陕西省宝鸡市眉县营头中学2020届数学中考模拟试卷

陕西省宝鸡市眉县营头中学2020届数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A.236a a a ⋅=
B.336a a a +=
C.22a a -=-
D.326
()a a -= 2．下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图是洛阳市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温说法正确的是（ ）
A.众数是28
B.中位数是24
C.平均数是26
D.方差是8
4．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A ．2010x x +>⎧⎨->⎩
B ．2010x x +>⎧⎨-<⎩
C ．2010x x +<⎧⎨->⎩
D ．2010x x +<⎧⎨-<⎩ 5．下列运算正确的是( ) A ．2a 2﹣a 2＝1 B ．(a 2)3＝a 6 C ．a 2+a 3＝a 5 D ．(ab)2＝ab 2
6．下列计算正确的是（ ） A.224x x x -∙= B.()236x x -= C.236x x x ∙= D.()222m n m n -=-
7．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（ ） A.14 B.12 C.34 D.1
8．如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为90°，120°．让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是（ ）
A ．14
B ．13
C ．512
D ．无法确定
9．如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD ，则矩形ABCD 的最大面积是（ ）平方米．
A ．16
B ．18
C ．20
D ．24
10．如图，已知抛物线y ＝ax 2
+bx+c 经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a+b ＞0；②a+c ＜0；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣5a 2＞2ac ．其中正确的是( )
A ．①②
B ．③④
C ．②③④
D ．①②③④
11．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
12．将一张宽为5cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A cm 2
B ．252cm 2
C ．25cm 2
D 2 二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标______．
14．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，∠AOC=42°，那么∠CDB 的度数为_____．
15．分解因式：mn 2
﹣6mn+9m=_____．
16．在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=，BE=2，则tan ∠DBE 的值是________．
17．扬州2月份某日的最高气温是6℃，最低气温是－3℃，则该日扬州的温差（最高气温－最低气温）是______℃．
18．将一个四边形的纸片一刀剪去一个角后，所得的多边形的内角之和是_____．
三、解答题
19．黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就
，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的角平分线CD 交腰AB 于点D ，请你证明点D 是腰AB 的黄金分割点；
（2）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，若AB BC =，则请你求出∠A 的度数； （3）如图3，如果在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 上的高，∠A 、∠B 、∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ．若点D 是AB 的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a ，b ，c 之间是什么数量关系？并证明你的结论．
20．（1）化简求值： 211111x x x x
-⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭，其中x =；（2）计算：﹣222007）0﹣4sin45°
21．有三面小旗，分别为红、黄、蓝三种颜色．
（1）把三面小旗按不同顺序排列，共有多少种不同排法？用树状图表示，并把它们排列出来．
（2）如果把小旗从左至右排列，红色小旗排在最左端的概率是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,B C 在x 轴的正半轴上，8,6AB BC ==.对角线,AC BD 相交于点E ，反比例函数(0)k
y x x
=>的图像经过点E ，分别与,AB CD 交于点,F G .
（1）若8OC =，求k 的值;
（2）连接EG ，若2BF BE -=，求CEG 的面积.
23．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，∠OAB ＝90°且OA ＝AB ，OB ＝8，OC ＝5．
（1）求点A 的坐标；
（2）点P 是从O 点出发，沿X 轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B 的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，交四边形ABCD 的边AO 或AB 于点Q ，交OC 或BC 于点R ．设运动时间为t （s ），已知t ＝3时，直线l 恰好经过点 C ．
求①点P 出发时同时点E 也从点B 出发，以每秒1个单位的速度向点O 运动，点P 停止时点E 也停止．设△QRE 的面积为S ，求当0＜t ＜3时S 与t 的函数关系式；并直接写出S 的最大值．
②是否存在某一时刻t ，使得△ORE 为直角三角形？若存在，请求出相应t 的值；若不存在，请说明理由．
25．某市开展“美丽家乡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m 的值是 ； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数.
【参考答案】***
一、选择题
13．（2，2）．
14．21°
15．m （n ﹣3）2
16．
17．9
18．180°或360°或540°
三、解答题
19．（1）见解析；（2）108°；（3）该直角三角形的三边a ，b ，c 之间应满足2b ac =，见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根据CD 是∠ACB 的角平分线，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD 和△ABC 是相似的两个等腰三角形，并且AD=BC ，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可证明；
（2）在BC 边上截取BD=AB ，连接AD ，再根据“AB=AC，AB BC =分别求出CD AC 与AC BC 的值都是
12
，所以△ACD ∽△ACB ，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出∠A 的度数；
（3）根据相似三角形对应边成比例分别求出AD 、BD 的长，再根据AB=AD+BD 代入整理即可得到a 、b 、c 之间的关系．
【详解】
解：（1）证明：∵在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，
又CD 是∠ACB 的角平分线，
∴∠ACD ＝∠BCD ＝36°，
∴∠A ＝∠DCA ，∠BDC ＝72°，
∴AD ＝CD ＝BC ，
在△BCD 和△BAC 中，
∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，
∴△BCD ∽△BAC ， ∴BC BD AB BC
=， ∴BC 2＝AB•BD 又BC ＝AD ，
∴AD 2＝AB•BD，
∴D 是AB 的黄金分割点；
（2）在底边BC 上截取BD ＝AB ，连接AD ，
∵12
AB BC =，AB ＝AC ，
BD BC ∴=，
AC BC ∴=，
CD CD 1BD AC 2∴
==， CD AC AC BC
∴=， 又∠C ＝∠C ，
∴△ACD ∽△BCA ，
∴设∠CAB ＝∠CDA ＝x ，
∴∠BAD ＝∠BDA ＝2x ，
∴x+2x+x+x ＝180°，
∴x ＝36°，
∴∠BAC ＝108°；
（3）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，
CD 为AB 上的高，
∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，
AD AC BD BC ,AC AB BC AB
∴== 22
b a AD ,BD
c c
∴==， ∵点D 是AB 的黄金分割点，
∴AD 2
＝BD•AB， 2
22
b a
c c c ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭
， 该直角三角形的三边a ，b ，c 之间应满足b 2＝ac ．
【点睛】
本题综合性较强，主要利用相似三角形对应边成比例、对应角相等，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键．
20．（12）-3. 【解析】
【分析】
（1）先将括号内的部分通分，再将分子、分母因式分解，然后根据分式的乘除法运算法则进行解答；
（2）根据平方、二次根式的化简、0指数幂、特殊角的三角函数值进行解答．
【详解】 解：（1）222111212111x x x x x
x x x --⎛⎫-⋅=⋅= ⎪-+-⎝⎭
当x
5=；
（2）2022007)4sin 4541432︒-+-=-+-⨯
=-; 【点睛】
本题考查了分式的化简求值、实数的运算、0指数幂、特殊角的三角函数值，都是基础内容，要认真运算．
21．（1）共有6种不同排法：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红；（2）红色小旗排在最左端的概率是
13
． 【解析】
【分析】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先由（1）中的树状图即可求得红色小旗排在最左端的情况，然后由概率公式求得答案．
【详解】
（1）画树状图得：
则共有6种不同排法：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红；
（2）∵由（1）中的树状图得：红色小旗排在最左端的有2种情况，
∴红色小旗排在最左端的概率是：21 63 =．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）k＝20；（2）△CEG的面积为21
5
．
【解析】【分析】
（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E（5，4），然后把E点坐标代入
k
y
x
=可求得k的
值；
（2）利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝EC＝5，所以BF＝7，设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标得到7t＝4（t+3），解得t＝4，从而得到反比例函数解析式为y
＝28
x
，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG的面积．
【详解】
（1）∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，而OC＝8，
∴B（2，0），A（2，8），C（8，0），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
∴E（5，4），
把E（5，4）代入y＝k
x
得k＝5×4＝20；
（2）∵AC＝10，
∴BE＝EC＝5，
∵BF﹣BE＝2，
∴BF＝7，
设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），
∵反比例函数y=k
x
（x＞0）的图象经过点E、F，
∴7t＝4（t+3），解得t＝4，∴k＝7t＝28，
∴反比例函数解析式为y＝28
x
，
当x＝10时，y＝2814 105
=，
∴G（10，14
5
），
∴△CEG的面积＝11421
3
255
⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝k x
（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
23．（1）证明见解析（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF 是菱形
【解析】
【分析】
（1）首先证明△ABE ≌△CDF ，则DF=BE ，然后可得到AF=EC ，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF 是平行四边形；
（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE ，得到EA=EC ，于是得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB=CD ，AD ∥BC ，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA ．
由翻折的性质可知：∠EAB=
12∠BAC ，∠DCF=12
∠DCA ． ∴∠EAB=∠DCF ． 在△ABE 和△CDF 中B D AB CD EAB DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABE ≌△CDF （ASA ），
∴DF=BE ．
∴AF=EC ．
又∵AF ∥EC ，
∴四边形AECF 是平行四边形；
（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF 是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，
∵∠B=90°，
∴∠ACE=90°-30°=60°，
即∠CAE=∠ACE ，
∴EA=EC ，
∵四边形AECF 是平行四边形，
∴四边形AECF 是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
24．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=
-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614
. 【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；
②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．
【详解】
解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，
∵OB ＝8，即B （8，0）
∴A （4，4），
（2）∵A （4，4），B （8，0），
∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6， ∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，
∴PR ＝4，C （3，﹣4），
∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255
x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-
43t ）， ∴QR=t-(-
43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333
PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为
283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：
Ⅰ．若∠REO ＝90°，如图1，则点P 与E 点重合， ∴8﹣2t ＝0，解得t ＝4，
Ⅱ．若∠ORE ＝90°，如图2．△ORP ∽△REP ，
∴OP RP RP PE
=，即RP 2＝OP•PE， ∴24(82)3t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 解之得：t ＝3617，
Ⅲ．当t ＞4时，△ORE 不可能为直角三角形．
故使得△ORE 为直角三角形时，t 的值为：4或
3617， 【点睛】
本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．
25．（Ⅰ）100,12；（Ⅱ）平均数是1.32，众数是1.5，中位数是1.5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据条形统计图和扇形统计图，用1h 对应的人数除以对应的百分比即可求解；用0.5h 对应的人数除以总人数即可求解
（Ⅱ）利用平均数、众数、中位数的定义分别求解即可
【详解】
（Ⅰ）学生人数=3010030%
=；m%=12/100=12%，即m=12； （Ⅱ）观察条形统计图， ∵0.512130 1.540218 1.32100
x ⨯+⨯+⨯+⨯==， ∴这组数据的平均数是1.32.
∵在这组样本数据中，1.5出现了40次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1.5.
∵将这组样本数据按照有小到大 的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是1.5，有
1.5 1.5 1.52
+=， ∴这组样本数据的中位数是1.5.
【点睛】
此题主要考查利用统计图表解决简单的实际问题。