高二数学平面与空间直线通用版知识精讲

高二数学平面与空间直线通用版
【本讲主要内容】
平面与空间直线
平面的基本性质、立体几何中的三种语言、空间两条直线的位置关系
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 平面是无限延展的，正如直线是无限延伸的。

2. 平面的表示：
通常我们画平行四边形来表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长。

当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮的部分的线段画成虚线或不画。

有时也用三角形等平面图形来表示平面。

我们通常用一个希腊字母α、β、等来表示平面，如平面α、平面β、平面等；也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC 。

3. 三个性质公理及推论
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理1的内容有关直线和平面的集合关系，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个点（元素）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集。

用它既可判定直线是否在平面内，又可检验平面。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理2的内容有关两个平面的集合关系。

公理中的两个平面是指不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3及其推论的内容关系到确定平面的条件。

需要透彻理解“有且只有一个”的含义，这里“有”是强调图形存在，“只有一个”是强调图形唯一。

这里强调的是存在和唯一两个方面，因此，“有且只有一个”必须完整地使用。

4. 文字语言、符号语言和图形语言的互相转化
例如：（如下图）
文字语言：点A 在直线l 上，符号语言；
文字语言：点B 在直线m 外，符号语言；
文字语言：点B 在平面α内，符号语言；
文字语言：点A 在平面α外，符号语言；
文字语言：直线l 在平面内，符号语言：
文字语言：直线m 在平面外，符号语言：α⊄m ；
文字语言：直线m 与直线n 平行，符号语言：m ∥n ；
文字语言：直线m 与直线l 相交于A ，符号语言：；
文字语言：直线l 与平面α相交于B ，符号语言：
文字语言：直线n平行于平面α，符号语言：n∥α；
文字语言：平面α平行于平面β，符号语言：α∥β；
文字语言：直线l与直线n垂直，符号语言：l⊥n；
文字语言：直线l垂直于平面α，符号语言：l⊥α；
文字语言：平面与平面α垂直，符号语言：
文字语言：平面α与平面交于直线n，符号语言：
5. 空间两条直线的位置关系有：平行、相交、异面三种。

垂直是相交或异面的特殊情形，判断两条直线是异面直线的方法有：
①不同在任何一个平面内；
②既不平行，又不相交；
③过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。

【解题方法指导】
例1. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：EF、GH、AC三直线交于一点。

思路：可先证EF与GH交于一点，然后证明该交点在AC上。

证明：∵
∵
∴且FG∥BD
∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P
∵直线EF，EF面ABC
∴P面ABC
同理P面ADC
∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上
故EF、GH、AC三直线交于一点。

点评：平面几何中证多线共点的思维仍适用，只是在思考中应考虑空间图形的新特点。

例2. 空间四边形ABCD中，EF分别是线段AD、BC上的点，满足，AB＝CD＝3，EF，求AB、CD所成角的大小。

思路：先设法找到一个点G，然后过G分别解AB、CD的平行线，再构造一个以G为顶点的三角形，解三角形即可。

四步：（1）找点；（2）作出平行线；（3）构成三角形；（4）求值。

解：如图所示：
设G是BD上的点，且有，分别连结EG、FG
∵
∴FG∥CD，GE∥AB
∴∠EGF或其补角为所求
∵AB＝CD＝3，EF
∴
由余弦定理得：
∵异面直线所成的角为锐角或直角
∴AB、CD所成角为60°。

点评：要注意异面直线所成的角为（]这个范围。

【考点突破】
【考点指要】
本专题中平面的基本性质是立体几何的入门知识，高考中不会单独考查本部分内容，但它是立体几何的基础，在考查其他知识时会结合考查对平面的基本性质的概念的理解和掌握情况。

另外对空间直线这部分内容，高考可以就这部分内容直接命题，多为选择题或填空题，当然也可以是解答题中的一问，其中两条直线的平行、垂直关系以及两条异面直线所成的角是考查重点，在后面专题中重点研究。

【典型例题分析】
例1. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1B的中点，那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
思路：利用平面的性质，证明直线共面。

解：如图，连结PQ、PR，
取B1C1中点M，连结MR、MQ
可证明PR∥B1A∥MQ
∴PR与MQ共面于α
取C1D1中点N，连结MN
可以证明MN∥B1D1∥BD∥PQ
∴MN与PQ共面，∴
取DD1中点K，连结NK，QK
可以证明PR∥NK
∴PR与NK共面，∴
∴P、R、M、N、K、Q共面于α
故过P、Q、R的截面图形是六边形。

点评：证明多点（或多线）共面，可以先由一些要素确定一个平面，然后证明其它要素都在这个平面内，则所有要素都在这个平面内。

例2. 如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中相互异面的有________对。

思路：先将展开图折成正方体，再证明。

解：将展开图折成正方体如右图
可以证明AB与CD异面
AB与EF相交
AB与GH异面
CD与EF平行
CD与GH相交
EF与GH异面
故异面直线共有3对。

点评：本题考查空间想象能力及异面直线的判定定理。

例3. 三个平面两两相交，求证三条交线或交于一点，或互相平行。

证明：设三个平面分别为αβγ、、
且αββγγα ===a b c ，，
∵a c ⊂⊂αα，
∴a 和c 或互相平行，或相交
①当a c P =时
∵P a a P ∈⊂∴∈，，ββ
∵P c c P ∈⊂∴∈，，γγ
而βγ =∴∈c P c ，
∴a b c P =
②当a a b Q =a b c Q =设P 是直线l 外的一定点，过P 与l 成30°角的异面直线有（ ）
A. 无数条
B. 两条
C. 至少有两条
D. 一条
2. 已知m 、n 为异面直线，平面α，平面β，，则l （ ）
A. 与m 、n 都相交
B. 与m 、n 中至少一条相交
C. 与m 、n 都不相交
D. 至多与m 、n 中一条相交
3. 异面直线a 、b 成60°角，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成角的范围是（ ）
A. [30°，90°]
B. [60°，90°]
C. [60°，120°]
D. [30°，120°]
4. 空间四边形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ，CD ＝4，AD ，BD ＝2，则AC 与BD 所成的角的大小是（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 90°
（二）填空题
5. 已知两条异面直线a 、b 所成的角为60°，直线l 与a 、b 所成的角都等于θ，则θ的取值范围是_____________。

6. 若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG ＝3，FH ＝4，则＝___________。

（三）解答题
7. 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝d ，D 是AB 的中点，若，求异面直线AB 和A 1C 1所成的角。

【综合测试答案】
1. A
提示：经过定点P 作与直线l 平行的直线l '，又过P 作直线m 与l '成30°角，如果将直线以l '为轴旋转会得到无数条直线与l '都成30°的角，说明过定点P 与l 成30°角的直线有
无数条。

2. B
提示：若l与m、n都不相交，则，这与m、n为异面直线矛盾。

3. A
提示：由异面直线所成角的范围知C、D不对。

当c在平行于a、b的平面内时，可证b 与c成30°角。

4. D
提示：因为，所以BD⊥AD，同理BD⊥DC
所以BD⊥面ADC，即BD⊥AC
5.
提示：在空间任取一点分别作直线，，则所成的角就是l与a、b所成的角，当为的平分线时，所成的角最小为30°，垂直于所在平面时，与所成的角最大为90°。

6. 50
提示：EFGH为平行四边形，
则
即，∴
7. 60°
解：如图，连结CD
∵AC∥A1C1，∴∠BAC或其补角就是异面直线AB和A1C1所成的角
在Rt△C1CD中，∠C1CD＝90°，
∴
在△ADC中，
∴∠CAD＝120°，
∴异面直线AB和所成的角为60°。