高中数学“学考复习”模块过关专题讲座练习第三四讲正余弦函数的图象与性质

第三、四讲 正、余弦函数的图象与性质
一、知识回顾
知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数]2,0[,sin π∈=x x y ，余弦函数]2,0[,cos π∈=x x y 的图象的五个关键点是：
x
x
x y sin =
x y cos =
知识点2：
R
x x y ∈=,sin
R
x x y ∈=,cos
知识点3：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有：
)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。

对于一个周期函
数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期。

知识点4：正弦函数R x x y ∈=,sin ，与余弦函数R x x y ∈=,cos 的性质 性质 R x x y ∈=,sin
R x x y ∈=,cos
定义域 R (或),(+∞-∞)
R (或),(+∞-∞)
最值
当且仅当Z k k x ∈+=
,22
ππ
时,取得最大值1，
Z k k x ∈+-
=,22
ππ
时,取得最小值1-
当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1， 当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1-
值域 ]1,1[-
]1,1[-
周期性 周期：)≠∈(0,2k Z k k π最小正周期：π2
周期：)≠∈(0,2k Z k k π最小正周期：π2
奇偶性 奇函数，其图象关于原点O 对称 偶函数,其图象关于y 轴对称 对称性
对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈;
对称中心是(),02k k Z π
π⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
, 对称轴是直线()x k k Z π=∈
对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点
单调性
)](22
,
22
[Z k k k ∈++-ππ
ππ
上是增函数 )](22
,22[
Z k k k ∈+3
+ππππ
上是减函数 )](2,2[Z k k k ∈-πππ上是增函数 )](2,2[Z k k k ∈+πππ上是减函数
y=cosx
y=sinx
π
2π
3π
4π
5π
6π-π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-6π
-5π
-4π
-3π
-2π
-π
6π5π
4π
3π
2π
π
-1
1
y x
-11
o
x
y
二、 典型例题
例1、作下列函数的简图，并观察函数的周期。

（1）R x x y ∈-=,sin 2 x
x sin
x sin 2-
（2）R x x y ∈=,3sin 4 x
x 3
x 3sin 4
函数y=Asin(ϕω+x ),R x ∈的周期T=____; y=Acos(ϕω+x ),R x ∈的周期T=____. 例2、求下列函数的周期及最小正周期T ：
(1)y=sin x 4
3
,R x ∈ (2) y=cos4x,R x ∈
(3)y=x cos 21,R x ∈ (4)y=sin(4
31π
+x ) R x ∈
例3、求函数),3
21sin(π
+=x y ∈x R 的单调递增区间区间。

变式训练：求函数)2
1
3sin(x y -=π的单调递增区间区间。

1、求)sin(ϕω+=x A y 的单调区间，可以把ϕω+x 看作一个整体，代入x y sin =的单调区间内，解不等式即可。

尤其注意x 前面系数为负时，一定先转化为正。

2、当单调区间不连续时，一定要用逗号“，”分开，或用“和”连续，千万不能用“或”及“ ”连接，切记！切记！
y
x
O y
x
O
例4、)6
6
(),3
2sin(2π
π
π
≤
≤-
+
=x x y 求函数的值域。

例5、求下列函数的最大值、最小值及取最大值、最小值时自变量x 的集合。

（1）R x x y ∈+=,1cos (2)R x x y ∈-=,2sin 3 例6、若a x x x f +--=cos sin )(2的最小值为-6，求a 的值.
例7、求下列函数的对称中心与对称轴。

R x x y ∈-=,3cos 211)1(π R x x y ∈+=),4
2sin(3)2(π
三、课堂练习
1、在[0,2π]上,满足1
sin 2
x ≥的x 取值范围是： .
2、已知函数)3sin(2π
ω+=x y 的最小正周期为3
π，则=ω .
3、x sin f(x)=是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？c f(x)=（c 为常数）呢？
4. b x a x f +-=)32sin(2)(π
的定义域为[0，2
π
]，函数的最大值为1，最小值为-5，求a,b 的值.
5、.8
)(),0(),2sin()(π
ϕπϕ==<<-+=x x f y x x f 直线的图象的一条对称轴是函数
（1）；求ϕ （2）的单调增区间；求函数)(x f y =
6、判断函数33()sin()42
f x x π
=+的奇偶性
四、总结提升
1、正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都在图象上被充分地
反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要，要注意数形结合、整体思想的应用； 2、周期函数：)()(x f T x f =+。

五、课后作业
1.下列四个函数中，既是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（
）.
A. sin y x =
B. sin 2y x =
C. cos y x =
D. cos2y x = 2. 根据正弦函数图像，不等式sin x ≥2
2
-
的解集是______________________.
3、求下列函数的最小正周期：
（1）=-=T x y ),23sin(ππ ； （2）=+=T x y ),6
2cos(π
π .
4. 求下列函数的单调增区间：
（1）)24
sin(2x y -=π
（2）x y 2cos =
5、y =-3cos2x 取得最大值时的自变量x 的集合是_________________.
6、求函数y=cos 2x - 4cos x + 3的最值
)
4
31sin(2)()2()
6
2cos(3)(1.7ππ
+-=+
=x x f x x f ）（与对称轴的方程：求下列函数的对称中心。