大一上期末高数经典复习卷(内有答案)

(A) 一、单项选择题
1、下列极限中，极限值不为零的是 （ ）。

（A ）x x x 2arctan lim
∞→；（B ）x
x
x 2sin lim ∞→；
（C ）21
sin lim x x x ∞→； （D ）242lim x
x x x +∞→
2、设)(x f 连续，则下列必为偶函数的是（ ）
A 、⎰x dt t f 02)(
B 、⎰x
dt t f 02)(
C 、
⎰
--x dt t f t f t 0
))()(( D 、⎰-+x dt t f t f t 0
))()((
3、设方程02=+-'x y y 确定了y 是x 的函数)(x f y =，且已知在0x 处，
0)(0='x f ，则下列结论成立的是（ ）
、)(A )(x f 在0x x =处取得极大值； 、)(B )(x f 在0x x =处取得极小值； 、)(C )(x f 在0x x =处不取得极值；
（D ）、仅从现有条件不能判别)(x f 在0x x =是否取得极值。

二、填空题
1、)ln )2(ln(lim n n n n -+∞
→ ； 2、=⎰+
→3
2
sin lim x dt t x x
3、)ln(1)1)(2x x x f ++=
（，则='')0(f 4、⎰∞
++1
22)
1(•
dx x x
= ；5、⎰20}cos ,max{sin π••dx x x = 三 计算题 1、求极限　0tan lim
sin x x x
x x
→--　
2已知当0x <时，函数0();x
t f x te dt =⎰当0x ≥时，则函数2()f x x =.试讨论()f x 在
0x =点处的连续性和可导性.
3、设函数()y y x =由方程sin sin()0y x x y -+=, ,所确定求y '．
4、[]上的最大值与最小值，在求函数1011cot
x
x
arc y +-=.
5、 ．求确定了函数设 222)(dx y d x y y e
t y e
t x t
t
=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=- 6、．
求dx x
x ⎰
-41
0 1arcsin 7、设非零向量a b ,满足25235a b a b a b a b +⊥-+⊥-,，求(,)a b ∧
.
8、求过⎩⎨
⎧=++-=--+0
22320
123:z y x z y x l 且垂直于π:x y z ++-=2350的平面方程.
9、计算积分⎰++⋅
dx x x e x cos 1sin 1.
四、应用与证明题
1、求曲线轴x e y x ,=及该曲线过原点的切线所围成的图形面积和绕x 轴旋转的体积.
2、设)(x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且)0()(31
32f dx x f =⎰，
证明：必存在0)(),1,0(='∈ξξf 使.（提示：积分和微分中值定理）
(B)
一、单项选择题
1、下列极限中，极限值不为零的是 （ ）。

（A ）x x x 2arctan lim ∞→；（B ）x
x
x 2sin lim 0→；
（C ）x
x x 1
sin lim 2
0→； （D ）242lim x x x x +∞→
2、设=+=+∞→+-⎰n n n n
n n n na dx x x a lim 123
10
1则（ ）
A 、1)1(23++e
B 、1)1(2
3-+e C 、1)1(2
3
1++-e D 、1)1(2
31-+-e
3、已知x e x f x x f x x x f y --='+''=1)]([3)()(2满足对任意， 若)0(,0)(00≠='x x f 则（ ）
A 、的极小值为)()(0x f x f
B 、的极大值为)()(0x f x f
C 、
))(,00x f x （为拐点 D 、不是极值，)(0x f ))(,00x f x （不是拐点 二、填空题
1、1000)1
1(lim +∞→+n n n
=
≤≤=⎩⎨⎧≤≤<≤=⎰)()20( d )()(21110)(212x F •••x t t f x F x •
•x •x x f •x ••则，
又设，，、已知　
3、)arctanx 1)(2+=
x x f （，则='')1(f 4、⎰∞
++1
)
1(1
•
dx x x =
5、⎰-=+22
343)cos sin (π
π•
•dx x x x 三 计算题
1、，求极限 3
sin 0lim x e e x x x -→
2、?
?)(00)0(0)(cos )()(2
02为什么的那一种类型的间断点为则处可导且在，其中设x f x x x x
dt
t x x f x
===⋅=
⎰ϕϕϕ
3、1,01ln )(22='=-+=x y x y y x x y y 求所确定由方程设
4、讨论7186223+-+=x x x y 的单调区间和极值。

5、的微分
关于试求确定了函数 设参数方程x y x y y t
e y t
e x t t
)(cos sin =⎪⎩⎪⎨⎧== 6、⎰+3
22
2
4
••x x dx 求
7、设非零向量a b ,满足23324a b a b a b a b +⊥-+⊥+,，求(,)a b ∧。

8、求两直线l y x z x 13523:=-=-+⎧⎨⎩
及l y x
z 21:==⎧⎨⎩间所夹之锐角。

9、．计算积分⎰+1032
)(••x dx x x e
四、应用与证明题
1、.4)1,1(23围成的平面图形的面积处切线与抛物线上点试求x x y x y +-==
2、)(x f 在[0，1]连续，在（0，1）可导，1)(0,0)0(≤'<=x f f
证明：⎰⎰≥1
321
)())((dx x f dx x f
《高等数学A 》A
一、单项选择题
1、B
2、D
3、A 二、填空题
1、e ；
2、311
0133
112x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩，
，
；3、22π+ ；4、2ln ； 5、34 三 计算题
1、 sin sin 3
30
01(sin ):lim
lim
()x x x
x x x x e e x x e x
x --→→⎡⎤-'--⎣⎦
==⋅'
解原式
12
2
22001cos 1lim lim 336
x x x x x x →→-===
2、 解：20
2
0cos ()(0)
lim ()lim
cos (0)lim (0)
1
x
x x x t dt
x f x x x
x ϕϕϕϕ→→→-=⋅
''=⋅=⎰
, 所以x=0为第一类可去间断点.
3、22022xy x y yy x y x
++'+
=ln ， '=-+
+y xy y x x y x 222
2ln ，3)1(='y 4、1
,3,
018126212
=-==-+='x x x x y
31613-==-）（，）（极小极大
y y 。

5、解：
)sin (cos ),cos (sin t t e dt
dy t t e dt dx t t -=+=, )cos (sin )sin (cos t t t t dx dy +-=，dx t
t t
t dy sin cos sin cos +-= 6、解：令2tan x t =, 22sec dx tdt =. 则
原式/3
23
/4
41sec 11ln csc cot ln 2tan sec 2
2••t dt t t t t ππ
π
π==-+=⎰. 7、解：(23)()0,(32)(4)0a b a b a b a b +⋅-=+⋅+=，
232 a a b +⋅- b 20= 31482
a a
b +⋅+ b 20=
有 a b b ⋅=-2, a 2=22 b ，cos(,)||||
a b a b a b ∧=⋅=-12
，(,) a b ∧=34π。

8、l 1对称式方程为x y z 1533
2=+=--, 方向向量为S 1132=-{,,}
l 2对称式方程为x y z 111
==-, 方向向量为S 2110={,,}.
cos(,)||||
S S S S S S 12121227∧
=
=
，故两直线夹角为arccos 2
7
. 9、令2t x =,原式111000
111(1)222t t t
e t dt tde e dt =
+=+⎰⎰⎰ 11100011112222
t t t te e dt e dt e =-+=⎰⎰
四、应用与证明题
1、解:(),'===y x
x 1332
1
切线: 32,y x =-
y x x y x x x x x =-+=-⎧⎨
⎩
+-==-=21243212012,
,()(),,,
2
3
2
2
2
221
1
1
9
(432)(2)(2).322x x s x x x dx x x dx x ---=-+-+=-++=-
++=⎰⎰
2、证明： ⎰⎰
-=x
x dt t f dt t f x F 032
)())((
)(, )())()(2()(20x f x f dt t f x F x
-='⎰.
令)()(2)(2
x f dt t f x g x
-=⎰，)()(2)(2)(x f x f x f x g '-='
0)(0)0()(,)(,0)(≥'∴=≥↑≥'x F g x g x g x g ，
0)0()1(,)(=≥↑F F x F ，即⎰⎰≥1
3210
)())((dx x f dx x f .
《高等数学A 》B
一、单项选择题 1、D 2、D 3、A 二、填空题 1、2； 2、3
2；3、3； 4、41
； 5、2　
三 计算题
1、 22
12002
sec 1lim lim 21cos x x x x ••
x x →→-===-原式 2．2
(0)lim 0(0)lim ()lim 0x t x x x f te dt f f x x -
++
→→→-==+===⎰
解：，， (0)0f =又； ∴=　在点处连续f x x ()0。

lim )0()(lim )0(0
)(lim lim )
0()(lim )0(2
000000==-='===-='+++--
→→+→→→-⎰x
x x f x f f xe x
dt
te x f x f f x x x x x
t x x '==f f x x ()()000，在点处可导．
3、0)1()cos(cos sin ='+⋅+-+'y y x x y x y ，
)
cos(sin )
cos(cos y x x y x x y y +-++-=
'，
4、解：1222
11(1)(1)1
01()(1)1x x
x x y x x -+-+--'=-
⋅=>+++，故y 在[]01，上单调增，
,21111cot
)1(max π=+-=arc y 4
0101cot )0(min π
=+-=arc y . 5、t
t
e e dx dy -++=
1212， 3
222222)
1(6411)1()21()1(4t t
t t t t t t t t e e e e e e e e e e dx y d ------+++=+++++=. 6、解：⎰
-=
21
2
1arcsin 2dt t
t t 原式 （令x t = ）
⎰--=210
2)12(arcsin t td ⎰+--=21
0 2
10
2
2arcsin 12dt t
t =π6
31-
.
7、解：(25)()0,(23)(5)0a b a b a b a b +⋅-=+⋅-=，
即 232 a a b +⋅-502 b = 27152
a a
b -⋅- b 20=， 有 -⋅= a b b 2
,
a 24=
b 2，cos(,)||||
a b a b a b ∧=⋅=-12,
即 (,)
a b ∧=23
π。

8、解：设所求平面为32123220x y z x y z +--+-++=λ()，
由于垂直π，()()()322233120++-+-+=λλλ， 解得λ=-2，故所求平面为x y z -++=8550。

9、解：2212sin cos
122sec tan 2222cos 2
tan tan tan 222
x
x x x x x x x
x x e dx e dx e dx x x x x
e d de e C
+==⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰⎰原式
四、应用与证明题
1、解：设切点为),,(m
e m 在该点切线斜率为,)(m
e m y ='
过原点的切线为x e y m =，又因为切点在曲线和切线上，得m =1
ex y e =切线切点),,1(，2
1
1
e
exdx dx e S x
=
-=⎰⎰∞
-。

.6
)(21
212e dx ex dx e V x π
ππ=
-=⎰⎰∞
-
2、证：积分中值定理得：]1,3
2[∈C ，使
3
1
)()(13
2⋅=⎰
C f dx x f ；
)0()(f C f =∴，由Rolle 定理得存在0)(),1,0(='∈ξξf 使.。