人教B版高中数学必修第一册课后习题 第二章 等式与不等式 培优课 均值不等式的应用

培优课 均值不等式的应用
必备知识基础练
1.已知正数x,y 满足x+2y-xy=0,则x+2y 的最小值为( ) A.8
B.4
C.2
D.0
2.(多选题)已知正数a,b 满足a+b=4,ab 的最大值为t,不等式=(-4,1)
D.M=(-1,4)
3.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使b a
+
a b
≥2成立的条件个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知一次函数y=-12
x+1的图象分别与x 轴、y 轴相交于A,B 两点,若动点P(a,b)在线段AB 上,则ab 的最大值是 ,取得最值时a 的值为 .
5.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度c(单位:mg·L -1)随时间t(单位:h)的变化关系为c=20t
t 2+4,则经过
h 后池水中该药品的浓度达到最大.
6.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉,已知从出发点到目的地的距离为100 km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h)之间.假设目前油价为
7.2元/L,汽车的耗油率为(3+
x 2360
)L/h,其中x(单位:km/h)
为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,这次租车的总费用最少是多少?此时的车速x是多少?(注:租车总费用=耗油费+司机的工资)
7.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)1
a +1
b
+1
ab
≥8;
(2)1+1
a 1+1
b
≥9.
关键能力提升练
8.一个矩形的周长为l,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,l)的序号是( )
①(1,4);②(6,8);③(7,12);④(3,1
2
).
A.①③
B.①③④
C.②④
D.②③④
9.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4
a-1+1
b-1
的最小值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
10.若a>0,b>0,且a+b=1,则1
a2-11
b2
-1的最小值是( )
A.9
B.8
C.7
D.6
11.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2
a +1
b
≥m恒成立,则m的最大值等于
( )
A.10
B.9
C.8
D.7
12.设a+b=2,b>0,则1
2|a|+|a|
b
取最小值时a的值为.
13.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,a
x +b
y
=1,x+y的最小值为18,求a,b的
值.
14.(山东日照高一期末)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.
(1)若技术改进后,A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;
(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.
学科素养创新练15.已知y=>0).
(1)若m=1,求当x>1时y的最小值;
(2)当的值.
参考答案
培优课 均值不等式的应用
1.A 由x+2y-xy=0,得2
x
+1
y =1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)
2x
+
1y
=
4y x
+x
y
+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.
2.BC ∵正数a,b 满足a+b=4,∴ab≤(a+b 2
)2=4,即ab 的最大值为t=4,当
且仅当a=b=2时,等号成立. ∵x 2+3,∴M=(-4,1).
3.C 由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”,即当b a ,a
b
均为正数
时,可得b a
+a
b
≥2,此时只需a,b 同号即可,所以①③④均满足要求.故选C.
4.1
2
1 因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得
a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·
1-b+b 2
2
=1
2
.
当且仅当1-b=b,即b=12
时等号成立,此时a=1, 因此当b=1
2
,a=1时,ab 的最大值为1
2
.
5.2 c=
20t
t 2+4
=
20t+
4t
.因为t>0,所以t+4t ≥2√t ·4t =4(当且仅当t =4
t
,即t =2时等号成立). 所以c=
20t+
4t
≤204
=5,当且仅当t=4
t
,即t=2时,c 取得最大值.
6.解设总费用为y元,
由题意,得y=76.4×100
x +7.2×100
x
×(3+x2
360
)=9800
x
+2x(40≤x≤100).
因为y=9800
x +2x=19600
2x
+2x≥2√19600=280,当且仅当9800
x
=2x,即x=70时等
号成立.
所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70km/h.
7.证明(1)因为a+b=1,a>0,b>0,
所以1
a +1
b
+1
ab
=21
a
+1
b
.
所以1
a +1
b
=a+b
a
+a+b
b
=2+a
b
+b
a
≥2+2=4,
所以1
a +1
b
+1
ab
≥8当且仅当a=b=1
2
时等号成立.
(2)(方法一)因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+1
a =1+a+b
a
=2+b
a
,同理1+1
b
=2+a
b
,
所以1+1
a 1+1
b
=2+b
a
2+a
b
=5+2b
a
+a
b
≥5+4=9.
所以1+1
a 1+1
b
≥9当且仅当a=b=1
2
时等号成立.
(方法二)1+1
a 1+1
b
=1+1
a
+1
b
+1
ab
,
由(1)知,1
a +1
b
+1
ab
≥8,
故1+1
a 1+1
b
=1+1
a
+1
b
+1
ab
≥9.
当且仅当a=b=1
2
时等号成立.
8.A 设矩形的长和宽分别为x,y,则x+y=1
2
l,S=xy.
对于①(1,4),则x+y=2,xy=1,满足xy≤(
x+y 2
)2,符合题意;
对于②(6,8),则x+y=4,xy=6,不满足xy≤(x+y 2
)2
,不符合题意;
对于③(7,12),则x+y=6,xy=7,满足xy≤(
x+y 2
)2,符合题意; 对于④(3,1
2),则x+y=1
4,xy=3,不满足xy≤(
x+y 2
)2,不符合题意.
综上,可作为数对(S,l)的序号是①③. 9.B 因为a,b 为大于1的实数,所以4a -1
>0,
1
b -1
>0.
由a+b=ab 可知ab-(a+b)=0,所以4a -1
+
1b -1
≥2√4a -1
·
1b -1
=
√ab -b -a+1
=4.
当且仅当a=3,b=3
2时等号成立.
10.A (1a 2-1)(1
b 2-1)=1-a 2-b 2a 2b 2+1
=
(a+b )2
-a 2-b 2
a 2
b 2
+1=2
ab
+1≥
2
(a+b 2
)2
+1=9.
所以当a=b=1
2
时,原式取最小值9.
11.B
2a +1b
=
2a
+
1b
(2a+b)=5+
2b a
+
2a b
≥5+2√
2b a
·
2a b =9,当且仅当
2b a
=
2a b
,
即a=b=13
时等号成立,所以2
a
+1b
的最小值为9,又因为2a
+1b
≥m 恒成立,所以m≤9,即m 的最大值为9. 12.-2 因为a+b=2,所以
12|a |
+
|a |b =
24|a |
+
|a |b
=
a+b 4|a |+|a |b =
a 4|a |
+
b 4|a |
+
|a |b
≥
a 4|a |
+2√
b 4|a |
·
|a |b
=
a
4|a |
+1,当且仅当
b
4|a |
=
|a |b
时等号成立.
又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2时,
12|a |
+
|a |b
取得最小值.
13.解因为a x
+b y
=1,所以x+y=(x+y)
a x
+
b y
=a+
bx y
+
ay x
+b=10+
bx y
+
ay x
.
因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2√ab =18, 当且仅当
bx y
=
ay x
时,等号成立.即√ab =4.
又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,
b =2.
14.解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x 2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300,即x 的取值范围为(0,300].
(2)由题意知,B 生产线的利润为1.5(a-0.013x)x 万元,技术改进后,A 生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则
1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立,又x>0,∴a≤
x 125
+
500x
+1.5恒成立,又
x
125
+
500x
≥4,当且仅当x=250时,等号成立,∴0<a≤5.5,
即a 的最大值为5.5. 15.解(1)m=1时,y=x+
1x -1
=x-1+
1
x -1
+1.
因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1+1x -1
+1≥2√(x -1)·
1
x -1
+1=3,当且仅当
x-1=
1x -1
,即x=2时等号成立,所以当x>1时y 的最小值为3.
(2)因为x<1,所以x-1<0,所以y=x-1+m x -1
+1=-1-x+
m
1-x
+1≤-2√(1-x )·
m
1-x +1=-2√m +1,当且仅当1-x=m
1-x
,即x=1-√m 时等号成立,即y 的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.。