高中数学(人教版必修5)配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时.doc

第一章 1.1 第1课时
一、选择题
1．(2013·北京文，5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1
3，则sin B ＝( )
A ．15
B ．59
C ．
53
D ．1
[答案] B
[解析] 本题考查了正弦定理，由a sin A ＝b sin B 知313
＝5sin B ，即sin B ＝5
9
，选B.
2．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12
B ．π
6
C ．π4
D ．π3
[答案] D
[解析] 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32，∴A ＝π3
. 3．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A
[答案] D
[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A
sin B ，
在△ABC 中，0<sin B ≤1，故
1
sin B
≥1，∴a ≥b sin A ． 4．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定
[答案] B
[解析] ∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°， ∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．
5．已知△ABC 的面积为3
2
，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝( )
A ．32
B ．12
C ．
34
D ． 3
[答案] A
[解析] 由已知，得32＝1
2×2×3×sin A ，
∴sin A ＝
32
. 6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3
[答案] C
[解析] 由题设条件可知
⎩⎨⎧
x >2x sin45°
<2，∴2<x <2 2.
二、填空题
7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________． [答案] 23cm [解析] ∵BC
sin A
＝2R ，
∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．
8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边．若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c ＝______.
[答案] 2
[解析] C ＝180°－105°－45°＝30°. 根据正弦定理b sin B ＝c sin C 可知
22sin45°＝c
sin30°，解得c ＝2. 三、解答题
9．根据下列条件，解三角形．
(1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2.
[解析] (1)由正弦定理，得sin C ＝c b ·sin B ＝13×32＝12.
∴C ＝30°或C ＝150°.
∵A ＋B ＋C ＝180°，故C ＝150°不合题意，舍去． ∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2.
(2)由正弦定理，得sin C ＝c ·sin A a ＝6sin45°2＝3
2.
∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝
c sin B sin C ＝6sin75°
sin60°
＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin15°
sin120°＝3－1.
∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.
10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． [解析] ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ．
∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0， 又∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B ＝C ． 又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形.
一、选择题
1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A ．
2
2
B ．
24
C ．
32
D ．
3＋1
4
[答案] D
[解析] c ＝a sin C
sin A ＝2，B ＝105°，
sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋2
4
， ∴S △ABC ＝1
2ac sin B ＝3＋14
.
2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C ．若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－1
2
B ．12
C ． －1
D ． 1
[答案] D
[解析] ∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.
3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，
且a >b ，则∠B ＝( )
A ．π6
B ．π
3
C ．2π3
D ．5π6
[答案] A
[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝1
2，∴sin B
＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π
6
.选A ． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直 [答案] C
[解析] ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝b
sin B ，∴k 1·k 2＝－1，
∴两直线垂直． 二、填空题
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
[答案] π
6
[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π
4＝2， ∴sin(B ＋π
4)＝1，∵0<B <π，
∴π4<B ＋π4<54π，∴B ＝π4， 又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，
∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6
.
6．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c
cos C 2，则△ABC 一定是________三角形．
[答案] 等边
[解析] 由正弦定理得，
sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C
cos C 2
， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C
2
，
∵0<A ，B ，C <π，∴0<A 2，B 2，C 2<π2
，
∴A 2＝B 2＝C
2，∴A ＝B ＝C ．故△ABC 为等边三角形． 三、解答题
7．在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝3
5.
(1)求sin C 的值；
(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．
[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－513，cos B ＝35得，sin A ＝1213，sin B ＝4
5.
∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝1213×35＋(－513)×45 ＝
1665
. (2)根据正弦定理， AB ＝BC ·sin C
sin A ＝5×
16651213
＝43
，
∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×43×5×45＝8
3.
8．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．
[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得
3sin A ＝26
sin2A
， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.
(2)由(1)知cos A ＝
6
3
， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝
33
. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝1
3.
所以sin B ＝1－cos 2B ＝22
3，
在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝53
9.
所以c ＝a sin C
sin A
＝5.。