如何妙学垂径定理

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2013-01治学之法
学好垂径定理是学好圆的关键,对农村学生来说,要学好垂径定理,所花费的时间和精力就要比别人多得多。

他们不能通过大量的资料查找,只能仔细地观察生活,从生活中提炼有关垂径定理的知识,并用于指导他们学会更好地生活。

通过多次的学习与交流,我总结出了农村学生学好垂径定理的小小妙招。

一、激发学生的学习积极性观察现实生活中与垂径定理有关的事物,组织编题,并提问,从而激发学生的学习兴趣,让他们愿意思考,勇于探索。

例如,某地(当地地名)有一石拱桥是圆弧形,正常水位下水面宽是50m ,水面到桥拱的距离为12m ,每年端午节可能涨水,涨水时,水面到拱
桥的距离不能低于2m ,否则就要采取应急措施,如果今年涨水时水面宽为25m ,请问是否要采取应急措施。

这是学生生活中可能会遇到的问题,所以许多学生都会思考到底用什么知识来解答。

遇到这样的问题可以让学生积极地交流、讨论。

经过讨论,学生得出
好几种实用的解决办法。

比如,(1)在拱桥中央用一根2m 长的竹竿去测。

(2)在拱桥中
央吊一根2m 的绳索去测,绳索接近水面的一端固定重物。

学生各抒己见,与此同时我们要考虑拱桥足够高时又该怎么办,因此我也和学生交流一下我的方法(可以利用这个理论知识解决半径足够长时的圆的问题):要求当涨水时,水面宽为25m 时是否采取应急措施,只要求出桥拱到水面的距离。

当这距离小于25m 时,则无需采取应急措施,因此只有求出桥拱的半径R ,然后运用几何代数式解求R 。

解:不需要采取应急措施。

设桥拱的半径为R ,则:R -(R -12)=25,解得R =32。

当拱桥与水面距离为2m 时,水面宽应为2×32-(32-2)=24。

∵25>24∴当水面宽为25m 时,水面与桥拱距离大于2m ,无需采取应急措施。

二、引导学生正确理解垂径定理
垂径定理是由圆具有对称性引申而来的。

讲解垂径定理要先让学生复习弦、弧、直径、轴对称图形的性质,特别是对称轴垂直平分对应点的连线段。

由对称轴垂直平分对应点的连线段引申到弦、弧、直径的关系。

具体操作如下:①在纸上画一圆,标明直径AB ;②沿AB 对折,在两半圆上任找一重合点记为C 与D ;③打开,连接C 、D ;④把AB 和CD 的交点记作E ,圆心记为O ,根据轴对称图形的性质可知AB 垂直平分CD ,通过实际操作得AC 与AD 重合,BC 与BD 重合,CE 与DE 重合,由此可得出:若AB 是直径,且AB ⊥CD ,则AC =AD ,BC =BD ,CE =DE 。

描述为:垂直于弦的直径平分弦
所对的两弧
(优弧和劣弧)。

题设:圆的直径垂直于弦。

结论:弦被直径平分,弦所对的两条弧也被平分。

三、巧妙记忆,推出垂径定理的推论
垂径定理包含五点内容:①过圆心的直径;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

其中任取两个作为题设,另外三个作为结论都是成立的。

例如,已知平分于弦的直径,垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧。

四、运用所学解决问题在运用垂径定理解决问题时,我们往往会发现:1.图形在变化,因此我们就必须掌握它有哪些变式?①求平行弦之间的距离(弦在直径的同侧或异侧)。

例如,把两根很直的木棍平行放在簸箕里,已知木棍的长度分别是1.2m 和0.8m ,而簸箕的半径为1m 。

问:这两根木棍之间的距离是多少?这是现实生活中同学们常见的两样东西,所以他们会很快想出有两种方法,把簸箕看成一个圆。

一种方法是把木棍放在直径的同侧;另一种是放在直径的两侧。

方法想出后,请同学把实际问题抽象化,求出两根木棍间的距离。

本题容易忽略第二种方法,本题体现了数学中常用的分类讨论思想,由于圆是轴对称图形,涉及圆内两平行弦的几何问题,在解题时一定要考虑全面,分类求解不
能漏解。

②垂径定理往往要与勾股定理结合。

作图时常常要构造直角三角形,再利用勾股定理计算。

2.解题时,还需作辅助线,那就需要提供正确的添加辅助线的位置。

(作者单位贵州省仁怀市火石岗中学)摘要:学习任何知识,激发学生学习积极性是最重要的。

学习某种定理首先要理解,随后巧妙记忆,最后加以运用。