ（1+cos2θ）2＝（1﹣cos22θ）（1+cos2θ）2
＝（1﹣cos2θ）（1+cos2θ）3
＝
＝
＝
＝．
当且仅当3（1﹣cos2θ）＝1+cos2θ，即时，等号成立；
显然，所以，所以此时；
所以当时，，即四边形ABCD的最大面积是．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．。